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2010年上海市卢湾区中考数学二模卷及答案


卢湾区 2010 年初中毕业统一学业模拟考试数学试卷
(满分 150 分,考试 时间 100 分钟) 考生注意:答题时,务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答. 考生注意:答题时,务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答. 一、选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.预计 2010 年上海世博会的参观人数将达 7000 万人次, “7000 万”用科学 计数法可表示为………………………………………………………( ) A. 7 × 10 ;
3

2010.4

B. 7 × 10 ;
6

C. 7 × 10 ;
7

D. 7 × 10 .
8

2.点 P (1, ?2) 关于 x 轴对称的点的坐标为………………………………( A. (1, 2) ; B. (1, ?2) ; C. (?1, 2) ;



D. (?1, ?2) . )

3.下列方程中,有两个不相等实数根的是………………………………( A. x ? 4 x + 4 = 0 ; B. x + 3 x ? 1 = 0 ; 2 C. x + x + 1 = 0 ; D. x 2 ? 2 x + 3 = 0 . 4.下列运算中,计算结果正确的是………………………………………(
2 2



A. 3( a ? 1) = 3a ? 1 ; C. a ÷ a = a ;
6 3 2

B. ( a + b) 2 = a 2 + b 2 ; D. (3a 3 ) 2 = 9a 6 .

5.下列命题中是真命题的是……………………………………………( ) A.经过平面内任意三点可作一个圆; B.相交两圆的公共弦一定垂直于连心线; C.相等的圆心角所对的弧一定相等; D.内切两圆的圆心距等于两圆半径的和. 6.一个面积为 20 的矩形,若长与宽分别为 x,y ,则 y 与 x 之间的关系用图像可表示 为……………………………………………………………( )

y

y

y

y

O

x
A.

O

x
B.

O

x
C.

O

x
D.

二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7. ?

1 的倒数是 2

▲ ▲

. .

8.计算: 8 ? 2 =

9.布袋中装有 2 个红球,3 个黄球,4 个绿球,它们除颜色外完全相同,从袋中任意摸出一 个球,摸出的球是绿球的概率是 ▲ . .. 10.分解因式: 2 x ? 4 x + 2 =
2

y




-2 O -4

x

13 题图

11.解方程

2x x ?1
2

?

3x 2 ? 3 x

= 1 时,若设

x x ?1
2

= y,
. ▲ . ▲ .

则原方程可化为关于 y 的方程是
2



12.若函数 f ( x) = x ? x ? 2 ,则 f ( ?2) =

13.若一次函数的图像如图所示,则此一次函数 的解析式为

14.如果将抛物线 y = ?3 x 2 沿 y 轴向上平移 2 个单位后,得到新的抛物线, 那么新抛物线的表达式为 ▲ .

15.如图,平行四边形 ABCD 中,E 是 AD 上一点,且 AD = 3 AE ,设 BA = a , BC = b , 则 BE = ▲ . (结果用 a 、 b 表示)

16.如图,在地面上离旗杆底部 5 米的 A 处,用测角仪测得旗杆顶端 C 的仰角为 60 ?,若 测角仪的高度为 AD=1.5 米,则旗杆 BC 的高为 ▲ 米. (结果保留根号) 17.如图,在 Rt△ABC 中, ∠C = 90 ?, ∠B = 60 ?,若将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋 ▲ . 转 90 ?,点 A、B 分别旋转至点 A’ 、B’ , 联结 AA’ ,则∠AA’ B’ = 18.在⊙O 中,若弦 AB 是圆内接正四边形的边,弦 AC 是圆内接正六边形的边,则∠BAC= . ▲ . A
C

A

E

D
D

B

C

A

B

B
17 题图

C

三、解答题(本大题共 7 题,满分 7816 题图 分) 15 题图 19. (本题满分 10 分)

?3 x < 2( x ? 2) + 7; ? 解不等式组: ? x +3 x ?3 ? 1? 3 ≤ 6 . ?

(1) (2)
,并把它的解集表示在数轴上.

20. (本题满分 10 分)解方程:

2 1 = 1+ . x ?1 x ?1
2

21. (本题满分 10 分) 如图,已知 OC 是⊙O 的半径,弦 AB=6,AB⊥OC,垂足为 M,且 CM=2. A (1)联结 AC,求∠CAM 的正弦值; (2)求 OC 的长.

