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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题四 第2讲空间中的平行与垂直


第2讲

空间中的平行与垂直

【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要是以下两种形式:1.以填空题的形式考查, 主要利用平面的基本性质及线线、 线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断, 属基 础题.2.以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题,且 多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查,难度中等.

1. 线面平行与垂直的判定定理、性质定理 a∥b? 线面平行的判定定理 b?α??a∥α a?α ? ?

?

a∥α 线面平行的性质定理

? ? a?β ??a∥b α∩β=b? ?

a?α,b?α? 线面垂直的判定定理 a∩b=O

? ??l⊥α l⊥a,l⊥b ? ?
a⊥α? ? ??a∥b ? b⊥α?

线面垂直的性质定理

2. 面面平行与垂直的判定定理、性质定理 a⊥α? ? ??α⊥β ? a?β? α⊥β 面面垂直的性质定理 a?α a⊥c

面面垂直的判定定理

α∩β=c

? ? ??a⊥β ? ?

面面平行的判定定理

? ? ??α∥β a∩b=O ? a∥α,b∥α?
a?β b?β α∥β

面面平行的性质定理

? ? α∩γ=a??a∥b β∩γ=b? ?

提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时,要注意其具备的条件,缺一不可. 3. 平行关系及垂直关系的转化示意图

考点一 空间线面位置关系的判断 例1 (1)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是________.(填序号) ①l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 ②l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 ③l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 ④l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 (2)设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是________.(填序号) ①若 l⊥m,m?α,则 l⊥α ②若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α ③若 l∥α,m?α,则 l∥m ④若 l∥α,m∥α,则 l∥m 答案 解析 (1)② (2)②

(1)对于①,直线 l1 与 l3 可能异面、相交;对于③,直线 l1、l2、l3 可能构成三棱

柱的三条棱而不共面;对于④,直线 l1、l2、l3 相交于同一个点时不一定共面,如正方 体一个顶点的三条棱.对于②,由异面直线所成角的定义知②正确. (2)①中直线 l 可能在平面 α 内;③与④中直线 l,m 可能异面;事实上由直线与平面垂 直的判定定理可得②正确. 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、 空间位置关系的各种情况, 以及空间线面垂直、 平行关系的判定定理和性质定理进行判 断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何 中的结论不能完全移植到立体几何中. (1)(2013· 广东改编)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是________.(填序号) ①若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n ②若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n ③若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β ④若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β (2)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是________.(填序号) ①存在一条直线 a,a∥α,a∥β ②存在一条直线 a,a?α,a∥β ③存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α ④存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 答案 (1)④ (2)④

考点二 线线、线面的位置关系 例2 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC= ∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB. (1)若 F 为 PC 的中点,求证:PC⊥平面 AEF; (2)求证:EC∥平面 PAB. 证明 (1)由题意得 PA=CA,∵F 为 PC 的中点,

∴AF⊥PC.∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面 PAC, ∴CD⊥PC.∵E 为 PD 的中点,F 为 PC 的中点, ∴EF∥CD,∴EF⊥PC. ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF. (2)方法一 如图,取 AD 的中点 M, 连结 EM,CM. 则 EM∥PA.

∵EM?平面 PAB,PA?平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60° ,MC=AM, ∴∠ACM=60° .而∠BAC=60° ,∴MC∥AB. ∵MC?平面 PAB,AB?平面 PAB, ∴MC∥平面 PAB.∵EM∩MC=M, ∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC?平面 EMC, ∴EC∥平面 PAB. 方法二 如图,延长 DC、AB,设它们交于点 N,连结 PN. ∵∠NAC=∠DAC=60° , AC⊥CD,∴C 为 ND 的中点. ∵E 为 PD 的中点,∴EC∥PN. ∵EC?平面 PAB,PN?平面 PAB, ∴EC∥平面 PAB. (1)立体几何中,要证线垂直于线,常常先证线垂直于面,再用线垂直于面的 性质易得线垂直于线.要证线平行于面,只需先证线平行于线,再用线平行于面的判定 定理易得. (2)证明立体几何问题,要紧密结合图形,有时要利用平面几何的相关知识,因此需要 多画出一些图形辅助使用. 如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=BB1, D 为 AC 的中点. (1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)若 AC1⊥平面 A1BD,求证:B1C1⊥平面 ABB1A1; (3)在(2)的条件下,设 AB=1,求三棱锥 B-A1C1D 的体积. (1)证明 如图所示,连结 AB1 交 A1B 于 E,连结 ED. ∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱,且 AB=BB1, ∴侧面 ABB1A1 是正方形, ∴E 是 AB1 的中点,又已知 D 为 AC 的中点, ∴在△AB1C 中,ED 是中位线, ∴B1C∥ED,∴B1C∥平面 A1BD. (2)证明 ∵AC1⊥平面 A1BD,∴AC1⊥A1B. ∵侧面 ABB1A1 是正方形,∴A1B⊥AB1. 又 AC1∩AB1=A,

