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2013届人教A版文科数学课时试题及解析(41)空间点、直线、平面之


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课时作业(四十一) [第 41 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系] [时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 1.下面列举的图形一定是平面图形的是( ) A.有一个角是直角的四边形 B.有两个角是直角的四边形 C.有三个角是直角的四边形 D.有四个角是直角的四边形 2.已知直线 l∥平面 α,a、b 是夹在直线 l 与平面 α 之间的两条线段,则 a∥b 是 a=b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列说法正确的是( ) A.如果两个不重合的平面 α、β 有一条公共直线 a,就说平面 α、β 相交,并记作 α∩β =a B.两个平面 α、β 有一个公共点 A,就说 α、β 相交于过 A 点的任意一条直线 C.两个平面 α、β 有一个公共点 A,就说 α、β 相交于 A 点,并记作 α∩β=A D.两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC 4.以下四个命题中,正确的命题是________(填序号). ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 能力提升 5.若 A、B、C 表示不同的点,a、l 表示不同的直线,α、β 表示不同的平面,下列推 理不正确的是( ) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB C.l?α,A∈l?A?α D.A、B、C∈α,A、B、C∈β 且 A、B、C 不共线?α 与 β 重合 6.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一 个平面上”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 7.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6

图 K41-1 8. 正方体 ABCD-A′B′C′D′中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B′C′的中点, 那么,正方体的过 P、Q、R 的截面图形是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 9.如图 K41-2 所示,平面 α∩平面 β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,则 平面 ABC 与平面 β 的交线是( )

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图 K41-2 A.直线 AC B.直线 AB C.直线 CD D.直线 BC 10.共点的四条直线最多能确定平面的个数是________. 11.给出下列条件:①空间的任意三点;②空间的任意两条直线;③梯形的两条腰所在 的直线;④空间的任意一条直线和任意一个点;⑤空间两两相交的三条直线.其中一定能独 立确定一个平面的条件的序号是________. 12.已知直线 m、n 及平面 α,其中 m∥n,那么平面 α 内到两条直线 m、n 距离相等的 点的集合可能是:①一条直线;②一个平面;③一个点;④空集.其中正确的是________(填 序号). 13.下列命题中正确的是________(填序号). ①若△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在的直线分别交 α 于 P、Q、R,则 P、Q、R 三 点共线;②若三条直线 a、b、c 互相平行且分别交直线 l 于 A、B、C 三点,则这四条直线 共面;③空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面. 14.(10 分)如图 K41-3,设 E,F,G,H 分别是三棱锥 A-BCD 的棱 AB、BC、CD、 AD 的中点,若 AC=BD=1,求 EG2+FH2 的值.

图 K41-3 15.(13 分)如图 K41-4 所示,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别 为 AA1、C1D1 的中点,过 D、M、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 l. (1)画出直线 l,并说明画法的依据; (2)设 A1B1∩l=P,求线段 PB1 的长.

图 K41-4 难点突破 16.(12 分)如图 K41-5,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯 1 1 形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 2 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (3)证明:FE、AB、CD 三线共点.

图 K41-5
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课时作业(四十一) 【基础热身】 1.D [解析] 对于前三个,可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的 对角线翻折;对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折;在翻折的过程中,某 个瞬间出现了有三个直角的空间四边形. 2.A [解析] 当 a∥b 时,设 a、b、l 确定的平面与平面 α 的交线为 l′,则 a、b、l、 l′构成平行四边形,可得 a=b;反之,若 a=b,则不一定有 a∥b.故选 A. 3.A [解析] 根据平面的性质公理 3 可知,A 对;对于 B,其错误在于“任意”二字 上;对于 C,错误在于 α∩β=A 上;对于 D,应为平面 ABC 和平面 DBC 相交于直线 BC. 4.① [解析] ①正确,可以用反证法证明,假设有三点共线,则由直线和直线外一点 确定一个平面,得这四点共面;②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但是若 A、B、 C 共线,则结论不正确;③不正确,共面不具有传递性;④不正确,因为此时所得的四边形 四条边可以不在一个平面上. 【能力提升】 5.C [解析] 由公理 1 知,A 正确;由公理 3 知,B 正确;由公理 2 知,D 正确;l?α ? l 可能与 α 相交,C 不正确,故选 C. 6.A [解析] 若有三点共线于 l,当第四点在 l 上时共面,当第四点不在 l 上时,l 与该 点确定一个平面 α,这四点共面于 α;若四点共面,则未必有三点共线.故选 A. 7.C [解析] 如图所示,用列举法知符合要求的棱为:BC、CD、C1D1、BB1、AA1.