O M B
21 题图

C

22. (本题满分 10 分) 某中学对九年级准备选考 1 分钟跳绳的同学进行测试,测试结果如下表: 频数分布表 扇形统计图 组别 跳绳(次/1 分钟) 频数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 190~199 180~189 170~179 160~169 150~159 5 11 23 33 8
C

B

A

D

请回答下列问题: 22 题图 (1)此次测试成绩的中位数落在第 ▲ 组中; (2)如果成绩达到或超过 180 次/分钟的同学可获满分,那么本次测试中获得满分的人数占 参加测试人数的 ▲ %; (3)如果该校九年级参加体育测试的总人数为 200 人,若要绘制一张统计该校各项目选考人 数分布的扇形图(如 22 题图) ,图中 A 所在的扇形表示参加选考 1 分钟跳绳的人数占测试总 人数的百分比,那么该扇形的圆心角应为 ▲ °; (4)如果此次测试的平均成绩为 171 次/分钟,那么这个成绩是否可用来估计该校九年级学 生跳绳的平均水平?为什么? 23. (本题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 中,E 是 AD 边上一点,且 BE=CE, E A D BE 与对角线 AC 交于点 F,联结 DF,交 EC 于点 G. G (1)求证:∠ABF =∠ADF; F (2)求证:DF⊥EC.

B
24. (本题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y = ? 经过点 A(1, 3) , B (0,1) . (1)求抛物线的表达式及其顶点坐标; (2)过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 C, ①求△ABC 的面积; ②在 y 轴上取一点 P,使△ABP 与△ABC 相似, 求满足条件的所有 P 点坐标. 25. (本题满分 14 分) 数学课上,张老师出示了问题 1:

23 题图 y
5 4 3 2 1

C

1 2

x 2 + bx + c

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5

1 2 3 4 5

x

24 题图

如图 25-1,四边形 ABCD 是正方形, BC =1,对角线交点记作 O,点 E 是边 BC 延长线上一点.联结 OE 交 CD 边于 F,设 CE = x , CF = y ,求 y 关于 x 的函 [来源:学科网 ZXXK] 数解析式及其定义域. (1)经过思考,小明认为可以通过添加辅助线——过点 O 作 OM⊥BC,垂足为 M 求解.你

认为这个想法可行吗?请写出问题 1 的答案及相应的推导过程; (2)如果将问题 1 中的条件“四边形 ABCD 是正 方形,BC =1”改为“四边形 ABCD 是平 行四边形,BC=3,CD=2, ”其余条件不变(如图 25-2) ,请直接写出条件改变后的函数解析 式; (3) 如果将问题 1 中的条件“四边形 ABCD 是正方形, =1”进一步改为: BC “四边形 ABCD 是梯形,AD∥B C, BC = a , CD = b , AD = c (其中 a , b , c 为常量)”其余条件不变(如 图 25-3) ,请你写出条件再次改变后 y 关于 x 的函数解析式以及相应的推导过程.
A O F B D

A

D

A O

D F

O
E

F C E
B

B

图 25-1

C

图 25-2

图 25-3

C

E

卢湾区 2010 年初中毕业统一学业模拟考试 参考答案及评分说明
一、选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1. C; 2. A; 3.B ; 4.D; 5.B ; 6.C. 二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7. ?2 ; 8.

2;

9.

4 3 2 ; 10. 2( x ? 1) ;11. 2 y ? = 1 ; y 9
15. + b ; 16. a

12.4;

13. = ?2 x ? 4 ; 14. = ?3 x 2 + 2 ; y y

1 3

3 + 10 3 ; 17. ; 15 2

18. 15 或 105 . 三、解答题(本大题共 7 题,满分 78 分) 19.解:由(1)式化简得 x < 3 ,…………………………………………2 分 由(2)式化简得 x ≥ 1 ,……………………………………………2 分 ∴原不等式组的解集为 1 ≤ x < 3 .…………………………………3 分

数轴表示:

………… …………………3 分

20. 解:两边同时乘以 ( x + 1)( x ? 1) 得 2 = x ? 1 + x + 1 .………………3 分
2

整理得 解得

x 2 + x ? 2 = 0 .……………………………………3 分 x1 = 1 , x2 = ?2 .…………………………………2 分

经检验 x = 1 是增根,舍去.∴原方程的解是 x = ?2 . …………2 分 21. 解:(1)∵OC 是⊙O 的半径,AB⊥OC, 1 ∴AM = AB = 3 . ……………………………………………2 分 2 在 Rt△AMC 中, CM =2,AM = 3 , ∴ AC = 2 + 3 = 13 .……………………………………………2 分
2 2

