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湖北省黄冈中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


湖北省黄冈中学 2015-2016 学年高二上学期期末考试数学试题(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选 项是符合题目要求的.) 1、总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取 方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 C.02 B.07 D.01

2、甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高; ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低; ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是( ) A.③④ C.②④ B.①②④ D.①③④

3、当输入 x=-4 时,如图的程序运行的结果是( )

1

A.7 C.9

B.8 D.15

4、下列说法错误的是( ) A.若命题“p∧q”为真命题,则“p∨q”为真命题 B.命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实根”的逆命题为真命题 C.命题“若 a>b,则 ac >bc ”的否命题为真命题 D.若命题“ ”为假命题,则“ ”为真命题
2 2 2

5、一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下表: 年龄 x 身高 y 6 118 7 126 8 136 9 144

由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 ( ) B.153 D.151

,预测该学生 10 岁时的身高为

A.154 C.152

6、“a≠5 且 b≠-5”是“a+b≠0”的( )

2

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既非充分条件也非必要条件

7、某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 一年级 女生 男生 373 377 二年级 x 370 三年级 y z

如果从全校学生中随机抽取一名学生,抽到二年级女生的概率为 0.19.现用分层抽样的方法在全校 学生中分年级抽取 64 名学生参加某项活动,则应在三年级中抽取的学生人数为( ) A.24 C.16 B.18 D.12

8、 已知双曲线 率为 ,则此双曲线的方程为( )

的一个焦点与抛物线 y =-4x 的焦点重合, 且双曲线的离心

2

A.

B.

C.

D.

9、如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2, 角为( )

,则 AA1 与平面 AB1C1 所成的

3

A.

B.

C.

D.

10、已知:a,b,c 为集合 A={1,2,3,4,5}中三个不同的数,通过如下框图给出的一个算法输出 一个整数 a,则输出的数 a=4 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

4

11、如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,底面是边长为 1 的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且 AA1=3,则 A1C 的长为( )

A.

B.

C.

D.

12、椭圆

的左、右焦点分别为 F1,F2,弦 AB 过 F1,若△ABF2 的内切圆周长为π ,A、B

两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则|y2-y1|的值为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题 13、三进制数 121(3)化为十进制数为__________.

14、若命题“

,使 x +(a-1)x+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围为__________.

2

5

15、在区间[-2,4]上随机地取出一个数 x,若满足|x|≤m 的概率为

,则 m=__________.

16、以下四个关于圆锥曲线的命题中:

①双曲线

与椭圆

有相同的焦点;

②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是相切 的; ③设 A、B 为两个定点,k 为常数,若|PA|-|PB|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; ④过抛物线 y =4x 的焦点作直线与抛物线相交于 A、 B 两点, 它们的横坐标之和等于 5, 则|AB|=7. 其中真命题的序号为__________(写出所有真命题的序号)
2

三、解答题 17、(本小题满分 10 分)《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车; 在 80mg/100ml (含 80) 以上时,属于醉酒驾车. 某 市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中,依法检查了 300 辆机动车,查处酒后驾车和醉 酒驾车的驾驶员共 20 人,检测结果如下表:

酒精含量 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)

[90,

g/100mL)

人数

3

4

1

4

2

3

2

(Ⅰ)绘制出检测数据的频率分布直方图(在图中用实线画出矩形框即可); (Ⅱ)求检测数据中醉酒驾驶的频率,并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数.

6

18、 (本小题满分 12 分) p: 实数 x 满足 x -4ax+3a <0, 其中 a>0, q: 实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2) 是 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

2

2



19、(本小题满分 12 分)某射击运动员进行射击训练,前三次射击在靶上的着弹点 A、B、C 刚好是 边长分别为 5cm,6cm, 的三角形的三个顶点.

