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湖北省黄冈市黄冈中学2016届高三5月第一次模拟考试 数学理


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x | y ? ln(1 ? 2 x)} , B ? {x | x ? x} ,全集 U ? A ? B ,则 CU ( A ? B ) ? (
2



A. (??, 0)

B. (?

1 ,1] 2

C. (??, 0) ? [ ,1]

2.已知 i 为虚数单位, a ? R ,若 A. 2 B. 3 C. 6

2?i 为纯虚数,则复数 z ? 2a ? 2i 的模等于( a?i
D. 11 )

1 2

D. (?

1 , 0] 2



3.已知 f ( x) ?

4 ? x 2 , g ( x) ?| x ? 2 | ,则下列结论正确的是(
B. h( x) ? f ( x) g ( x) 是奇函数 D. h( x) ?

A. h( x) ? f ( x) ? g ( x) 是偶函数 C. h( x) ?

f ( x) g ( x) 是偶函数 2? x

f ( x) 是奇函数 2 ? g ( x)

4. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线,若垂线的延长线与 y a 2 b2
c 2


轴的交点坐标为 (0, ) ,则此双曲线的离心率是( A. 5 B.2 C. 3 D. 2

5.现有 4 种不同的颜色为我校校训四个主题词(如图)涂色,则相邻的词语涂色不同的概率为( A.



3 32

B.

15 64

C.

21 64

D.

27 64

6.如图所示的图形是由一个半径为 2 的圆和两个半径为 1 的半圆组成,它们的圆心分别是 O, O1 , O2 ,动点

P 从 A 点出发沿着圆弧按 A ? O ? B ? C ? A ? D ? B 的路线运动(其中 A, O, O1 , O2 , B 五点共
线) ,记点 P 运动的路程为 x ,设 y ?| O1 P |2 , y 与 x 的函数关系为 y ? f ( x) ,则 y ? f ( x) 的大致图象是





7.执行如图所示的程序,若 P ? 0.9 ,则输出的 n 值是( A.3 B.4 C.5 D.6



8.设 ? , ? ? (0,

?
2

) ,且 tan ? ? tan ? ?

1 ,则( cos ?



A. 3? ? ? ?

?
2

B. 2? ? ? ?

?
2

C. 3? ? ? ?

?
2

D. 2? ? ? ?

?
2

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 9.不等式组 ? 3 x ? y ? 3 ? 0 的解集记为 D ,有下面四个命题: ? x ? 2 y ?1 ? 0 ?
p1 : ?( x, y ) ? D, 2 x ? 3 y ? ?1 ; p2 : ?( x, y ) ? D, 2 x ? 5 y ? ?3 ;
p3 : ?( x, y ) ? D, y ?1 1 ? ; p4 : ?( x, y ) ? D, x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 . 2? x 3
) C. p2 , p4
2

其中的真命题是( A. p1 , p2

B. p2 , p3

D. p3 , p4
2 2 2

10.已知点 A 是抛物线 M : y ? 2 px( p ? 0) 与圆 C : x ? ( y ? 4) ? a 在第一象限的公共点,且点 A 到抛 物线 M 焦点 F 的距离等于 a ,若抛物线 M 上一动点到其准线与到点 C 的距离之和的最小值为 2a , O 为 坐标原点,则直线 OA 被圆 C 所截得的弦长为( A.2 B. 2 3 C.
2 x



7 2 3

D.

7 2 6

11.已知函数 f ( x) ? x e ? ln t ? a ,若对任意的 t ? [1, e] , f ( x) 在区间 [?1,1] 总存在唯一的零点,则实数

a 的取值范围是(
A. [1, e]



B. (1 ? , e]

1 e

C. (1, e]

D. [1 ? , e]

1 e

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某四面体的三视图,则该四面体的外接球半径为 ( A. 2 2 ) B.

7 2 3

C. 11

D. 2 3

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.在 (1 ? x ?

