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陕西省西安市昆仑中学2014届高三一轮复习讲义数学(理科)第24课时:基本不等式


课题:基本不等式
考纲要求:①了解基本不等式的证明过程.
②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

教材复习
1. 两个数的均值不等式:若 a, b ? R ? ,则

a?b ≥ ab (等号仅当 a ? b 时成立) ; 2

三个数的均值不等式:若 a, b, c ? R ? ,则 a ? b ? c ≥ 3 3 abc (等号仅当 a ? b ? c 时成立)

2. 几个重要的不等式:

a 2 ? b2 ? a?b? ① ab ≤ ? ≤ ? 2 ? 2 ?
③如果 a, b ? R ,则

2

? a?b?c ? ② abc ≤ ? ? ; 3 ? ?

3

a?b a 2 ? b2 2 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 ? a b

3. 最值定理:当两个正数的和一定时,其乘积有最大值;当两个正数的乘积一定时,其和
有最小值。

基本知识方法 1. 常见构造条件的变换:加项变换,系数变换,平方变换,拆项变换,常量代换,三角代
换等. 2. 当使用均值定理时等号不能成立时, 应考虑函数的单调性 (例如 “对号” 函数, 导数法) .

典例分析. 问题 1.求下列函数的最值:

?1?

y?

1 1 1 ? x ? x ? 3? ; ? 2 ? y ? 2 x ? x ? 1? ; ? 3? y ? x 2 ? 4 ? x ? 0? ; ? x?3 x ?1 x

? 3? y ? x 2 ? x ? x ? 0 ? ; ? 4 ?

3

y ? x ?1 ? x ?

2

? 0 ? x ? 1? ; ? 5?

y ? x ?1 ? x 2 ? ? 0 ? x ? 1?

? 6?

y ? x 1 ? x2

?7?

已知 a, b, x, y ? R ? ( a , b 为常数) , ?

a x

b ? 1 ,求 x ? y 的最小值 y

问题 2.已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? 1,求

2x ? 1 ? 2 y ? 1 的最大值.

问题 3.求最小值 ?1?

f ( x) ?

3 x 2 ? 3x ? 1 ? x ? ?1? ; ? 2 ? y ? sin 2 x ? sin 2 x x ?1

问题 4. ?1? 设 x ? 0 , y ? 0 ,且

xy ? ( x ? y) ? 1 ,则

A. x ? y ? 2 2 ? 2 B. x ? y ? 2 2 ? 2 C. x ? y ?

?

2 ? 1 D. x ? y ?

?

2

?

2 ?1

?

2

? 2 ? 已知 x ≥ 0 , y ≥ 0 ,且 x 2 ?

y2 3 2 ? 1,求证: x 1 ? y 2 ≤ 2 4

? 3? 若 a ? b ? 0 ,

求a ?
2

16 的最小值 b( a ? b )

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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课后作业:
1. 已知 a ? 1 那么 a ?

1 的最小值是 a ?1

A. 2

a B. a ?1

5 ? 1 C. 3 D. 2

2. 已知: a ? b ? 0 ,求证: a ?

1 ?3 ? a ? b? b
此时, x ?

1 3. 若 0 ? x ? ,则 x2 ?1 ? 3x ? 的最大值是 3

4. 已知 ?3 ? x ? 0 ,则 y ? x 9 ? x 2 的最小值为

A. ?

9 1 9 3 B. C. ? D. 2 2 2 2

5. 已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1, 则 ?1 ? xy??1 ? xy?的最小值和最大值分别为
A.

1 ,1 2

B.

3 ,1 4

C.

1 3 , 2 4

D. 1 ,无最大值

6. 求 y ?

1 2 ? ? ? ?? ? ? ? ?0, ? ? 的最小值 ? 2 2 sin ? cos ? ? ? 2 ??

7. 当 n ? 2 时,求证: logn (n ?1)logn (n ? 1) ? 1 .

8. 已知正数 a 、 b 满足 3ab ? a ? b ? 1 ,则 ab 的最大值是

9. 下列函数中, y 的最小值为 4 的是

4 4 2( x 2 ? 3) A. y ? x ? B. y ? C. y ? ex ? 4e? x D. y ? sin x ? (0 ? x ? ? ) 2 x sin x x ?2

10. 若 a ? 0, b ? 0 ,且 2a ? b ? 1 ,则 s ? 2 ab ? 4a 2 ? b2 的最大值是 A.
2 ?1 2

B. 2 ? 1

C.