(Ⅰ)该运动员前三次射击的成绩(环数)都在区间[7.5,8.5)内,调整一下后,又连打三枪, 其成绩(环数)都在区间[9.5,10.5)内.现从这 6 次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩(记为 a 和 b)进行技术分析.求事件“|a-b|>1”的概率. (Ⅱ)第四次射击时,该运动员瞄准△ABC 区域射击(不会打到△ABC 外),则此次射击的着弹 点距 A、B、C 的距离都超过 1cm 的概率为多少?(弹孔大小忽略不计)

20、(本小题满分 12 分)已知抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,直线 2x-y+2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点,P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (Ⅰ)若直线 AB 过焦点 F,求|AF|·|BF|的值; (Ⅱ)是否存在实数 p,使得以线段 AB 为直径的圆过 Q 点?若存在,求出 p 的值;若不存在, 说明理由.

2

7

21、(本小题满分 12 分)在直角梯形 PBCD 中,

,BC=CD=2,PD=4,A 为 PD 的中点,

如下左图.将△PAB 沿 AB 折到△SAB 的位置,使 SB⊥BC,点 E 在 SD 上,且 (Ⅰ)求证:SA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 E—AC—D 的正切值.

,如下图.

22、(本小题满分 12 分)已知点 P 是圆 C:

上任意一点,

是圆 C 内一

点,线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 CP 交于点 Q,O 为坐标原点. (Ⅰ)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 E 的方程. (Ⅱ)设过点 B(0,-2)的动直线与 E 交于 M,N 两点,当△OMN 的面积最大时,求此时直线 的方程.

8

答案与解析 1、D 解析:由题意知选定的第一个数为 65(第 1 行的第 5 列和第 6 列),按由左到右选取两位数(大于 20 的跳过、重复的不选取),前 5 个个体编号为 08、02、14、07、01.故选出来的第 5 个个体的编 号为 01. 2、A 解析:①中甲的中位数是 81,乙的中位数是 87.5,因此乙的中位数较大;②甲的平均分为 ,乙的平均分为 分高;④中甲的数据比较集中,乙的数据比较分散,因此甲的方差较小. 3、D 解析:由程序语言可得 ,当输入 x=-4 时,代入计算得 y=15.故选 D. ,所以乙的平均

4、B 解析:命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实根”的逆命题为“若方程 x +x-m=0 有实数根,则 m>0”,方程 x2+x-m=0 有实数根只要 5、B 解析: ,代入线性回归直线方程 ,∴x=10 时, ,故选 B. ,可得 , ,所以不一定得到 m>0,所以 B 错.
2 2

6、D 解析:a≠5 且 b≠-5 推不出 a+b≠0,例如 a=2,b=-2 时 a+b=0,a+b≠0 推不出 a≠5 且 b≠- 5,例如 a=5,b=-6,故“a≠5 且 b≠-5”是“a+b≠0”的既不充分又不必要条件,故选择 D. 7、C 解析:由条件得 ,∴x=380.

9

则 ,故选 C.

,所以在三年级中抽取的学生人数为

8、B 解析:由题意知 .

9、A 解析:利用体积相等,

10、C 解析: .

11、A 解析:法一:因为 ,

所以





,故



法二:先求线 AA1 和面 ABCD 所成的角为 45°,

,在△ACA1 中,

,故



12、D

10

解析:由椭圆方程得 a=5,b=4,∴c=3,左、右焦点 F1(-3,0)、F2( 3,0),△ABF2 的内切圆 面积为π ,则内切圆的半径为 |F1F2|+ ×|y2|×|F1F2|= ,而△ABF2 的面积=△AF1F2 的面积+△BF1F2 的面积= ×|y1|×

×(|y1|+|y2|)×|F1F2|=3|y2-y1|(A、B 在 x 轴的上下两侧),又△ × (2a+2a) =a=5. 所以 3|y2-y1|=5, .

ABF2 的面积=

×r (|AB|+|BF2|+|F2A|) =

13、16 解析: .

14、[-1,3] 解析: .

15、3 解析: .