1 x
2016

)10 的展开式中,含 x 2 项的系数为

.

14.在一个俱乐部里,有老实人和骗子两类成员,老实人永远说真话,骗子永远说假话,一次我们和俱乐 部的四个成员谈天,我们便问他们: “你们是什么人,是老实人?还是骗子?”这四个人的回答如下: 第一个人说: “我们四个人全都是骗子” ; 第二个人说: “我们当中只有一个人是骗子” ; 第三个人说: “我们四个人中有两个人是骗子” ; 第四个人说: “我是老实人”. 请判断一下,第四个人是老实人吗? .(请用“是”或“否”作答)

15.已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的中线,若 AD ? BE ? 1 ,且 AB ? AC ? 为 .

??? ? ????

???? ??? ? 2 ,则 AD 与 BE 的夹角 3

16.在四边形 ABCD 中, AB ? 7, AC ? 6, cos ?BAC ? 为 .

11 , CD ? 6sin ?DAC ,则 BD 的最大值 14

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 12 分)设 S n 是数列 {an } 的前 n 项和,已知 a1 ? 3 , an ?1 ? 2 S n ? 3 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? (2n ? 1) an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分)为评估设备 M 生产某种零件的性能,从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件最为样本,测量其直径后,整理得到下表:

经计算,样本的平均值 ? ? 65 ,标准差 ? ? 2.2 ,以频率值作为概率的估计值. (1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零点中任意抽取一件,记其直径为 X ,并根据以下不等式 进行评判( P 表示相应事件的频率) ; ① P ( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ;② P ( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ;

③ P ( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974 .评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满 足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备 M 的性能等级. (2)将直径小于等于 ? ? 2? 或直径大于 ? ? 2? 的零件认为是次品 (ⅰ)从设备 M 的生产流水线上随意抽取 2 件零件,计算其中次品个数 Y 的数学期望 E (Y ) ; (ⅱ)从样本中随意抽取 2 件零件,计算其中次品个数 Z 的数学期望 E ( Z ) . 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 底面 ?ABC 是边长为 2 的等比三角形, 过 A1C 作平面 A1CD 平行于 BC1 ,交 AB 于 D 点. (1)求证: CD ? AB ; (2)若四边形 BCC1 B1 是正方形,且 A1 D ?

5 ,求二面角 D ? A1C ? B1 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y2 1 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,离心率为 ,直线 l 与椭 2 a b 2

圆相交于 A, B 两点,当 AB ? x 轴时, ?ABF 的周长最大值为 8. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l 过点 M (?4, 0) ,求当 ?ABF 面积最大时直线 AB 的方程. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e
1? x

(?a ? cos x), a ? R .

(1)若函数 f ( x) 存在单调增区间,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? 0 ,证明: ?x ? [?

1 ,1] ,总有 f ( x ? 1) ? 2 f ' (? x) cos( x ? 1) ? 0 . 2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, AB 是圆 O 的直径, BC ? CD , AD 的延长线与 BC 的延长 线交于点 E ,过 C 作 CF ? AE ,垂足为点 F . (1)证明: CF 是圆 O 的切线; (2)若 BC ? 4, AE ? 9 ,求 CF 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? m ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 2 ? y? t ? ? 2
系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos ? ? 3? sin ? ? 12 ,且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上.
2 2 2 2

(1)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 | FA || FB | 的值; (2)求曲线 C 的内接矩形的周长的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? sin 对 ?x ? R 恒成立. (1)求实数 a 的最大值 m ; (2)若正实数 a, b, c 满足 a ? 2b ? 3c ? 2m ,求 a 2 ? b 2 ? c 2 的最小值.
2

? | , g ( x) ? 2 | x ? cos 2 ? | ,? ? [0, 2? ] ,且关于 x 的不等式 2 f ( x) ? a ? g ( x)

