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上海高一上期末数学复习专题三:函数


高一(上)数学期末专题复习三: 函数(1)——函数的有关概念、函数的运算、函数关系的建立
知识梳理: 1、某个变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于 x 在某个范围 D 内的每一个确定的值,按 照某个对应法则 f,y 都有唯一的值与它对应,那么 y 就是 x 的函数,记作 y=f(x) x , ∈D ,x 叫做自变量,y 叫做应变量。x 的取值范围 D 叫做函数的定义域,y 叫做函数 值,函数值的集合叫做函数的值域. 2、函数的三大要素:定义域、值域、解析式. 3、函数的和运算、积运算(注意定义域). 4、函数的表示方法:解析法、列表法和图像法. 具体训练: 1、下列各组函数中,表示同一函数的是( ). x 2 A. y ? 1, y ? B. y ? x ? 1? x ? 1, y ? x ? 1 C. y ? x, y ? 3 x3 D. y ?| x |, y ? ( x )2 x 2、给出下列两个条件: (1)f( x +1)=x+2 x ;? (2)f(x) 为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别 求出 f(x)的解析式.? 3、求下列函数的定义域:? (1)y=
( x ? 1)0 | x | ?x

;?

(2)y=

1
3

x ?3
2

? 5 ? x2 ;

? (3)y= x ? 1· x ? 1 .?

4、设函数 y=f(x)的定义域为[0,1] ,求下列函数的定义域.? (1)y=f(3x); (3)y=f( x ? ) ? f ( x ? ) ;?
1 3 1 3

(2)y=f(

1 );? x

(4)y=f(x+a)+f(x-a).? ?

5、求下列函数的值域:? (1)y=
x2 ? x ; x ? x ?1
2

(2)y=x- 1? 2 x ;?

(3)y=

ex ?1 .? ex ?1

6、已知函数 f ?x ? ? 1 ? x ?

1 1 , g ?x ? ? x ? 1 ? ,求 f ?x ? ? g ?x ? x x

作业附加: 1、.等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a,BC=a,∠BAD=45° ,作直线 MN⊥AD 交 AD 于 M, 交折线 ABCD 于 N,记 AM=x,试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数,并 写出函数的定义域.? 2、若函数 f(x)的定义域是[0,1] ,则 f(x+a)· f(x-a)(0<a< )的定义域是 ( A. ? ? B. a,1-a]? [ 3、求下列函数的值域:? (1)y=
1? x ;? 2x ? 5
1 2



C. -a,1+a]? [ (2)y=|x| 1 ? x .?
2

D.[0,1]?

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学案答案: 1、 C 2、解:(1)令 t= x +1,∴t≥1,x=(t-1)2.? 则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即 f(x)=x2-1,x∈[1,+∞).? (2)设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),? ∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,?则 f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.? ∴?
?a ? 1 ?4a ? 4 ,?∴ ? ,又 f(0)=3 ? c=3,∴f(x)=x2-x+3.? b ? ?1 4a ? 2b ? 2 ? ? ? x ? ?1 ?x ? 1 ? 0 , , 化简得 ? | x | ?x ? 0 ?| x |? x ?

3、解:(1)由题意得 ? 即?

? x ? ?1 . 故函数的定义域为{x|x<0 且 x≠-1}.? ?x ? 0
?x ? ? 3 ?x2 ? 3 ? 0 ? .? , 解得 ? 2 5? x ?0 ?? 5 ? x ? 5 ? ?

(2)由题意可得 ?

故函数的定义域为{x|- 5 ≤x≤ 5 且 x≠± 3 }.? (3)要使函数有意义,必须有?
? x ? ?1 ?x ? 1 ? 0 , ∴x≥1,故函数的定义域为[1,+∞).? ,即? ? x ?1 ? 0 ?x ? 1 ?

4、解:(1)0≤3x≤1,故 0≤x≤ ,? y=f(3x) 的定义域为[0, (2)仿(1)解得定义域为[1,+∞).?

1 3

1 3

].?