∴A1B⊥平面 AB1C1,∴A1B⊥B1C1. 又∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴BB1⊥B1C1, ∴B1C1⊥平面 ABB1A1. (3)解 ∵AB=BC,D 为 AC 的中点,

∴BD⊥AC,∴BD⊥平面 DC1A1. ∴BD 是三棱锥 B-A1C1D 的高. 由(2)知 B1C1⊥平面 ABB1A1, ∴BC⊥平面 ABB1A1. ∴BC⊥AB,∴△ABC 是等腰直角三角形. 又∵AB=BC=1,∴BD= ∴AC=A1C1= 2. 1 1 2 1 2 1 ∴三棱锥 B-A1C1D 的体积 V= · S△A1C1D= × × A1C1· 1= × 2×1= . BD· AA 3 3 2 2 12 6 考点三 面面的位置关系 例3 如图,在几何体 ABCDE 中,AB=AD=2,AB⊥AD,AE⊥ 平面 ABD.M 为线段 BD 的中点,MC∥AE,AE=MC= 2. (1)求证:平面 BCD⊥平面 CDE; (2)若 N 为线段 DE 的中点,求证:平面 AMN∥平面 BEC. 证明 (1)∵AB=AD=2,AB⊥AD,M 为线段 BD 的中点, 2 , 2

1 ∴AM= BD= 2,AM⊥BD. 2 ∵AE=MC= 2, 1 ∴AE=MC= BD= 2,∴BC⊥CD. 2 ∵AE⊥平面 ABD,MC∥AE, ∴MC⊥平面 ABD. ∴平面 ABD⊥平面 CBD, ∴AM⊥平面 CBD. 又 MC 綊 AE, ∴四边形 AMCE 为平行四边形, ∴EC∥AM, ∴EC⊥平面 CBD,∴BC⊥EC, ∵EC∩CD=C,∴BC⊥平面 CDE,

∴平面 BCD⊥平面 CDE. (2)∵M 为 BD 中点,N 为 ED 中点, ∴MN∥BE 且 BE∩EC=E, 由(1)知 EC∥AM 且 AM∩MN=M, ∴平面 AMN∥平面 BEC. (1)证明面面平行依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平 面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行. (2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将 证明面面垂直转化为证明线面垂直, 一般先从现有直线中寻找, 若图中不存在这样的直 线,则借助中线、高线或添加辅助线解决. 如图所示,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, △ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点. 求证:(1)AF∥平面 BCE; (2)平面 BCE⊥平面 CDE. 证明 (1)如图,取 CE 的中点 G,连结 FG,BG.

1 ∵F 为 CD 的中点,∴GF∥DE 且 GF= DE. 2 ∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, ∴AB∥DE,∴GF∥AB. 1 又 AB= DE,∴GF=AB. 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF∥BG. ∵AF?平面 BCE,BG?平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE. (2)∵△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点, ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD,AF?平面 ACD,∴DE⊥AF. 又 CD∩DE=D,故 AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面 CDE. ∵BG?平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE. 考点四 立体几何中的探索性问题 例4 (2012· 北京)如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2).

(1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由. 折叠问题要注意在折叠过程中,哪些量变化了,哪些量没有变化.第(1)问证 明线面平行,可以证明 DE∥BC;第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直,即证明 A1F⊥平面 BCDE;第(3)问取 A1B 的中点 Q,再证明 A1C⊥平面 DEQ. (1)证明 因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点, 所以 DE∥BC. 又因为 DE?平面 A1CB,BC?平面 A1CB, 所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明 由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC, 所以 DE⊥AC. 所以 DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以 DE⊥平面 A1DC. 而 A1F?平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD, 所以 A1F⊥平面 BCDE, 所以 A1F⊥BE. (3)解 线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下:

如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC, 所以 DE∥PQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知,DE⊥平面 A1DC, 所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP.所以 A1C⊥平面 DEP. 从而 A1C⊥平面 DEQ.

