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二轮复习:3.3.1-三角函数与三角变换ppt课件(含答案)


3.3

三角大题

-2-

年份 卷别

设问特点

涉及知识点

题目类 解题思想 型 方法

2013 没有考查 全国Ⅰ 没有考查 知四边形两内角互 2014 补及四边长,求一内 全国Ⅱ 角、 一条对角线长及 四边形面积 知三角形中三角的 全国Ⅰ 正弦关系求角的余 弦,三角形面积 2015 已知三角形角平分 线及边与线段关系 全国Ⅱ 求两角正弦之比;已 知一角求另一角

余弦定理,三 角形面积公 式

解三 角形

方程思 想,等价 转换

正、 余弦定理, 解三 等价转 勾股定理,面 角形 换 积公式 正弦定理,内 角关系,和角 公式 解三 等价转 角形 换

-3-

年份 卷别 2016 没有考查 2017 没有考查

设问特点

涉及知识点

题目 类型

解题思想 方法

-4-

1.正弦(或余弦)型函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的对称中 心是函数图象与x轴的交点,对称轴是过函数图象的最高点或者最 低点且与x轴垂直的直线;正切型函数y=Atan(ωx+φ)的图象是中心 对称图形,不是轴对称图形. 2.三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等. 1 (2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β);α= 2 [(α+β)+(α-β)]. (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化:一般是切化弦.

-5-

3.解三角形的公式变形

(1)正弦定理

sin

=

sin

=

sin

的一些变式:①a∶b∶c=sin A∶sin B∶
2

sin C;②sin A= ,sin B= ,sin C= ;③a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.其中 R 是△ABC 外接圆的半径.
2 2 2

2

2

(2)余弦定理 a =b +c -2bc cos A 的变形为 cos A=

2+ 2 - 2 2

等.

4.用余弦定理判断三角形的形状: 当b2+c2-a2>0时,可知A为锐角; 当b2+c2-a2=0时,可知A为直角; 当b2+c2-a2<0时,可知A为钝角. 5.三个等价关系:在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,则 a>b?sin A>sin B?A>B.

3.3.1 三角函数与三角变换

-7考向一 考向二

三角函数式的化简与求值

例 1(2017 江苏淮安二模,15)已知 sin + 求:(1)cos α 的值; (2)sin 2π 4

π 4

=

2 10

,α∈

π 2

,π .

的值.
π 4

解 (1)sin +
π 4

=
1 5

2

即 sin αcos +cos αsin =
4

10 π

,
2 10

,

化简 sin α+cos α= ,① 又 sin α+cos α=1,② 3 4 由 ①②解得 cos α=- 或 cos α= .
2 2

∵α∈

π 2

5

5

,π ,
3

∴cos α=-5.

-8考向一 考向二

(2)∵α∈
4

π 2

,π ,cos α=- ,
5
2

3

∴sin α=5,

∴cos 2α=1- 2sin α=-25,
sin 2α=2sin αcos α=- ,
24 25

7

∴sin 2- 4 =sin 2αcos 4 -cos 2α· sin =4

π

π

π

17 2 50

.

解题心得化异为同法:解决三角函数化简与求值问题的总体思路 就是化异为同,目的是消元减少未知量的个数.如把三角函数式中 的异名、异角、异次化为同名、同角、同次;如在三角函数求值中, 把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角;对 于三角函数式中既有正弦、余弦函数又有正切函数,化简方法是切 化弦,或者弦化切,目的是化异为同.

-9考向一 考向二

对点训练1(2017浙江温州2月模拟,18)已知函数f(x)= 3 sin xcos x+cos2x. (1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若- <α<0,f(α)= ,求 sin 2α 的值.
2 6

π

5

解 (1)∵函数 f(x)= 3· sin x cos x+ cos2x = sin 2x+
2 3 1+cos2 2

=sin 2 +

π

∴函数 f(x)的最小正周期为 2 =π.

6 2π

+ ,
2

1

-10考向一 考向二

(2)若 - <α<0,则 2α+ ∈ 2 π 6 1

π

π

5π π 6 5

,

6

,

∴f(α)=sin 2 + 6 + 2 = 6, ∴sin 2 + 6 = 3 , ∴2α+ 6 ∈ 0, 6 ,
π π π 1

∴cos 2 + 6 = 1-sin2 2 + 6 = ∴sin 2α=sin 2 + 6 - 6
=sin 2 + = ×
3 1 3 2 3 -2 2 6 π 6 3 π π π π 6

π

π

2 2 3

,

cos -cos 2 + ×
6 1 2

· sin

π 6

?

2 2

=

.

-11考向一 考向二

三角函数性质与三角变换的综合 例2(2017浙江,18)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2 3 sin xcos x(x∈R).

(1)求 f

2π 3

的值;
2π 3 2 3 2 2π 3 1 2

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

解 (1)由 sin f
2π 3

=

,cos =- , -2 3 ×
3 2

=

3 2

? -

1 2 2

× -

1 2

,得 f

2π 3

=2.

-12考向一 考向二

(2)由 cos 2x= cos2x-sin2x 与 sin 2x= 2sin x cos x 得 f(x)=-cos 2x- 3sin 2x=-2sin 2 +
π 6

.