参考答案 CBDAC 13.45 ACDCC 14.是 BC 15.120 16.8

17.(1)当 n ? 2 时,由 an ?1 ? 2 S n ? 3 ,得: an ? 2 S n ?1 ? 3 , 两式相减,得: an ?1 ? an ? 2 S n ? 2 S n ?1 ? 2an ,∴ an ?1 ? 3an ,∴

an ?1 ?3. an

当 n ? 1 时, a1 ? 3 , a2 ? 2 S1 ? 3 ? 2a1 ? 3 ? 9 ,则

a2 ?3, a1

∴数列 {an } 是以 a1 ? 3 为首项,公比为 3 的等比数列,∴ an ? 3 ? 3n ?1 ? 3n . (2)由(1)得: bn ? (2n ? 1) an ? (2n ? 1) ? 3n ,

①-②得: ?2Tn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? 2 ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n ?1

? 3 ? 2 ? (32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? (2n ? 1) ? 3n ?1
32 (1 ? 3n ?1 ) ? 3 ? 2? ? (2n ? 1) ? 3n ?1 1? 3

? ?6 ? (2n ? 2) ? 3n ?1
∴ Tn ? (n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 .

18. (1) P ( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? P (62.8 ? X ? 67.2) ? 0.8 ? 0.6826

P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? P(60.6 ? X ? 69.4) ? 0.94 ? 0.9544
P( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? P(58.4 ? X ? 71.6) ? 0.98 ? 0.9974
因为设备 M 的数据仅满足一个不等式,故其性能等级为丙; (2)易知样本中次品共 6 件,可估计设备 M 生产零件的次品率为 0.06. (ⅰ)由题意可知 Y ~ B (2, 0.06) ,于是 E (Y ) ? 2 ? 0.06 ? 0.12 , (ⅱ)由题意可知 Z 的分布列为

故 E (Z ) ? 0 ?

2 1 1 C94 C6 C94 C62 3 ? 1 ? ? 2 ? ? ? 0.12 . 2 2 2 C100 C100 C100 25

19. (1)证:连结 AC1 ,设 AC1 与 A1C 相交于点 E , 连接 DE ,则 E 为 AC1 中点, ∵ BC1 / / 平面 A1CD , DE ? 平面 A1CD ? 平面 ABC1 , ∴ DE / / BC1 ,∴ D 为 AB 的中点, 又∵ ?ABC 是等边三角形,∴ CD ? AB ,

(2)因为 AD 2 ? A1 A2 ? 5 ? A1 D 2 ,所以 A1 A ? AD , 又 B1 B ? BC , B1 B / / A1 A ,所以 A1 A ? BC ,又 AD ? BC ? B ,所以 A1 A ? 平面 ABC , 设 BC 的中点为 O , B1C1 的中点为 O1 ,以 O 为原点, OB 所在的直线为 x 轴, OO1 所在的直线为 y 轴,

OA 所在的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz .

则 C (?1, 0, 0), A1 (0, 2, 3), D( , 0,

1 2

3 ), B1 (1, 2, 0) , 2

???? 3 ???? ), CA1 ? (1, 2, 3), CB1 ? (2, 2, 0) , 2 ?? 设平面 DA1C 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,
即 CD ? ( , 0,

??? ?

3 2

?? ??? ? ? 3 3 ?? ? z1 ? 0 ? x1 ? ? n1 ? CD ? 0 由 ? ?? ???? ,得 ? 2 ,令 x1 ? 1 ,得 n1 ? (1,1, ? 3) , 2 ? ? x ? 2 y ? 3z ? 0 ?n1 ? CA1 ? 0 ? 1 1 1 ?? ? 设平面 A1CB1 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , ?? ? ???? ?? ? ? ? x ? 2 y2 ? 3 z 2 ? 0 3 ? n2 ? CA1 ? 0 ? 由 ? ?? ,得 ? 2 ,令 x2 ? 1 ,得 n2 ? (1, ?1, ), ? ???? 3 2 x ? 2 y ? 0 n ? CB ? 0 ? ? ? 2 2 ? 2 1 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 ?1 ?1 105 ?? ? ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? , ?? 35 | n1 || n2 | 7 5? 3
故所求二面角的余弦值是