故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ. 解决探索性问题的一般步骤为:首先假设其存在,然后在这个假设下进行推 理论证, 如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设, 如果得到了矛盾结论就否定 假设.另外也可以通过观察分析直接得到结论,然后证明其结论正确. 直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC =4,P 为平面 ABCD 外一点,且 PA=PB,PD=PC,N 为 CD 的 中点. (1)求证:平面 PCD⊥平面 ABCD; (2)在线段 PC 上是否存在一点 E 使得 NE∥平面 ABP,若存在,说 明理由并确定 E 点的位置,若不存在请说明理由. 解 (1)取 AB 中点 M,

连结 PM,PN,MN 则 PM⊥AB,PN⊥CD, 又 ABCD 为直角梯形,AB⊥BC, ∴MN⊥AB. ∵PM∩MN=M, ∴AB⊥平面 PMN. 又 PN?平面 PMN, ∴AB⊥PN. ∵AB 与 CD 相交, ∴PN⊥平面 ABCD. 又 PN?平面 PCD, ∴平面 PCD⊥平面 ABCD. (2)假设存在.在 PC、PB 上分别取点 E、F, 1 1 使 BF= BP,CE= CP, 4 4 连结 EF、MF、NE, 3 则 EF∥BC 且可求得 EF= BC=3. 4 ∵MN=3 且 MN∥BC, ∴EF∥MN 且 EF=MN. ∴MNEF 为平行四边形, ∴EN∥FM. 又 FM?平面 PAB, ∴在线段 PC 上存在一点 E 使得 NE∥平面 ABP,

1 此时 CE= PC. 4

1. 证明线线平行的常用方法 (1)利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行; (2)利用平行四边形进行转换; (3)利用三角形中位线定理证明; (4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明. 2. 证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证线线平行; (2)利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证面面平行. 3. 证明面面平行的方法 证明面面平行, 依据判定定理, 只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可, 从而将证面面平行转化为证线面平行,再转化为证线线平行. 4. 证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线 线垂直; (2)利用勾股定理逆定理; (3)利用线面垂直的性质,即要证线线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在平面即可. 5. 证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直; (2)利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证面面垂直; (3)利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平 面等. 6. 证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理, 即证明一个面过另一个面的一条垂线, 将证明 面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线, 则借助中点、高线或添加辅助线解决.

1. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 1 E,F,且 EF= ,则下列结论中正确的是________.(填序号) 2

①AC⊥BE ②EF∥平面 ABCD ③三棱锥 A-BEF 的体积为定值 ④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 答案 ①②③ 解析 ∵AC⊥平面 BB1D1D,又 BE?平面 BB1D1D, ∴AC⊥BE,故①正确. ∵B1D1∥平面 ABCD,又 E、F 在线段 B1D1 上运动, 故 EF∥平面 ABCD.故②正确. ③中由于点 B 到直线 EF 的距离是定值,故△BEF 的面积为定值, 又点 A 到平面 BEF 的距离为定值,故 VA-BEF 不变.故③正确. 由于点 A 到 B1D1 的距离与点 B 到 B1D1 的距离不相等,因此△AEF 与△BEF 的面积不 相等,故④错误. 2. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中 点. (1)证明:平面 ADC1B1⊥平面 A1BE; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F, B1F∥平面 A1BE?证明你 使 的结论. (1)证明 如图,因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体, 所以 B1C1⊥面 ABB1A1. 因为 A1B?面 ABB1A1, 所以 B1C1⊥A1B. 又因为 A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1, 所以 A1B⊥面 ADC1B1. 因为 A1B?面 A1BE,所以平面 ADC1B1⊥平面 A1BE. (2)解 当点 F 为 C1D1 中点时,可使 B1F∥平面 A1BE.

证明如下: 1 易知:EF∥C1D,且 EF= C1D. 2 1 设 AB1∩A1B=O,则 B1O∥C1D 且 B1O= C1D, 2 所以 EF∥B1O 且 EF=B1O, 所以四边形 B1OEF 为平行四边形. 所以 B1F∥OE.

又因为 B1F?面 A1BE,OE?面 A1BE. 所以 B1F∥面 A1BE.