8.D

[解析] 如图,

作 RG∥BD 交 C′D′于 G,连接 QP,并延长与 CB 的延长线交于 M, 连接 MR 交 BB′于 E,连接 PE、RE, 同理延长 PQ 交 CD 的延长线于 N,连接 NG 交 DD′于 F,连接 QF、FG. 故截面为六边形 PQFGRE. 9.C [解析] 由题意知,D∈l,l? β,∴D∈β. 又 D∈AB,∴D∈平面 ABC, 即 D 在平面 ABC 与平面 β 的交线上. 又 C∈平面 ABC,C∈β, ∴点 C 在平面 β 与平面 ABC 的交线上. 从而有平面 ABC∩平面 β=CD,故选 C. 10.6 [解析] 观察四棱锥模型,它的四个侧面,以及两个对角面,可以看成共点的四 条直线最多能确定平面的个数的情形. 11.③ [解析] ①中三点共线时,②中两直线不平行也不相交时,④中点在直线上时, ⑤中三直线交于一点时(此时可能不共面),都不能独立确定一个平面. 12.①②④ [解析] 如图(1),当直线 m 或直线 n 在平面 α 内且 m、n 所在平面与 α 垂 直时不可能有符合题意的点;如图(2),直线 m、n 到已知平面 α 的距离相等且两直线所在平 面与已知平面 α 垂直,则已知平面 α 为符合题意的点集;如图(3),直线 m、n 所在平面与已 知平面 α 平行,则符合题意的点为一条直线.

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13.①② [解析] 在①中,因为 P、Q、R 三点既在平面 ABC 上,又在平面 α 上,所以 这三点必在平面 ABC 与 α 的交线上,即 P、Q、R 三点共线,故①正确;在②中,因为 a∥ b,所以 a 与 b 确定一个平面 α,而 l 上有 A、B 两点在该平面上,所以 l? α,即 a、b、l 三 线共面于 α;同理 a、c、l 三线也共面,不妨设为 β,而 α、β 有两条公共的直线 a、l,∴α 与 β 重合,即这些直线共面,故②正确;在③中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能 确定 7 个平面,故③错. 14.[解答] 易知四边形 EFGH 为平行四边形,由平行四边形性质知: 1 1 EG2+FH2=2(EF2+FG2)=2× (AC2+BD2)= ×(12+12)=1. 4 2 15.[解答] (1)延长 DM 交 D1A1 的延长线于 E,连接 NE,则 NE 即为所求的直线 l.依据 如下: ∵E∈直线 DM,直线 DM? 平面 DMN, ∴E∈平面 DMN. 又 E∈直线 A1D1,直线 A1D1? 平面 A1B1C1D1, ∴E∈平面 A1B1C1D1. ∴E 为平面 A1B1C1D1 与平面 DMN 的公共点. ∵平面 A1B1C1D1∩平面 DMN=l,∴E∈l. 同理可证 N∈l. ∴直线 EN 就是所求的直线. (2)∵M 为 AA1 的中点,且 AD∥ED1,∴AD=A1E=A1D1=a. 1 1 1 3 又∵A1P∥D1N,且 D1N= a,∴A1P= D1N= a,∴PB1=A1B1-A1P= a. 2 2 4 4 3 即线段 PB1 的长为 a. 4 【难点突破】 16.[解答] (1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD, 1 所以 GH 綊 AD. 2 1 又 BC 綊 AD,故 GH 綊 BC, 2 所以四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 1 由 BE 綊 AF,G 是 FA 的中点知,BE 綊 GF, 2 所以 EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共面. 又点 D 在直线 FH 上,所以 C、D、F、E 四点共面. (3)证明:连接 EC, 1 1 ∵BE 綊 AF,BC 綊 AD, 2 2 BE BC 1 ∴ = = ,故 EC∥FD 且 EC≠FD, AF AD 2 ∴FE 与 DC 交于一点 P. 又 AB? 平面 ABEF,AB? 平面 ABCD, ∴P 点在 AB 上,故 FE、DC、AB 三线共点.

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