105 . 35
'
' '

20. (1)设椭圆的右焦点为 F ,由椭圆的定义,得 | AF | ? | AF |?| BF | ? | BF |? 2a , 而 ?ABF 的周长为 | AF | ? | BF | ? | AB |?| AF | ? | BF | ? | AF | ? | BF |? 4a ,
' '

当且仅当 AB 过点 F 时,等号成立, 所以 4a ? 8 ,即 a ? 2 ,又离心率为

'

1 ,所以 c ? 1, b ? 3 , 2

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆的方程为 4 3
(2)设直线 AB 的方程为 x ? my ? 4 ,与椭圆方程联立得 (3m ? 4) y ? 24my ? 36 ? 0 .
2 2

设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 ? ? 576m ? 4 ? 36(3m ? 4) ? 144(m ? 4) ? 0 ,
2 2 2

1 18 m 2 ? 4 24m 36 且 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ,所以 S ?ABF ? ? 3 | y1 ? y2 |? ② 2 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4
令t ?

m 2 ? 4(t ? 0) ,则②式可化为 S ?ABF ?

18t 18 18 3 3 . ? ? ? 2 3t ? 16 3t ? 16 4 16 2 3t ? t t

当且仅当 3t ?

2 21 16 ,即 m ? ? 时,等号成立. 3 t
2 21 2 21 y?4或 x ? ? y ?4. 3 3
1? x

所以直线 AB 的方程为 x ?
'

21. (1)由已知得 f ( x) ? ?e

(?a ? cos x) ? e1? x sin x ? e1? x (a ? (sin x ? cos x)) ,
'

因为函数 f ( x) 存在单调增区间,所以方程 f ( x) ? 0 有解. 而 e1? x ? 0 恒成立,即 a ? (sin x ? cos x) ? 0 有解,所以 a ? (sin x ? cos x) min , 又 sin x ? cos x ?

2 sin( x ? ) ? [ ? 2, 2] ,所以 a ? ? 2 . 4
1? x

?

(2)因为 a ? 0 ,所以 f ( x) ? e 因为 2 f ( ? x) cos( x ? 1) ? 2e
' ' x ?1

cos x ,所以 f ( x ? 1) ? e 2? x cos( x ? 1) ,

(sin x ? cos x) cos( x ? 1) ,
2? x

所以 f ( x ? 1) ? 2 f ( ? x) cos( x ? 1) ? cos( x ? 1)[e 又对于任意 x ? [?

? 2e x ?1 (sin x ? cos x)] ,

1 ,1] , cos( x ? 1) ? cos(1 ? x) ? 0 , 2
2? x

要证原不等式成立,只要证 e 只要证 ?e1? 2 x ? 2 2 sin( x ?

? 2e x ?1 (sin x ? cos x) ? 0 ,

1 ) ,对于任意 x ? [? ,1] 上恒成立, 4 2 ? 1 设函数 g ( x) ? 2 x ? 2 ? 2 2 sin( x ? ) , x ? [? ,1] , 4 2
则 g ' ( x) ? 2 ? 2 2 cos( x ?
'

?

?
4

) ? 2 2(

2 ? ? cos( x ? )) , 2 4

当 x ? (0,1] 时, g ( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0,1] 上是减函数,

1 1 , 0) 时, g ' ( x) ? 0 ,即 g ( x) [? , 0) 上是增函数, 2 2 1 所以,在 [? ,1] 上, g ( x) max ? g (0) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 . 2
当 x ? [?

