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圆锥曲线焦点弦公式及应用


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圆锥曲线焦点弦公式及应用
湖北省阳新县高级中学 邹生书

焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一 体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属 客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的。 定理 1 已知点 是离心率为 的圆锥曲线 的焦点, 过点 。(1)当焦点 的弦 内分弦 与 的 时,

焦点所在的轴的夹角为 ,且



;(2)当焦点

外分弦

时(此时曲线为双曲线),有



证明 设直线 是焦点

所对应的准线,点

在直线 上的射影分别为

, 点

在直线

上的射影为

。 由圆锥曲线的统一定义得,





,所以



(1) 当焦点

内分弦

时。

如图 1,

,所以



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图1 (2) 当焦点 外分弦 时(此时曲线为双曲线)。

如图 2,

,所以



图2 评注 特别要注意焦点外分焦点弦(此时曲线为双曲线)和内分焦点弦时公 式的不同,这一点很容易不加区别而出错。

例 1(2009 年高考全国卷Ⅱ理科题)已知双曲线 右焦点为 ,过 且斜率为 的直线交 于 两点。若 ,则

的 的

离心率为( )

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解 这里

, 所以

, 又

, 代入公式得



所以

,故选



例 2(2010 年高考全国卷Ⅱ理科第 12 题)已知椭圆

的离心率为 ,则

。过右焦点且斜率为 ( )

的直线于

相交于

两点,若

解 这里



, 设直线

的倾斜角为 , 代入公式得



所以

,所以

,故选



例 3 (08 高考江西卷理科第 15 题)过抛物线

的焦点

作倾

斜角为 ___

的直线,与抛物线交于

两点(点



轴左侧),则有

_

图3

华附在线学习中心 解 如图 3, 由题意知直线 与抛物线的地称轴的夹角 , 当点 在

轴左侧时,设

,又

,代入公式得

,解得

,所



。 例 4 (2010 年高考全国卷Ⅰ理科第 16 题)已知 是椭圆 的一个焦点, ,则 的离心

是短轴的一个端点,线段 率为___

的延长线交

于点

,且

解 设直线

与焦点所在的轴的夹角为 , 则

, 又



代入公式得

,所以



例 5(自编题)已知双曲线 焦点 __ 且斜率为 的直线交 的两支于

的离心率为 两点。若

,过左 ,则 _

解 这里



,因直线

与左右两支相交,故应选择公式

,代入公式得

,所以

所以

,所以



华附在线学习中心 定理 2 已知点 和直线 是离心率为 的圆锥曲线 。过点 的弦 的焦点和对应准线,焦 与曲线 的焦点所在的

准距(焦点到对应准线的距离)为

轴的夹角为

,则有



证明 设点 交直线 于点

在准线 上的射影分别为 ,交直线 于点

, 过点

作轴

的垂线

。由圆锥曲线的统一定义得,

,所以



图4 (1)当焦点 内分弦 时。如图 4, 。 , ,

所以较长焦半径

,较短焦半径



所以



(2)当焦点

外分弦

时(此时曲线为双曲线)。

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图5 如图 5, , 。

所以



所以较长焦半径

,较短焦半径



所以



综合 (2) 较长焦半径 (1) 知,

, 较短焦半径



焦点弦的弦长公式为

。 就是径之半,较长焦半

特别地,当曲线为无心曲线即为抛物线时,焦准距



, 较短焦半径

, 焦点弦的弦长公式为



当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时,焦准距为



华附在线学习中心 注 由上可得,当焦点 内分弦 时,有

。当焦点

外分弦

时,有



例 6 (2009 年高考福建卷理科第 13 题)过抛物线 作倾斜角为 __ 的直线,交抛物线于 两点,若线段

的焦点 的长为 8,则 _

解 由抛物线焦点弦的弦长公式为

得,

, 解得



例 7(2010 年高考辽宁卷理科第 20 题)已知椭圆 焦点为 ,经过 。 且倾斜角为 的直线 与椭圆相交于不同两点

的右 ,已知

(1)求椭圆的离心率;(2)若

,求椭圆方程。

解 (1) 这里



, 由定理 1 的公式得

, 解得



(2) 将

, 代入焦点弦的弦长公式得,



解得

,即

,所以

①,又

,设

华附在线学习中心 ,代入①得 ,所以 ,所以 ,故所求

椭圆方程为



例 8(2007 年重庆卷第 16 题)过双曲线 的直线,交双曲线于 两点,则

的右焦点 的值为___

作倾斜角为

解 易知

均在右支上,因为

,离心率

,点准距

,因倾斜角为

,所以

。由焦半径公式得,



例 9 (由 2007 年重庆卷第 16 题改编)过双曲线 斜角为 的直线,交双曲线于 两点,则

的右焦点 的值为___

作倾

解 因为 ,所以 。注意到

,离心率

,点准距

,因倾斜角为

分别在双曲线的两支上,由焦半径公式得,



例 10 (2007 年高考全国卷Ⅰ)如图 6,已知椭圆 分别为 且 ,过 的直线交椭圆于 两点,过

的左、右焦点 两点,

的直线交椭圆于

。求四边形面积的最小值。

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图6

解 由方程可知,

,则



设直线



轴的夹角为 ,因为

,所以直线





的夹角为

。代入弦长公式得,



。故四边形

的面积为,



所以四边形面积的最小值为




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