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江苏省泰州中学、靖江中学2015-2016学年高一下学期期中联考数学试题 Word版含答案


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、填空题: (本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.)
1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? 3n ?1 ,则数列 ?an ? 的通项公式是_________. 2.若正项等比数列 ?an ? 满足 2a5 ? 3a4 ? 2a3 ,则公比 q ? ________. 3.已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项 和,则使得 S 达到最大值的 n 是________. 4.如果 ?1, a, b, c, ?9 成等比数列,那么 b ? ________. 5.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? ? a ? 2? x ? 1互相垂直,则 a 等于_________. 6.已知两条直线 l1 : ? a ?1? x ? 2 y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 3 ? 0 平行,则 a 等于_________. 7.等比数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S2 ,3S3 成等差数列,则数列 ?an ? 的公比 =________.

?x ? 3y ? 4 ? 0 ? 8.变量 x, y 满足条件 ? 3 x ? 5 y ? 30 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为________. ? x ?1 ?

11.如图,在 ?ABC 中, D 是边 AC 上的点,且 AB ? AD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则

sin C 的值为________.

12.在 ?ABC 中,已知 AB ? 3, A ? 1200 ,且 ?ABC 的面积为 径为________. 13.

9 3 ,则 ?ABC 的外接圆半 4

? ax ? 3? ( x2 ? b) ? 0 对 ?x ? 0 恒成立,其中 a, b 是整数,则 a ? b 取值集合为

__________. 14.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 n 行 ? n ? 3? 从左向右的第 3 个数为________.

二、解答题
15.(14 分) 已知函数 f ? x ? ? cos
2

x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和值域; (2)若 f ? a ? ? 16.(14 分) 如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D ? 2?B ,且 AD ? 1, CD ? 3, cos B ? (1)求 ?ACD 的面积; (2)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

3 . 3

17.(15 分) (1)过点 P ? 0,1? 作直线 l 使它被直线 l1 : 2x ? y ? 8 ? 0 和 l2 : x ? 3 y ? 10 ? 0 截得的线段被 点 P 平分,求直线 l 的方程; (2)光线沿直线 l1 : x ? 2 y ? 5 ? 0 射入,遇直线 l : 3x ? 2 y ? 7 ? 0 后反射,求反射光线所 在的直线方程. 18.(15 分) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于 港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东 方向 匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶, 经过 t 小时与轮 船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向 和航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 19.(16 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差为-1,且 a2 ?a7 ?a12 ?? 6 .(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 与前 (2) 将数列的前四项抽去其中一项后, 剩下三项按原来顺序恰为等比数列 ?bn ? 的 n 项和 Sn ; 前 3 项,记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若存在 m ? N ,使对任意 n ? N ,总有 Sn ? Tm ? ? 恒
* *

成立,求实数 ? 的取值范围. 20.(16 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a2 ? 3 ,其前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? Sn?1 ? 2Sn ? 1,其中

n ? 2, n ? N * .

(1)求证:数列 ?an ? 为等差数列,并求其通项公式; (2)设 bn ? an ? 2? n ,Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. ①求 Tn 的表达式;②求使 Tn ? 2 的 n 的取值范围.

参考答案
一、填空题: 1. an ? ? 9.

? 0, n ? 1, 1 11 ;2. 2;3. 20; 4。 -3; 5. -1; 6. 2 或-1; 7. ; 8. ; 3 3 ?4n ? 5, n ? 2

3? ; 4

10. -11; 11. 二、解答题

n2 ? n ? 6 6 ; 12. 3; 13. ??2,8? ; 14. 2 6

15.(1)由已知,

f ? x ? ? cos2

x x x 1 1 2 ?? ? . . . . . . . .5 分 ? sin cos ? ? ? cos x ? sin x ? ? cos ? x ? ? . 2 2 2 2 2 2 4? ?
? ? 2 2? , ? ………………………7 分 2 2 ?

所以函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? ,值域为 ? ?

16.(1)因为 ?D ? 2?B,cos B ?

1 3 ,所以 cos D ? cos 2 B ? ? ……………………3 分 3 3

因为 ?D ? ? 0, ? ? ,所以 sin D ?

2 2 …………………………………5 分 3

因为 AD ? 1,CD ? 3 ,所以 S?ACD ? 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 (2)在 ?ACD 中, AC ? 分 由 AC ? AB ? BC ? 2 AB?BC cos B 得 AB ? 4 (14 分)
2 2 2

. . . . . . . . . . . . . . . . .9 AD2 ? DC2 ? 2 AD?DC cos D ? 2 3 .

17.解: (1)设 l1 与 l 的交点为 A ? a,8 ? 2a ? ,则由题 意知,点 A 关于点 P 的对称点 代入 l2 的方程得 ?a ? 3? 2a ? 6? ? 10 ? 0 , ∴a ? 4, 即点 A? 4,0? 在 B ? ?a, 2a ? 6? 在 l2 上, 直线 l 上,所以直线 l 的方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0 . (2)

由?