所以, 2 x ? 2 ? 2 2 sin( x ? 设函数 h( x) ? 2 x ? 2 ? e
1? 2 x

?
4

(当且仅当 x ? 0 时上式取等号)① ),

1 ,1] ,则 h ' ( x) ? 2 ? 2e1? 2 x ? 2(1 ? e1? 2 x ) , 2 1 1 1 1 ' 当 x ? [? , ) 时, h ( x) ? 0 ,即 h( x) 在 [ ? , ) 上是减函数, 2 2 2 2 1 1 ' 当 x ? ( ,1] 时, h ( x) ? 0 ,即 h( x) 在 ( ,1] 上是增函数, 2 2 1 1 所以在 [? ,1] 上, h( x) min ? h( ) ? 0 ,所以 h( x) ? 0 ,即 ?e1? 2 x ? 2 x ? 2 , 2 2 1 ? (当且仅当 x ? 时上式取等号)②,综上所述, ?e1? 2 x ? 2 x ? 2 ? 2 2 sin( x ? ) , 2 4 ? 1 因为①②不能同时取等号,所以 ?e1? 2 x ? 2 2 sin( x ? ) ,在 ?x ? [? ,1] 上恒成立, 4 2 1 ' 所以 ?x ? [? ,1] ,总有 f ( x ? 1) ? 2 f ( ? x) cos( x ? 1) ? 0 成立. 2
, x ? [? 22. (1)证明:连接 OC , AC , ∵ BC ? CD ,∴ ?CAB ? ?CAD ,∴ AB 是圆 O 的直径, ∴ OC ? OA ,∴ ?CAB ? ?ACO ,∴ ?CAD ? ?ACO , ∴ AE / / OC ,∵ CF ? AE ,∴ CF ? OC ,∴ CF 是圆 O 的切线.

(2)∵ AB 是圆 O 的直径,∴ ?ACB ? 900 ,即 AC ? BE . ∵ ?CAB ? ?CAD ,∴点 C 为 BE 的中点,∴ BC ? CE ? CD ? 4 . 由割线定理: EC ? EB ? ED ? EA ,且 AE ? 9 ,得 ED ?

32 . 9

在 ?CDE 中, CD ? CE , CF ? DE ,则 F 为 DE 的中点. ∴ DF ?

16 2 4 65 16 2 2 2 ,在 Rt ?CFD 中, CF ? CD ? DF ? 4 ? ( ) ? . 9 9 9

∴ CF 的长为

4 65 . 9

23. (1)曲线 C 的直角坐标方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 4

左焦点 F (?2 2, 0) ,代入直线 AB 的参数方程,得 m ? ?2 2 ,

? 2 t ? x ? ?2 2 ? ? 2 直线 AB 的参数方程是 ? ( t 为参数) , 2 ? y? t ? ? 2
代入椭圆方程得 t 2 ? 2t ? 2 ? 0 ,所以 | FA | ? | FB |? 2 . (2)设椭圆 C 的内接矩形的顶点为 (2 3 cos ? , 2sin ? ) , (?2 3 cos ? , 2sin ? ) ,

(2 3 cos ? , ?2sin ? ) , (?2 3 cos ? , ?2sin ? ) , (0 ? ? ?

?
2

),

所以椭圆 C 的内接矩形的周长为 8 3 cos ? ? 8sin ? ? 16sin(? ? 当? ?

?
3

),

?
3

?

?
2

时,即 ? ?

?
6

时椭圆 C 的内接矩形的周长取得最大值 16.

24. (1) 2 f ( x) ? a ? g ( x) ,即 2 f ( x) ? g ( x) ? a , a ? [2 f ( x) ? g ( x)]min . 又 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 | x ? sin ? | ?2 | x ? cos ? |? 2 | ( x ? sin ? ) ? ( x ? cos ? ) |? 2 | sin ? ? cos ? |? 2 ,
2 2 2 2 2 2

所以 a ? 2 , a 的最大值 m ? 2 . (2)因为 a ? 2b ? 3c ? 4 , 所以 16 ? ( a ? 2b ? 3c) ? (1 ? 2 ? 3 )( a ? b ? c )(1 ? 2 ? 3 ) ? 14( a ? b ? c ) ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ?

8 . 7



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