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江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等六校2017-2018学年高二数学下学期期末联考试题 理

什么时候 雨的温 柔又来 摇醒

2017~2018 学年度第二学期期末高二理科数学联考试卷
2018-6-18 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 22 小题,共 150 分.共 4 开, 考试时间 120 分钟,考生作答时将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求。) 1.若回归直线的斜率 A. B. C. 0 满足 ,则相关系数的取值范围为( D. 无法确定 ,则下列不等式一定成立的是 )

2.已知非零实数 A.

B.

C.
,若 C. 2 D. 4

D.
,则实数 ( )

3.已知随机变量 A. 0 B. 1
4

4.已知 ? 2 x ? 1? ? a0 ? a1 ? x ? 1? ? a2 ? x ? 1? A. 18 5.三棱锥 B. 24 中,平面 C. 36 平面 ) D.

2

? a3 ? x ? 1? ? a4 ? x ? 1? ,则 a2 ? (
3 4



D. 56 , , , ,则三棱锥

的外接球的表面积为( A. B. C.

6.以下四个命题中: ①两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近 1 ; ②若数据 x1 , x2 , x3 ,..., xn 的方差为 1 ,则 2 x1 , 2 x2 , 2 x3 ,..., 2 xn 的方差为 2 ;
2 ③对分类变量 x 与 y 的随机变量 k 的观测值 k 来说, k 越小,判断“ x 与 y 有关系”的把握

程度越大. 其中真命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7.如右图,网格纸上小正方形的边长为 2,粗实线及粗虚线画出的是某四棱 锥的三视图,则该四棱锥的外接球的表面积为( )
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A.

51π 4

B.

41π 2

C. 41π

D. 31π

8.将编号为 1,2,3,4 的四个小球放入 A,B,C 三个盒子中,若每个盒子至 少放一个球,且 1 号球和 2 号球不能放在同一个盒子,则不同的放法种数 为( A. 24 ) B. 30 C. 48 D. 72

9.若离散型随机变量 的分布列为

,则

5? ?3 P ? ? X ? ? 的值为( 2? ?2
A. B. C.



D. 中,底面 ,则异面直线 与 D. 是矩形, 底面 , 是 ) 的中点,

10.如图,在四棱锥

所成的角的大小为(

A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

? 6
, ?35,40? ,

11.某学校随机抽查了本校 20 个同学,调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间(单位: 分钟) , 根据所得数据的茎叶图, 以 5 为组距将数据分为 8 组, 分别是 ?0,5? , ?5,10? , 作出频率分布直方图如图所示,则原始的茎叶图可能是( )

12.用五种不同的颜色给图中 ABCDEF 六个小长方形区域涂色,要求颜色齐全且有公共边的

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区域颜色不同,则共有涂色方法( A. 720 种 B. 840 种

) D. 1080 种

C. 960 种

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.某公司安排 6 位员工在元旦假期(1 月 1 日至 1 月 3 日)值班,每天安排 2 人,每人值班 一天,则 6 位员工中甲不在 1 月 1 日值班的概率为__________; 14.已知圆锥的顶点为 ,母线 , 互相垂直, 与圆锥底面所成角为 ,若 的面

积为 ,则该圆锥的体积为__________; 15. 展开式中二项式系数和为 32,则 展开式中 的系数为_________;

16.甲罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球;乙罐中有 5 个红球,3 个白球和 2 个黑球.先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1、A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑 球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,下列的结论: ①P(B)= ;②P(B|A1)= ;③事件 B 与事件 A1 不相互独立;④A1,A2,A3 是两两互斥的事

件;⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中哪一个发生有关,其中正确结论的序号 为 .(把正确结论的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分)习近平总书记在十九大报告中指出,必须树立和践行“绿水青山就 是金山银山”的生态文明理念,这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展,以下是近几年 我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图:

(1)请根据散点图判断,



中哪一个更适宜作为年销售量 关于年份代

码 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 关于 的回归方程,并预测 2018 年我国新能源 乘用车的销售量(精确到 0.1)

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?? 附:最小二乘估计公式: b

? ( x ? x )( y ? y ) ? x y ? nxy
i ?1 i i

n

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

i

i

?x
i ?1

? ? ? y ? bx ,a
.

2 i

? nx

2

参考数据:

22.72

374

135.2

851.2

其中

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在

中,已知

, 在

上,

且 (1)求证: (2)求二面角

,又 平面

平面 ; 的余弦值.

.

19.(本小题满分 12 分)某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课 题研究,对于高二年级 800 名学生上学期期末数学和物理成绩,按优秀和不优秀分类得结果: 数学和物理都优秀的有 60 人,数学成绩优秀但物理不优秀的有 140 人,物理成绩优秀但数学 不优秀的有 100 人. (1)能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系? (2)将上述调查所得到的频率视为概率,从全体高二年级学生成绩中,有放回地随机抽取 3 名学生的成绩,记抽取的 3 个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为 X ,求 X 的期望 E ? X ? . 附:

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20. (本小题满分 12 分) 如图甲所示, BO 是梯形 ABCD 的高, ?BAD ? 45? ,

OB ? BC ? 1 , OD ? 3OA ,现将梯形 ABCD 沿 OB
折起如图乙所示的四棱锥 P ? OBCD , 使得 PC ? 3 , 点 E 是线段 PB 上一动点. (1)证明: DE 和 PC 不可能垂直; (2)当 PE ? 2 BE 时,求 PD 与平面 CDE 所成角的正弦值.