∴ sin ∠CAM =

CM AM

=

2 13 13

.………………………………………2 分

(2)联结 OA,设 OA= r ,则 OM = r ? 2 ,
2 2 2 由勾股定理得 (r ? 2) + 3 = r .……………………………2 分

解得 r =

13 . …………………………………………………2 分 4

22. 1)4; 分) (2)20; (2 分) (3)144°; 分) ( (2 (3 (4)不能,不是随机样本,不具代表性. (3 分) 23.证明: )∵四边形 ABCD 是正方形, (1 ∴AB =AD,∠BAF=∠DAF,……… ………………………2 分 又∵AF= AF,∴△ABF ≌∠ADF.…………………………2 分 ∴∠ABF=∠ADF.……………………………………………2 分 (2)∵BE=CE,∴∠EBC=∠ECB.………………………………2 分 ∵∠ABC=∠DCB= 90 , ∴∠ABC -∠EBC =∠DCB-∠ECB,即∠ABF=∠DCE. ∵∠ABF=∠ADF,∴∠DCE=∠ADF.………………………1 分 ∵∠ADC= 90 ,∴∠DCE+∠DEC= 90 , ∴∠ADF +∠DEC= 90 ,∴∠DGE= 90 ,……………………2 分 ∴DF⊥EC. ……………………………………………………1 分 24.解: (1)将 A(1, 3) , B (0,1) ,代入 y = ? 解得 b =

1 2

x 2 + bx + c ,

5 2

, c = 1 . …………………………………………………2 分

∴抛物线的解析式为 y = ? ∴顶点坐标为 ( ,

1 2

x2 +

5
2

x + 1 .…………………………………1 分

5 33 ) .………………………………………………………1 分 2 8

(2)①由对称性得 C (4, 3) .…………………………………………………1 分

3 ? 1 i 4 ? 1 = 3 .………………………………………………1 分 2 ②将直线 AC 与 y 轴交点记作 D,
∴ S△ ABC = ,∠CDB 为公共角, BD CD 2 ∴△ABD∽△BCD.∴∠ABD =∠BCD.……………………………………1 分 PB AB 1°当∠PAB=∠ABC 时, = , AC BC ∵ BC = (0 ? 4) + (1 ? 3) = 2 5 , AB =
2 2

1



AD

=

BD

=

1

(0 ? 1) 2 + (1 ? 3) 2 = 5 , AC = 3

∴ PB =

3 5 ,∴ P (0, ) . ……………………………………………………2 分 1 2 2
PB BC = AB AC


2°当∠PAB=∠BAC 时,



PB 2 5

=

5 3

,∴ PB =

10
3

,∴ P2 (0,

13 ) .……………………… …………2 分 3 13 ) . ……………………………1 分 3

综上所述满足条件的 P 点有 (0, ) , (0,

5 2

25.解: (1)∵四边形 ABCD 是正方形,∴OB=OD. ∵OM⊥BC,∴∠OMB=∠DCB= 90 ,∴OM∥DC. ∴OM =

1 2

DC =

1

∵OM∥DC,∴

,………………………………………………1 分 EM y x x 即 = ,解得 y = .……………………………………………2 分 1 1 2x + 1 x+ 2 2 定义域为 x > 0 . ………………………………………………………………1 分 2x ( x > 0 ) …………………………………………………2 分 . (2) y = 2x + 3 BO BC a BO a (3) AD∥BC, = = , = . OD AD c BD a + c 过点 O 作 ON∥CD,交 BC 于点 N, ON BO ab ∴ = ,∴ ON = .………………………………………………2 分 DC BD a+c CN OD c CN c ac ∵ON∥CD, = = ,∴ = ,∴ CN = . ………2 分 BN BO a BC a + c a+c CF CE y x ∵ON∥CD,∴ = ,即 = . ab ac ON EN x+ a+c a+c

2 CF

,CM =

1

OM

=

2 CE

BC =

1 2

.………………………………………2 分

∴ y 关于 x 的函数解析式为 y =

abx ( x > 0) .…………………2 分 (a + c) x + ac



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