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2011-2012学年度上学期安徽数学优质课大赛课件方程的根与函数的零点(6)_图文

方程的根与函数的零点

马鞍山市红星中学 何玉宝

方程解法史话
在人类用智慧架设 的无数座从未知通向已 知的金桥中,方程的求 解是其中璀璨的一座, 虽然今天我们可以从教 科书中了解各式各样方 程的解法,但这一切却 经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已 比较系统地解决了部分 方程的求解的问题。如 约公元50年—100年编成 的《九章算术》,就给 出了求一次方程、二次 方程和三次方程根的具 体方法…

方程实例求解

求下列方程的根:

?1? 3x ? 2 ? 0
(2) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

(3) x ? x ? 2 ? 0
3

(4) ln x ? 2 x ? 6 ? 0

知识探究(一):方程的根与函数零点 的关系

思考: 以下一元二次方程的实数根与相应的二次函 数的图像有什么关系?
方程
方程的实数根 x2-2x-3=0 x1=-1,x2=3 y= x2-2x-3

x2-2x+1=0
x1=x2=1 y= x2-2x+1 .y
2

x2-2x+3=0 无实数根 y= x2-2x+3
y

相应函数

.
函数的图象
-1

y
2 1

.
.
-1 -2

. . . .
2

.
3 2 1
-1

.

.

5 4

0

1

2

3

x
-1

1

.
1

.
2

.

0

1

-3
-4

x

. (1,0)

0

3

x

函数图像与 x轴的交点

(-1,0)、(3,0)

无交点

知识探究(一):方程的根与函数零点 的关系

函数的零点定义: 对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 等价关系

零点是一个点吗?

方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

即兴练习

1、函数y=x2-5x+6的零点是( D ) A(3,0),(2,0); C x=3 ;
2

B D

x=2 ; 2和3.

2、若函数f ? x ? ? x ? 2 x ? a没有零点, 则实数a的取值范围是 ? A、a ? 1 C、a ? 1 B、a ? 1 D、a ? 1
B

?

知识探究(二):函数零点存在性定理

生活实例探究——小马过河





知识探究(二):函数零点存在性定理

数学实例探究:
f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象: 观察二次函数

< 1 ○ f (?2) · f (1) _____0(<或>) ,
函数 y ? f (x) 在区间(-2,1)上是否 有零点?

< 2 ○ f (2) · f (4) ____0(<或>) ,
函数 y ? f (x) 在区间(2,4)上是否 有零点?

知识探究(二):函数零点存在性定理

函数零点存在性定理:

函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有f(a)?f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b), 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0 的根.
思考:
1 上述定理中,函数的零点是否唯一?
2 若 f (a) f (b) ? 0,则函数在区间(a,b)内一定没有零点吗?

例1 观察下表,分析函数

在定义域内是否存在零点?
x -2 -1 f(x) -109 -10 0 -1 1 8 2 107

例2 求函数

f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的零点个数

解法1:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表 和图象
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4

-1.3069 1.0986

3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

y 由上表和右图可知 f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0, 14 12 说明这个函数在区间(2,3)内 10 8 有零点。 6 4 由于函数f(x)在定义域 2 (0,+∞)内是增函数,所以 0 它仅有一个零点。 -2
-4 -6

. .3 ..
4

.

.

.

.
5 6 7 8 9 10

1

2

x

.

一题多解
例2 求函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的零点个数

方法2: 将函数 ?f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6的零点个数转化为
y 6 5 4 3

函数y ? ln x与y ? ?2 x ? 6的图象交点的个数。

2 1 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 5
x

知识巩固练习: 1、对于定义在R上的连续函数y=f(x),若 f(a).f(b)<0 (a,b ? R,且a<b),则函数y=f(x)

在(a,b)内( B )
A 只有一个零点 B 至少有一个零点

C

无零点

D 无法确定有无零点

2、若方程 2ax ? 1 ? 0 在(0,1)内有一解,

1 则 a 的取值范围是____________; a? 2

3、若函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? a 有3个零点

4 则 a ? ______

知识总结: 小结: 1、函数y=f(x)的零点的定义 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

2、等价关系
方程f(x)=0 有实根 函数y=f(x)的图 象与x轴有交点 函数y=f(x) 有零点

3、函数y=f(x)的零点存在性的判定

课后作业:

1.教材 P92 习题 3.1(A 组)第 2 题; 2. 3.

课后延展:

已知函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点在(2,3)内 如何求这个零点的近似值?







导!



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