(3)由条件,y 的定义域是 f ( x ? ) 与 ( x ? ) 定义域的交集.?
1 2 ? ? 1 ?0 ? x ? 3 ? 1 ?? 3 ? x ? 3 1 2 ? ? ?? ? ?x? , 列出不等式组 ? 1 1 4 3 3 ?0 ? x ? ? 1 ? ? x ? ? ?3 3 3 ? ?

1 3

1 3

故 y=f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域为 ? , ? . ?3 3? 3 3
1 1
1 2 ? ?

(4)由条件得 ? ①当 ? ②当 ?

?0 ? x ? a ? 1 ??a ? x ? 1 ? a ?? , 讨论:? ?0 ? x ? a ? 1 ?a ? x ? 1 ? a

?a ? 1 ? a, 1 即 0≤a≤ 时,定义域为[a,1-a];? 2 1 ? a ? 1 ? a, ?

?a ? ?a, 1 即- ≤a≤0 时,定义域为[-a,1+a].? 2 ? a ? 1 ? a, ?
1 2 1 2

综上所述:当 0≤a≤ 时,定义域为[a,1-a] ;当- ≤a≤0 时,定义域为[-a,1+a].? 5、解:(1)方法一 (配方法)? ∵y=1∴0<
1 1 3 3 , 而 x 2 ? x ? 1 ? ( x ? )2 ? ? , x2 ? x ? 1 2 4 4

1 4 1 ? 1 ? ? , ∴ ? ? y ? 1. ∴值域为 ?? ,1? . x2 ? x ? 1 3 3 ? 3 ?
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方法二 (判别式法) 由 y=
x2 ? x , 得(y-1) x2 ? (1 ? y) x ? y ? 0. x ? x ?1
2

∵y=1 时, x ? ?,? y ? 1.又∵ x ? R,∴必须 ? =(1-y)2-4y(y-1)≥0. ∴ ? ? y ? 1. ∵ y ? 1, ∴函数的值域为 ?? ,1? . ? ?
1 3
1 ? 3 ?

(2)方法一 (单调性法)?
1 1 定义域 ? x | x ? ? ,函数 y=x,y=- 1? 2 x 均在 ? ? ?, ? 上递增, ? ? ? ? ? 2? ? 2?

故 y≤ ? 1 ? 2 ?

1 2

1 1 ? . 2 2

1 ∴函数的值域为 ? ? ?, ? . ? ? ? 2?

方法二 (换元法)? 令 1? 2 x =t,则 t≥0,且 x= ∴y∈(-∞, ].? (3)由 y=
1? y 1? y ex ? 1 x 得,ex= >0,解得-1<y<1.? . ?∵e >0,即 1? y 1? y ex ? 1
1 2 1 1 1? t2 2 . ?∴y=- (t+1) +1≤ (t≥0),? 2 2 2

∴函数的值域为{y|-1<y<1}.? 7、 f ?x ? ? g ?x ? ? 1 ? x ?

x ? 1, x ? ?? 1,0? ? ?0,1?

作业附加答案: 1、解:作 BH⊥AD,H 为垂足,CG⊥AD,G 为垂足,? 依题意,则有 AH=
3 a ,AG= a.? 2 2

(1)当 M 位于点 H 的左侧时,N∈AB,? 由于 AM=x,∠BAD=45° .?∴MN=x.?∴y=S△AMN= x2(0≤x≤ (2)当 M 位于 HG 之间时,由于 AM=x,?∴MN= ∴y=S AMNB = · [x+(x1 a 2 2
1 2

a ).? 2

a a ,BN=x- .? 2 2

1 a a2 a 3 ) ]= ax- ( ? x ? a). ? 2 8 2 2 2

(3)当 M 位于点 G 的右侧时,由于 AM=x,MN=MD=2a-x.? ∴y=S ABCD-S△MDN= · (2a ? a) ? (2a ? x) ?
2

1 a 2 2

1 2

3a2 1 1 5a2 3 ? (4a2 ? 4ax ? x2 ) ? ? x2 ? 2ax ? ( a ? x ? 2a). 4 2 2 4 2

?1 2 ? x ?2 ? a2 ?1 综上:y= ? ax ? 8 ?2 ? 1 5a 2 ?? x 2 ? 2ax ? 4 ? 2 ?