16、①②④ 17、(1)检测数据的频率分布直方图如图:

(5 分)

(2)检测数据中醉酒驾驶的频率是

.(6 分)

估计检测数据中酒精含量的众数是 35 与 55.(8 分) 估计检测数据中酒精含量的平均数是

.(10 分)
11

18、(1)由

,得

,又 a>0,

所以 a<x<3a.(2 分) 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3.(3 分) 由 得 得 2<x≤3,

即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3.(4 分) 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,(5 分) 所以实数 x 的取值范围是 2<x<3.(6 分) (2) 是 的充分不必要条件,即 ,且 推不出 .

即 q 是 p 的充分不必要条件,

(8 分)



,解得 1<a≤2,所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2.(12 分)

19、(Ⅰ)前三次射击成绩依次记为 x1、x2、x3,后三次成绩依次记为 y1、y2、y3,从这 6 次射击成 绩中随机抽取两个,基本事件是:

,共 15 个,(3 分)

其中可使|a-b|>1 发生的是后 9 个基本事件.故

.(6 分)

(Ⅱ)因为着弹点若与 A、B、C 的距离都超过 1cm,则着弹点就不能落在分别以 A、B、C 为圆心, 半径为 1cm 的三个扇形区域内,只能落在扇形外的部分.(7 分) 因为 (9 分)

满足题意部分的面积为

,(11 分)

故所求概率为

.(12 分)

12

20、(1)∵F(0,2),p=4,∴抛物线方程为 x =8y,(1 分) 与直线 y=2x+2 联立消去 y 得:x2-16x-16=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2).(2 分) 则 x1+x2=16,x1x2=-16,(3 分) ;(5 分)

2

(2)假设存在,由抛物线 x =2py 与直线 y=2x+2 联立消去 y 得:x -4px-4p=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),△>0,则 x1+x2=4p,x1x2=-4p,(7 分) P(2p,4p+2),Q(2p,2p).(8 分) 方法一: (9 分)

2

2

(10 分)

(11 分)

故存在

且满足△>0.(12 分)

方法二:由

得:

.(9 分)



,(10 分)

,(11 分) 代入得 4p2+3p-1=0,

.故存在

且满足△>0.(12 分)

21、(1)证明:在图中,由题意可知,

13

BA⊥PD,ABCD 为正方形,所以在图中, SA⊥AB,SA=2, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,(2 分) 因为 SB⊥BC,AB⊥BC,所以 BC⊥平面 SAB,(4 分) 又 SA 平面 SAB,所以 BC⊥SA,又 SA⊥AB,所以 SA⊥平面 ABCD.(6 分)

(2)方法一:建立空间直角坐标系,以 AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AS 为 z 轴,(7 分) A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2) .(8 分)

.(10 分)

即二面角 E—AC—D 的正切值为

.(12 分)

方法二:在 AD 上取一点 O,使

,连接 EO.

因为

,所以 EO//SA,所以 EO⊥平面 ABCD,过 O 作 OH⊥AC 交 AC 于 H,连接 EH,(7 分)

则 AC⊥平面 EOH,所以 AC⊥EH.所以∠EHO 为二面角 E—AC—D 的平面角,(9 分) ,在 Rt△AHO 中,

.(11 分)

,即二面角 E—AC—D 的正切值为

.(12 分)

22、(1)由题意知|PQ|=|AQ|,又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4.(2 分)
14

,由椭圆定义知 Q 点的轨迹是椭圆,(3 分)

2a=4,即 a=2,

,∴Q 的轨迹方程 E:

.(5 分)

(2)由题意知所求的直线不可能垂直于 x 轴,所以可设直线为:y=kx-2,M(x1,y1),N(x2,y2), 联立方程组,将 y=kx-2 代入 中得

(7 分)

(8 分)



当且仅当

即 t=2 时面积最大,最大值为 1.(10 分)

(11 分)

.(12 分)

15


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