2 ?1 2

D. 2 ? 1

11. ( 08 内江二中)已知 x ? 0, y ? 0, lg 2 x ? lg 8 y ? lg 2 ,则 A. 2 B. 2 2 C. 4

1 1 的最小值是 ? x 3y

D. 2 3

12. 若 a 是正实数, 2a 2 ? 3b2 ? 10 ,则 a 2 ? b2 的最大值是

13. 要使不等式 x ? y ? k x ? y 对所有正数 x, y 都成立,试问 k 的最小值是

14. ( 07 届 高 三 西 安 市 第 一 次 质 检 ) 0 ? ? ?

?
2

, 由 不 等 式 tan ? ?

1 ≥2 , tan ?

tan ? ? ?

22 tan ? tan ? 22 33 3 ? ? ? tan ? ? ≥ , tan 2 ? 2 2 tan 2 ? tan 3 ?

tan ? tan ? tan ? 33 ? ? ? ≥ 4 ,…,启发我们得到推广结论: 3 3 3 tan 3 ? a * tan ? ? ≥ n ? 1 ? n ? N ? ,则 a ? tan n ?

15. 已知: x 、 y ? R ? , 2 x ? 8 y ? xy ? 0 ,求 x ? y 的最小值

走向高考:
16. ( 04 湖南)设 a ? 0, b ? 0, 则以下不等式中不恒成立 的是 ....

1 1 A. (a ? b)( ? ) ? 4 a b 2 2 C. a ? b ? 2 ? 2a ? 2b

B. a 3 ? b 3 ? 2ab2

D. | a ? b | ? a ? b

17. ( 05 重庆)若 x, y 是正数,则 ( x ?
A. 3 B.

1 2 1 ) ? ( y ? ) 2 的最小值是 2y 2x

7 9 C. 4 D. 2 2

18. ( 05 福建文)下列结论正确的是

A. 当 x ? 0 且 x ? 1 时,则 lg x ? 1 ? 2
lg x

B. 当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2
x

C. 当 x ≥ 2 时, x ?

1 的最小值为 2 x

D. 当 0 ? x ? 2 时, x ?

1 无最大值 x

?1 a? 19. ( 06 陕西)已知不等式 ? x ? y ? ? ? ? ≥ 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的 ?x y?
最小值为

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

20. ( 06 重庆文)若 a, b, c ? 0 且 a2 ? 2ab ? 2ac ? 4bc ? 12 ,则 a ? b ? c 的最小值是

A. 2 3

B. 3

C. 2

D. 3

21. ( 06 重庆)若 a, b, c ? 0 且 a ? a ? b ? c ? ? bc ? 4 ? 2 3 ,则 2a ? b ? c 的最小值为

A. 3 ? 1

B. 3 ? 1

C. 2 3 ? 2

D. 2 3 ? 2

22. ( 07 山东)函数 y ? log a ( x ? 3) ?1( a ? 0 , a ? 1 )的图象恒过定点 A ,若点 A 在
直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n

23. ( 07 上海)若 x,y ? R+ ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是

24. ( 06 上海)若关于 x 的不等式 (1 ? k 2 ) x ≤ k 4 ?4 的解集是 M ,则对任意实常数 k , A. 2 ? M ,0 ? M B. 2 ? M ,0 ? M C. 2 ? M ,0 ? M D. 2 ? M ,0 ? M 总有

? am ? bn??bm ? an? 的最小值为

25. ( 2013 陕西)已知 a, b, m, n 均为正数, 且 a ? b ? 1 , mn ? 2 ,则

26. ( 09 重庆)已知 a ? 0, b ? 0 ,则

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是 A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 5 a b

27. ( 2011 重庆)已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 ,则 y ?
A.

1 4 ? 的最小值是 a b

7 2

B. 4

C.

9 2

D. 5

28. ( 2013 山东)设正实数 x, y, z 满足 x2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当

xy 取得最大 值时, z

2 1 2 ? ? 的最大值为 x y z

A. 0

B. 1

C.

9 4

D. 3

29. ( 2011 湖南)设 x, y ? R ,则 ( x 2 ?

1 1 )( ? 4 y 2 ) 的最小值为 y 2 x2

30. ( 06 上海)已知函数 y = x ?

上是减函数,在 ? a , ?? 上是增函数.

?

?

a 有如下性质:如果常数 a >0,那么该函数在 0, a ? ? x

?

?1? 如果函数 y = x ?

2 ( x ? 0 )的值域为 ?6, ??? ,求 b 的值; x c ? 2 ? 研究函数 y = x 2 ? x 2 (常数 c ? 0 )在定义域内的单调性,并说明理由; a a ? 3? 对函数 y = x ? x 和 y = x 2 ? x 2 (常数 a ? 0 )作出推广,使它们都是你所推广的函 数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) ,并求函数 F ( x) = 1 1 ?1 ? ( x 2 ? ) n + ( 2 ? x) n ( n 是正整数)在区间 ? , 2 ? 上的最大值和最小值(可利用你的 x x ?2 ?
研究结论) .

b



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