? a? x ? ?0, ? ? 2? ?a 3 ? x ? ? , a ?. ?2 2 ? ?3 ? x ? ? a,2a ? ?2 ?

2、B
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3、解:(1)(分离常数法)y=- ?
1 2

1 2

7 7 ,∵ ≠0, 2(2 x ? 5) 2(2 x ? 5)
1 2

∴y≠- .故函数的值域是{y|y∈R,且 y≠- }.? (2)方法一 y=|x|· 1 ? x ? ? x ? x ? ? ( x ? ) ? ,
2 4 2 2 2

1 2

1 4

1 1 ∴0≤y≤ , 即函数的值域为 ?0, ? . ? ? 2

? 2?

【作业试卷: 《数学单元测试》P37-40】

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高一(上)数学期末专题复习三: 函数(2)——函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、零点、最大值和最小值)
知识梳理: 1.奇、偶函数的概念 f(-x)=f(x):偶函数.f(-x)=-f(x):奇函数.奇函数的图象关于原 点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 【判断奇偶性,先看定义域】 2.奇、偶函数的性质(1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇× 奇=偶,偶+偶=偶,偶× 偶=偶,奇× 偶=奇. 3.周期性(1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内 的任何值时, 都有 f(x+T)=f(x), 那么就称函数 y=f(x)为周期函数, T 为这个函数的周期. 称 (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期. 4.函数的单调性:增函数、减函数 1 5. 函数的单调性是对某个区间而言的, 所以要受到区间的限制. 例如函数 y= 分别在(-∞, x 0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递 减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接. 具体训练: 5 1.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f?-2?=( ? ? 1 A.- 2 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2 ).

1 2. f(x)= -x 的图象关于( ). x A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 3.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ). A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 4.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 4-x2 5. 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)= ;(2)f(x)=x2-|x-a|+2. |x+3|-3 1 1 6. 已知 f(x)=x?2x-1+2?(x≠0).(1)判断 f(x)的奇偶性;(2)证明:f(x)>0. ? ? 7. 已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于 x=1 对称,当 x∈[0,1]时,f(x) =2x-1,(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值. 8. 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值;(2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间. 9.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为( ). A.[2- 2,2+ 2] B.(2- 2,2+ 2) C.[1,3] D.(1,3) ax 10、讨论函数 f(x)= (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1 x2+a 11、已知函数 f(x)= (a>0)在(2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围. x 12、已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1) 2 =- .(1)求证:f(x)在 R 上是减函数;(2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 3 13、 当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是________.
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学案答案 5 5 1 1 1.解析 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数,所以 f?-2?=-f?2?=-f?2?=- .故选 A. ? ? ? ? ? ? 2 答案 A 1 1 2. 解析 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又 f(-x)= -(-x)=-?x-x?=-f(x), ? ? -x 则 f(x)为奇函数,图象关于原点对称. 答案 C 3. 解析 由题意知 f(x)与|g(x)|均为偶函数,A 项:偶+偶=偶;B 项:偶-偶=偶,B 错; C 项与 D 项:分别为偶+奇=偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选 A. 答案 A 4.解析 法一 ∵f(-x)=f(x)对于 x∈R 恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对于 x∈R 恒成立,两 边平方整理得 ax=0 对于 x∈R 恒成立,故 a=0. 法二 由 f(-1)=f(1), 得|a-1|=|a+1|,得 a=0. 答案 0 ?4-x2≥0, ? 5. 解 (1)解不等式组? ? ?|x+3|-3≠0, 得-2≤x<0,或 0<x≤2, 因此函数 f(x)的定义域是[-2,0)∪(0,2], 4-x2 则 f(x)= . x 4-?-x?2 4-x2 f(-x)= =- =-f(x), x -x 所以 f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是(-∞,+∞). 当 a=0 时,f(x)=x2-|x|+2, f(-x)=x2-|-x|+2=x2-|x|+2=f(x). 因此 f(x)是偶函数; 当 a≠0 时,f(a)=a2+2, f(-a)=a2-|2a|+2, f(-a)≠f(a),且 f(-a)≠-f(a). 因此 f(x)既不是偶函数也不是奇函数. 6. [审题视点] (1)用定义判断或用特值法否定;(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大 于 0. (1)解 法一 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞) 1 1 x 2x+1 ∵f(x)=x?2x-1+2?= ·x . ? ? 2 2 -1 -x -x 2 +1 x 2x+1 ∴f(-x)= ·-x = ·x =f(x). 2 2 -1 2 2 -1 故 f(x)是偶函数. 法二 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), 3 3 ∵f(1)= ,f(-1)= ,∴f(x)不是奇函数. 2 2 1 1 1 1 ∵f(x)-f(-x)=x?2x-1+2?+x?2-x-1+2? ? ? ? ? 1 2x 1-2x ? ? =x?2x-1+1-2x+1?=x? x +1?=x(-1+1)=0, ? ? ?2 -1 ? ∴f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)证明 当 x>0 时,2x>1,2x-1>0,
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1 1 所以 f(x)=x?2x-1+2?>0.