所以 f(x)的最小正周期是 π. π π 3π 由正弦函数的性质得 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈ Z,
6 3 π 2π 2 6 2

所以 ,f(x)的单调递增区间是

π 6

+ π,

2π 3

+ π (k∈Z) .

解题心得对于已知的三角函数是由多个三角函数式通过四则运 算组合而成的,若求其函数的性质,一般的思路是通过三角变换,把 多个三角函数式的代数和(或积、商)化成只有一项且只有一种名 称的三角函数式,化简中常用到辅助角公式asin x+bcos
x= 2 + 2 sin(x+φ) 其中 tan =


.

-13考向一 考向二

π 对点训练2(2017北京东城一模,文15)已知点 4 ,1 在函数 f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上. (1)求a的值和f(x)最小正周期; (2)求函数f(x)在(0,π)上的单调减区间.

解 (1)函数f(x)=2asin x· cos x+cos 2x=asin 2x+cos 2x.

∵图象过点


π ,1 , 4 π π 1=asin +cos ,可得 a=1, 2 2 2π

∴f(x)=sin 2x+ cos 2x= 2sin 2 + 4 . ∴函数的最小正周期 T= 2 =π.

π

-14考向一 考向二

π 3π +2kπ,k∈Z, 4 2 π 5π 可得 kπ+ ≤x≤ +kπ,k∈ Z. 8 8 π 5π 函数 f(x)的单调减区间为 π + , + π ,k∈Z. 8 8 π 5π ∵x∈(0,π),当 k=0 时,可得单调减区间为 8 , 8 .

(2)由 2kπ+ ≤2x+ ≤

π 2

-15考向一 考向二

例 3 已知函数 f(x)=sin2x+ 3sin x cos x+ ,x∈R.
2

3

(1)求函数f(x)的最小正周期T及在[-π,π]上的单调递减区间; (2)在△ABC中,边a,b,c的对角分别为A,B,C,已知A为锐角,

a=3 3,c=6,且 f(A)是函数 f(x)在 积.

π 0, 2

上的最大值,求△ABC 的面的面

-16考向一 考向二

解 (1)∵f(x)=sin2x+ 3sin x cos x+ =
1-cos2 3 2

3 2

+
1 2 π 6

3 2

sin 2x+

3 2

= sin 2x- cos 2x+2
2

=sin 22π π 2

+2,
π 6 3π 2

∴T= 2 =π.
π

又 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ (k∈ Z),

∴kπ+ 3 ≤x≤kπ+ 6 (k∈ Z).
当 k=0 时 ,x∈ ,
3 π 5π 6 2π 3



?[-π,π];
π 6

当 k=-1 时 ,x∈ -

,-

?[-π,π].
2π 3

∴函数 f(x)在 [-π,π]上的单调递减区间为 -

,-

π 6



π 5π 3

,

6

.

-17考向一 考向二

(2)∵x∈ 0,
π 1

π

∴2x- 6 ∈ - 6 ,
π 6

2 π 5π 6 π

,

,

∴-2≤sin 2- 6 ≤1,f(x) max=3,
此时 2x- = .
2 π

∵f(A)是函数 f(x)在 0, 2 上的最大值 ,又角 A 为锐角, ∴2A- 6 = 2 ,得 A= 3 .
π π π

π

由余弦定理得 a2=b2+c2-2bc cos A, ∴b2- 6b+ 9=0,∴ b=3. 1 ∴S△ABC= bcsin A = ×3×6×
2 1 2 3 2

=

9 3 2

.

-18考向一 考向二

解题心得利用函数y=sin x的有关性质求三角函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的单调区间、对称轴方程、φ值大小的题目,把 ωx+φ看作一个整体,整体代换函数y=sin x的相关性质,进而求出题 目所要求的量.

-19考向一 考向二

对点训练 3(2017 湖南岳阳一模,文 17)已知函数 f(x)=sin +
π 2

cos

π 3

.
1 4

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)将函数 y=f(x)的图象向下平移 个单位,再将图象上各点的纵坐 标伸长为原来的 4 倍(横坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)在 0,
π 3

上的最大值.

-20考向一 考向二

解 (1)∵函数 f(x)
π 3 1 3 =cos x cos + sin 2 2 1 1+cos2 3 1 = · + · sin 2x 2 2 2 2 1 1 3 1 = cos2 + sin2 + 2 2 2 4 1 π 1 = sin 2 + + , 2 6 4 2π ∴函数 f(x)的最小正周期为 2 =π.

=sin +

π 2

cos -

-21考向一 考向二

(2)将函数 y=f(x)= sin 2 + 可得 y= sin 2
1 2

1 2 π + 6

π 6

+ 的图象向下平移 个单位 ,

1 4

1 4

的图象 .
π 6

再将图象上各点的纵坐标伸长为原来的 4 倍 , 得到函数 y=g(x)=2sin 2 + 在
π 0, 3 π 上 ,2x+ 6

的图象 .
π 2x+ 6



π 5π , 6 6

,故当

=

π 时 ,g(x)取得最大值为 2

2.


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