(推荐时间:60 分钟) 一、填空题 1. 已知 α, γ 是三个互不重合的平面, 是一条直线, β, l 下列命题中正确的是________. (填 序号) ①若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α ②若 l 上有两个点到 α 的距离相等,则 l∥α ③若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β ④若 α⊥β,α⊥γ,则 γ⊥β 答案 ③ 解析 当 α⊥β,l⊥β 时,l 可以在 α 内,∴①不正确; 如果 α 过 l 上两点 A,B 的中点,则 A,B 到 α 的距离相等, ∴②不正确; 当 α⊥β,α⊥γ 时,可以有 β∥γ,∴④不正确,∴正确的只有③. 2.α、 为平面, 为直线, β m 如果 α∥β, 那么“m∥α”是“m∥β”的______________________ 条件. 答案 既不充分也不必要 解析 α∥β,当 m∥α 时,有可能 m?β, 不能推出 m∥β,反之亦然. 3. 如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45° ,∠BAD=90° ,将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD.则在三棱锥 A-BCD 中, 下列命题正确的是________.(填序号)

①平面 ABD⊥平面 ABC ②平面 ADC⊥平面 BDC ③平面 ABC⊥平面 BDC ④平面 ADC⊥平面 ABC 答案 ④ 解析 ∵在四边形 ABCD 中, AD∥BC, AD=AB, ∠BCD=45° ∠BAD=90° ∴BD⊥CD, , , 又平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD, 所以 CD⊥平面 ABD,则 CD⊥AB,

又 AD⊥AB,AD∩CD=D,所以 AB⊥平面 ADC, 又 AB?平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 ADC,故填④. 4. 下列命题中,m、n 表示两条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面. ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β;③若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ④若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ. 正确命题是的序号为________. 答案 ①④ 解析 ②平面 α 与 β 可能相交,③中 m 与 n 可以是相交直线或异面直线.故②③错. 5. 一正四面体木块如图所示,点 P 是棱 VA 的中点,过点 P 将木块锯开, 使截面平行于棱 VB 和 AC,若木块的棱长为 a,则截面面积为________. 答案 a2 4

解析 如图,在面 VAC 内过点 P 作 AC 的平行线 PD 交 VC 于点 D,在 面 VAB 内作 VB 的平行线交 AB 于点 F,过点 D 作 VB 的平行线交 BC 于 点 E.连结 EF,易知 PF∥DE,故 P,D,E,F 共面,且面 PDEF 与 VB a a2 和 AC 都平行,易知四边形 PDEF 是边长为 的正方形,故其面积为 . 2 4 6. 在正三棱锥 S-ABC 中,M,N 分别是 SC,BC 的中点,且 MN⊥AM, 若侧棱 SA=2 3,则正三棱锥 S-ABC 外接球的表面积是________. 答案 36π 解析 由 MN⊥AM 且 MN 是△BSC 的中位线得 BS⊥AM, 又由正三棱锥的性质得 BS⊥AC,所以 BS⊥面 ASC. 即正三棱锥 S-ABC 的三侧棱 SA、SB、SC 两两垂直,外接球直径为 3SA=6. ∴球的表面积 S=4πR2=4π×32=36π. 7. 设 x,y,z 是空间中的不同直线或不同平面,下列条件中能保证“若 x⊥z,且 y⊥z,则 x∥y”为真命题的是________(填出所有正确条件的代号). ①x 为直线,y,z 为平面;②x,y,z 为平面;③x,y 为直线,z 为平面;④x,y 为平 面,z 为直线;⑤x,y,z 为直线. 答案 ③④

解析 因为垂直于同一个平面的两条直线平行, 所以③正确; 因为垂直于同一条直线的 两个平面平行,所以④正确;若直线 x⊥平面 z,平面 y⊥平面 z,则可能有直线 x 在平 面 y 内的情况,所以①不正确;若平面 x⊥平面 z,平面 y⊥平面 z,则平面 x 与平面 y 可能相交,所以②不正确;若直线 x⊥直线 z,直线 y⊥直线 z,则直线 x 与直线 y 可能 相交、异面、平行,所以⑤不正确.

