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【创新方案】2014版高中数学 第二讲 参数方程的概念教学课件 新人教版A版选修4-4


1.参数方程的概念 在平面直角坐标系中,曲线上任一点的坐标 x,y 都是 某个变数
? ?x=f?t? t(θ,φ,…)的函数:? ? ?y=g?t?

①,并且对于每一

个 t 的允许值,方程组①所确定的点(x,y)都在这条曲线上, 那么方程组①就叫这条曲线的 参数方程 ,t 叫做参数,相对 于参数方程而言, 直接给出坐标间关系的方程叫 普通方程 .

2.参数的意义 参数 是联系变数x,y的桥梁,可以是有 物理 意义或 几何 意义的变数,也可以是 的变数.

[例1]

如图,△ABP是等腰直角三角形,

∠B是直角,腰长为a,顶点B、A分别在x轴、 y轴上滑动,求点P在第一象限的轨迹的参数方程. [思路点拨] 此类问题关键是参数的选取.本例中由

于A、B的滑动而引起点P的运动,故可以OB的长为参数,
或以角为参数,不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解.

[ 解]

法一:设 P 点的坐标为(x,y),过 P 点作 x 轴

的垂线交 x 轴于 Q. 如图所示,则 Rt△OAB≌Rt△QBP. 取 OB=t,t 为参数(0<t<a). ∵|OA|= a2-t2, ∴|BQ|= a2-t2. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
? ?x=t+ ? ? ?y=t,

a2-t2,

(0<t<a).

法二:设点 P 的坐标为(x,y),过点 P 作 x 轴的垂线 交 x 轴于点 Q,如图所示. 取∠QBP=θ, π θ 为参数(0<θ< ), 2 π 则∠ABO= -θ. 2 在 Rt△OAB 中, π |OB|=acos( -θ)=asin θ. 2

在 Rt△QBP 中, |BQ|=acos θ,|PQ|=asin θ. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
? ?x=a?sin θ+cos ? ? ?y=asin θ.

θ?,

π (θ 为参数,0<θ< ). 2

求曲线参数方程的主要步骤 第一步,画出轨迹草图,设M(x,y)是轨迹上任

意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的
位置,以利于发现变量之间的关系.

第二步,选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点: 一是曲线上每一点的坐标x,y与参数的关系比较明显,容易列 出方程;二是x,y的值可以由参数唯一确定.例如,在研究运 动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时,通常选旋

转角为参数.此外,离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、
斜率、截距等也常常被选为参数. 第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意 义等,建立点的坐标与参数的函数关系式,证明可以省略.

1.设质点沿以原点为圆心,半径为 2 的圆作匀角速度运动, π 角速度为 rad/s,试以时间 t 为参数,建立质点运动轨 60 迹的参数方程.
解:如图,运动开始时质点位于点 A 处,此时 t=0,设动点 M(x,y)对应时刻 π 又 θ= · t, 60 π ? ?x=2cos60t, 故参数方程为:? ?y=2sin π t. 60 ?
? ?x=2cos θ, t,由图可知:? ? ?y=2sin θ,

2.选取适当的参数,把直线方程y=2x+3化为参数方程.
解:选 t=x,则 y=2t+3
? ?x=t, 由此得直线的参数方程为? ? ?y=2t+3,

(t 为参数).

也可选 t=x+1,则 y=2t+1.
? ?x=t-1, 参数方程为:? ? ?y=2t+1.

(t 为参数)

[例 2]

? ?x=3t 已知曲线 C 的参数方程是? 2 ? y = 2 t +1 ?

(t 为参数).

(1)判断点 M1(0,1),M2(5,4)与曲线 C 的位置关系. (2)已知点 M3(6,a)在曲线 C 上,求 a 的值. [思路点拨] 由参数方程的概念,只需判断对应于点的

参数是否存在即可,若存在,说明点在曲线上,否则不在曲 线上.

[解]

(1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组,

? ?0=3t, 得:? 2 ? ?1=2t +1.

解得:t=0.∴点 M1 在曲线 C 上. 同理:可知点 M2 不在曲线 C 上. (2)∵点 M3(6,a)在曲线 C 解得:t=2,a=9. ∴a=9.
? ?6=3t, 上,∴? 2 ? a = 2 t +1. ?

参数方程是曲线方程的另一种表达形式,点与曲线
位置关系的判断,与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的.

3.曲线(x-1)2+y2=4上的点可以表示为( A.(-1+cos θ,sin θ) C.(-1+2cos θ,2sin θ)

)

B.(1+sin θ,cos θ) D.(1+2cos θ,2sin θ)

解析:将点的坐标代入方程,使方程成立的即可.
答案:D

4.已知某条曲线 C

? ?x=1+2t, 的参数方程为? 2 ? ?y=at

(其中 t 为参

数,a∈R).点 M(5,4)在该曲线上,求常数 a.
解:∵点 M(5,4)在曲线 C 上,
? ?5=1+2t, ∴? 2 ? 4 = at , ? ? ?t=2, 解得:? ? ?a=1.

∴a 的值为 1.



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