? x ? 2y ? 5 ? 0 ? x ? ?1 ,得 ? ,∴反射点 M 的坐标为 ? ?1, 2? .又取直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 ?3x ? 2 y ? 7 ? 0 ? y?2

上一点 P ? ?5,0? ,设 P 关于直线 l 的对称点 P? ? x0 , y0 ? ,由 PP? ? l 可知,

y 2 ? x ? 5 y0 ? kPP? ? ? ? 0 .而 PP? 的中点 Q 的坐标为 ? 0 , ? .又 Q 点在 l 上,∴ 3 x0 ? 5 2? ? 2
x ?5 y 3? 0 ? 2? 0 ? 7 ? 0 . 2 2

y0 2 ? 17 ? ?? x0 ? ? ? ? x0 ? 5 3 ? ? 13 由? 得? , ? 3 ? x ? 5 ? ? y ? 7 ? 0 ? y ? ? 32 0 0 0 ? ? 13 ? ?2
根据直线的两点式方程可得所求反射光线 所在直线的方程为 29 x ? 2 y ? 33 ? 0 . 18.解: (1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里,



? 1? S ? 900t 2 ? 400 ? 2? 30t ?20?cos ? 900 ? 300 ? ? 900t 2 ? 600t ? 400 ? 900 ? t ? ? ? 300 ? 3?
……4 分 故当 t ?

2

1 10 3 ? 30 3 …………………………6 分 时, S min ? 10 3, v ? 1 3 3

即小艇以 30 3 海里/小时的速度航行,相遇小艇的航行距离最小…………………7 分 (2)

设小艇与轮船在 B 处相遇.
2 2 2 20? 30t ?cos 900 ? 300 , 则 v t ? 400 ? 900t ? 2?

?

?

故 v ? 900 ?
2

600 400 ? 2 ………………………………9 分 t t

∵ 0 ? v ? 30 , ∴ 900 ? 又t ?

600 400 2 3 2 ? 2 ? 900 ,即 2 ? ? 0 ,解得 t ? ………………………10 分 t t t t 3

2 时, v ? 30 , 3 2 ………………………………12 分 3

故 v ? 30 时, t 取得最小值,且最小值等于

此时,在 ?OAB 中,有 OA ? OB ? AB ? 20 , 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30°,航行速度为 30 海里/小时…………………………15 分 19.(1)由 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 得 a7 ? ?2 ,∴ a1 ? 4 ,∴ an ? 5 ? n ,从而

Sn ?

? 9 ? n ? n …………6 分
2
1 , 2

(2)由题意知 b1 ? 4, b2 ? 2, b3 ? 1 ,设等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,则 q ? ∴ Tn ? 8 ?1 ? n ? ,则 ?Tn ? 对递增数列,得 4 ? Tn ? 8 . 2

? ?

1? ?

若存在 m ? N , 使对任意 n ? N ,Sn ? Tn ? ? 恒成立, 因为 ? Sn ?max ? S ? 4? ? S ?5? ? 10 ,
* *

* * 若存在 m ? N , 使对任意 n ? N , 则 10 ? 4 ? ? , 得? ? 6. 4 ? Tn ? 8 , Sn ? Tm ? ? 恒成立,

即实数 ? 的取值范围 ? 6, ??? .
* 20.解: (1)由已知, ? S n ?1 ? S n ? ? ? S n ? S n ?1 ? ? 1 n ? 2, n ? N ,即

?

?

an ?1 ? an ? 1? n ? 2, n ? N * ? ,且 a2 ? a1 ? 1 ,∴数列 ?an ? 是以 a1 ? 2 为首项,公差为 1 的
等差数列,∴ an ? n ? 1 ………………5 分 (2)∵ an ? n ? 1 ,∴ bn ? ? n ? 1??

1 , 2n

1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? n? n ?1 ? ? n ? 1?? n …………………………….① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n? n ? ? n ? 1? n ?1 ……………………………② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ①-②得: Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ? 1?? n ?1 2 2 2 2 2 n?3 ∴ Tn ? 3 ? n ……………………………………10 分 2 n?3 n?3 代入不等式得: 3 ? n ? 2 ,即 n ? 1 ? 0 , 2 2 n?3 n?2 设 f ? n ? ? n ? 1,则 f ? n ? 1? ? f ? n ? ? ? n ?1 ? 0 , 2 2
∴ f ? n ? 在 N ? 上单调递减……………………………………12 分 ∵ f ?1? ? 1 ? 0, f ? 2 ? ?

1 1 ? 0, f ? 3? ? ? ? 0 , 4 4

∴当 n ? 1, n ? 2 时, f ? n? ? 0 ,当 n ? 3 时, f ? n? ? 0 , 所以 n 的取值范围为 n ? 3 ,且 n ? N ………………………16 分
*



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