21.(本小题满分 12 分)某单位计划在一水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿 立方米)都在 40 以上,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超 过 120 的年份有 5 年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流 量相互独立. (1)求未来 3 年中,设表示流量超过 120 的年数,求的分布列及期望; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 限制, 并有如下关系: 年入流量 发电机最多可运行台数 1 2 3

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万 元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

22.(本小题满分 10 分)已知函数 (1)当 时,解不等式 都存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.

(2)若对任意

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什么时候 雨的温 柔又来 摇醒

高二数学(理)参考答案 1. B 7.C 12.D 13. 17. 2. A 8.B 3. C 9.A 4. B 10.C 5. A 11.B 6. B

2 3

14.8π

15. ?30

16.②③④

2分 7分

9分

10 分 12 分

18. (Ⅰ)证明:设 OA=1,则 PO=OB=2,DA=1, 由 DA∥PO,PO⊥平面 ABC,知 DA⊥平面 ABC, ∴DA⊥AO.从而 DO= 在△PDO 中,∵PO=2, ∴△PDO 为直角三角形,故 PD⊥DO. ---------- 6 分 又∵OC=OB=2,∠ABC=45? , ∴CO⊥AB,又 PO⊥平面 ABC, ∴PO⊥OC, 又 PO,AB? 平面 PAB,PO∩AB=O, ∴CO⊥平面 PAB. 故 CO⊥PD.
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2 ,PD=

2,

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∵CO∩DO=O, ∴PD⊥平面 COD. ………………6 分

(Ⅱ)以 OC,OB,OP 所在射线分别为 x,y,z 轴,建立直角坐标系如图。 则由(Ⅰ)知,C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,? 1,1), ∴ PD =(0,? 1,? 1), BC =(2,? 2,0), BD =(0,? 3,1), 由(Ⅰ)知 PD⊥平面 COD,∴ PD 是平面 DCO 的一个法向量, 设平面 BDC 的法向量为 n =(x,y,z),∴?

? n · BC =0 ? n · BD =0

?2x? 2y =0 ? ,∴? ? 3y+z=0 ??



令 y=1,则 x=1,z=3,∴ n =(1,1,3), ∴cos< PD , n >

由图可知: 二面角 B? DC? O 为锐角,二面角 B? DC? O 的余弦值为 19.(1)由题意可得列联表: 物理优秀 物理不优秀 总计 数学优秀 60 140 500 600 160 640 800

2 22 ………………12 分 11

数学不优秀 100 总计 200

800(60 ? 500 ? 140 ?100)2 因为 K = =16.667>10.828. 160 ? 200 ? 600
2

…(8 分)

所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关. (2)每次抽取 1 名学生成绩,其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率 0.375. 将频率视为概率,即每次抽取 1 名学生成绩,其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率 为

------

3 3 9 .由题意可知 X~B(3, ),从而 E(X)=np= . 8 8 8

…(12 分)

20. 【答案】(1)详见解析; (2)

3 . 15

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【解析】试题分析:由于折叠后 PC ? 3 ,经过计算知 OP ? OD ,这样 OB, OD, OA ?OP ? 两两垂直,因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系,写出各点坐标. (1)否定性命题,可假设 DE ? PC ,同时设 E ? x,0,1 ? x ? ( 0 ? x ? 1 ),利用向量垂直计 算出 x ,如果满足 0 ? x ? 1 说明存在,如果不满足 0 ? x ? 1 说明不存在; (2)由 PE ? 2 BE 得 E 点坐标,从而可求出平面 CDE 的法向量 n ,则向量 PD 与 n 夹角的 余弦的绝对值等于直线 PD 与平面 CDE 所成角的正弦值. 解析: 如图甲所示, 因为 所以 ,因为 ,如图乙所示, ,所以有 , ,所以 、 ,所以 、 是梯形 , 的高, ,可得 , OC ? 2 , ,所以 平面 两两垂直.故以 , ,所以 ,有 ,解得 ,又 为原点, , , , ,假设 和 ,而 , ,

建立空间直角坐标系(如图),则 (1)设 垂直,则 其中

,这与 0 ? x ? 1 矛盾,假

设不成立,所以 DE 和 SC 不可能垂直.……………………6 分 (2)因为 ,所以 ,设平面 的一个法向量是 ,因为



,所以



,即 ---------- 6 分

,



,而

,所以

,所以

与平面

所成角的正弦值为 21. 【答案】(1) 【解析】试题分析:

.……………………12 分 (2)欲使总利润的均值达到最大,应安装 2 台发电机

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(1)利用二项分布求得分布列,然后可得数学期望为 0.3; (2)利用题意分类讨论可得应安装 2 台发电机. 试题解析:(1)依题意, 由二项分布可知, . , , 所以的分布列为 0 0.729 . 1 0.243 2 0.027 3 0.001 , , ,

……………………6 分

(2)记水电站的总利润为 (单位:万元), ①假如安装 1 台发点机,由于水库年入流总量大于 40,故一台发电机运行的概率为 1,对应 的年 利润 , ;

②若安装 2 台发电机, 当 当 时,只一台发电机运行,此时 时,2 台发电机运行,此时 . ③若安装 3 台发电机, 当 当 当 时,1 台发电机运行,此时 时,2 台发电机运行,此时 时,3 台发电机运行,此时 , , , , , , , , , ,

综上可知,欲使总利润的均值达到最大,应安装 2 台发电机. ……………………12 分 22.

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--------- 5 分

---------- 10 分

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