8. 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底面 ABC, 底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF=________时,CF⊥平面 B1DF. 答案 a 或 2a 解析 由题意易知,B1D⊥平面 ACC1A1,所以 B1D⊥CF. 要使 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥DF 即可. 令 CF⊥DF,设 AF=x,则 A1F=3a-x. 易知 Rt△CAF∽Rt△FA1D, 得 AC A1F 2a 3a-x = ,即 = , AF A1D x a

整理得 x2-3ax+2a2=0, 解得 x=a 或 x=2a. 9. 如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂 直于圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB; ②MO∥平面 PAC; ③OC⊥平面 PAC; ④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 答案 ②④ 解析 ①错误,PA?平面 MOB;②正确;③错误,否则,有 OC⊥AC,这与 BC⊥AC 矛盾;④正确,因为 BC⊥平面 PAC. 二、解答题 10. (2013· 重庆)如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, PA=2 3, π BC=CD=2,∠ACB=∠ACD= . 3 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC, 求三棱锥 P-BDF 的体积. (1)证明 因为 BC=CD,所以△BCD 为等腰三角形, 又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD. 从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直, 所以 BD⊥平面 PAC. (2)解 三棱锥 P-BCD 的底面 BCD 的面积

1 1 2π S△BCD= BC· sin∠BCD= ×2×2×sin = 3. CD· 2 2 3 由 PA⊥底面 ABCD,得 1 1 VP-BCD= ·△BCD· S PA= × 3×2 3=2. 3 3 1 由 PF=7FC,得三棱锥 F-BCD 的高为 PA, 8 1 1 1 1 1 故 VF-BCD= ·△BCD·PA= × 3× ×2 3= , S 3 8 3 8 4 1 7 所以 VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2- = . 4 4 11.(2012· 广东)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥平面 PAD, 1 AB∥CD, PD=AD, 是 PB 的中点, 是 DC 上的点且 DF= AB, E F 2 PH 为△PAD 中 AD 边上的高. (1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB. (1)证明 因为 AB⊥平面 PAD,PH?平面 PAD, 所以 PH⊥AB. 因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高,所以 PH⊥AD. 因为 PH?平面 ABCD,AB∩AD=A,AB,AD?平面 ABCD, 所以 PH⊥平面 ABCD. (2)解 如图,连结 BH,取 BH 的中点 G,连结 EG.

因为 E 是 PB 的中点, 所以 EG∥PH, 1 1 且 EG= PH= . 2 2 因为 PH⊥平面 ABCD, 所以 EG⊥平面 ABCD. 因为 AB⊥平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 AB⊥AD,所以底面 ABCD 为直角梯形, 1 所以 VE-BCF= S△BCF· EG 3 11 2 = ·· AD· FC· EG= . 32 12 (3)证明 取 PA 中点 M,连结 MD,ME.

1 因为 E 是 PB 的中点,所以 ME 綊 AB. 2 1 又因为 DF 綊 AB,所以 ME 綊 DF, 2 所以四边形 MEFD 是平行四边形,所以 EF∥MD. 因为 PD=AD,所以 MD⊥PA. 因为 AB⊥平面 PAD,所以 MD⊥AB. 因为 PA∩AB=A,所以 MD⊥平面 PAB, 所以 EF⊥平面 PAB. 12.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC=4,∠ABC=120° ,E, M 分别为 AB, 的中点, DE 将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A′DE, F 为 A′C 的中点,A′C=4. (1)求证:平面 A′DE⊥平面 BCD; (2)求证:FB∥平面 A′DE. 证明 (1)由题意,得△A′DE 是△ADE 沿 DE 翻折而成的,

∴△A′DE≌△ADE. ∵∠ABC=120° ,四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠A=60° . 又∵AD=AE=2, ∴△A′DE 和△ADE 都是等边三角形. 如图,连结 A′M,MC, ∵M 是 DE 的中点, ∴A′M⊥DE,A′M= 3. 在△DMC 中,MC2=DC2+DM2-2DC· DMcos 60° =42+12-2×4×1×cos 60° , ∴MC= 13. 在△A′MC 中,A′M2+MC2=( 3)2+( 13)2=42=A′C2. ∴△A′MC 是直角三角形,∴A′M⊥MC. 又∵A′M⊥DE,MC∩DE=M, ∴A′M⊥平面 BCD. 又∵A′M?平面 A′DE, ∴平面 A′DE⊥平面 BCD. (2)取 DC 的中点 N,连结 FN,NB. ∵A′C=DC=4,F,N 分别是 A′C,DC 的中点,

∴FN∥A′D. 又∵N,E 分别是平行四边形 ABCD 的边 DC,AB 的中点, ∴BN∥DE. 又∵A′D∩DE=D,FN∩NB=N, ∴平面 A′DE∥平面 FNB. ∵FB?平面 FNB, ∴FB∥平面 A′DE.


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