?

?

当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)>0,又 f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x),所以 f(x)>0. 综上,均有 f(x)>0. 根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的 单调性相同; 偶函数在对称区间上的单调性相反. 所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究, 只需研究对称区间上的单调性即可. 7. [审题视点] (1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)为周期函数; (2)由 f(x)在[0,1]上的解析式及 f(x)图象关于 x=1 对称求得 f(x)在[1,2]上的解析式; (3)由周期性求和的值. (1)证明 函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),函数 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(2+x) =f(-x)=-f(x),所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期 函数. (2)解 当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1], - 又 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(x)=f(2-x)=22 x-1,x∈[1,2]. (3)解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013) =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题. 8. 第(1)问先求函数 f(x)的周期,再求 f(π); 第(2)问,推断函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,再结合周期画出图象,由图象易求面 积; 第(3)问,由图象观察写出. [解答示范] (1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,(2 分) ∴f(π)=f(-1× 4+π)=f(π-4)=-f(4-π) =-(4-π)=π-4.(4 分) (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即 f(1+x) =f(1-x).

故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.(6 分) 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.(8 分) 当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 ?1 2× S=4S△OAB=4× 2× 1?=4.(10 分) ? ? (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈Z).(12 分) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知 区间上的问题转化为已知区间上的问题. 9.解析 函数 f(x)的值域是(-1,+∞),要使得 f(a)=g(b),必须使得-x2+4x-3>-1.即 x2-4x+2<0,解得 2- 2<x<2+ 2. 答案 B 10、解 设-1<x1<x2<1,
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1 x-1+1 ? =a 1+x-1?, ? ? x-1 1 ? ? 1 f(x1)-f(x2)=a?1+x -1 -a 1+x -1? ? ? ? ? 1 2 x2-x1 =a ?x1-1?x2-1? ? 当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 函数 f(x)在(-1,1)上递减; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 函数 f(x)在(-1,1)上递增. 11、 [审题视点] 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性. x2+a x2+a x2-x1 1 2 解 法一 设 2<x1<x2,由已知条件 f(x1)-f(x2)= - =(x1-x2)+a =(x1- x1 x2 x1x2 x1x2-a x2) <0 恒成立.即当 2<x1<x2 时,x1x2>a 恒成立.又 x1x2>4,则 0<a≤4. x1x2 a a 法二 f(x)=x+ ,f′(x)=1- 2>0 得 f(x)的递增区间是(-∞,- a),( a,+∞),根据已知 x x 条件 a≤2,解得 0<a≤4. 已知函数的解析式,能够判断函数的单调性,确定函数的单调区间,反之已知函 数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围, 可通过列不等式或解决不等式恒成立问 题进行求解. 12、[审题视点] 抽象函数单调性的判断,仍须紧扣定义,结合题目作适当变形. (1)证明 法一 ∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0, 而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 法二 设 x1>x2,则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2)解 ∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相 f?x1? 应的条件,对任意 x1,x2 在所给区间内比较 f(x1)-f(x2)与 0 的大小,或 与 1 的大小.有时 f?x2? x1 根据需要,需作适当的变形:如 x1=x2· 或 x1=x2+x1-x2 等. x2 4 13、解析 法一 当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 可化为:m<-?x+x?, ? ? 4 又函数 f(x)=-?x+x?在(1,2)上递增,则 f(x)>-5,则 m≤-5. ? ? 【作业试卷: 《数学单元测试》P41-44】 f(x)=a
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高一(上)数学期末专题复习三: 函数(3)——幂函数、指数函数、抽象函数与函数的综合运用
知识梳理: 幂函数 1.幂函数的定义 一般地,形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,α 为常数. 2.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下,幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y= x ,y=x 分别如图. 3.幂函数的性质 y=x 定义域 值 域 奇偶性 单调性 R R 奇 增 y=x2 R [0,+∞) 偶 x∈[0,+∞)时,增 x∈(-∞,0]时,减 y=x3 R R 奇 增
1
2 3

1 2

-1

的图象

y= x 2 [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 增

y=x

-1

{x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇 x∈(0,+∞)时,减 x∈(-∞,0)时,减 (1,1)

定点 (0,0),(1,1) 4.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0)

f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域 值域

(-∞,+∞) 4ac-b2 ? ? ? 4a ,+∞?

(-∞,+∞) 2 ?-∞,4ac-b ? 4a ? ?

单调性

b 在 x∈?-2a,+∞?上单调递增 ? ? b 在 x∈?-∞,-2a?上单调递增 ? ?

b 在 x∈?-∞,-2a?上单调递减 ? ? b 在 x∈?-2a,+∞?上单调递减 ? ?

奇偶性 顶点 对称性

当 b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数 2 ?- b ,4ac-b ? 4a ? ? 2a b 图象关于直线 x=- 成轴对称图形 2a

5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
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指数函数 指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 值域 性质

R (0,+∞) 过定点(0,1) x<0 时,0<y<1 x<0 时,y>1. 在(-∞,+∞)上是减函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x>0 时,y>1; 在(-∞,+∞)上是增函数

【※】一个关系:分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的, 分数指数幂与根式可以相互转化, 通常利用分数指数幂 进行根式的化简运算. 两个防范:(1)指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按:0 <a<1 和 a>1 进行分类讨论. (2)换元时注意换元后“新元”的范围. x 三个关键点:画指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), ?-1,1?. a? ? 抽象函数的解题技巧:换元法、方程组法、待定系数法、赋值法、转化法、递推法。 具体训练: 1.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数 的解析式 f(x)=________. 1 2.若函数 f(x)= x ,则该函数在(-∞,+∞)上是( ). 2 +1 A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 1 1 3、已知函数 f(x)=?ax-1+2?·3(a>0 且 a≠1). ? ?x (1)求函数 f(x)的定义域; (2)讨论函数 f(x)的奇偶性; (3)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立. 4、 已知方程 10x=10-x,lg x+x=10 的实数解分别为 α 和 β,则 α+β 的值是________.

? ?f?x?,f?x?≥K, 5、 设函数 y=f(x)在(-∞, +∞)内有定义. 对于给定的正数 K, 定义函数 fK(x)=? ?K,f?x?<K, ? -x 取函数 f(x)=2+x+e ,若对任意的 x∈(-∞,+∞),恒有 fK(x)=f(x),则 K 的最大值为 ________. 【抽象函数】 1.换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x) 第 10 页 共 14 页

2.方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。 例 2. 设y ? f ( x)是实数函数(即x, f ( x)为实数), 且f ( x) ? 2f ( ) ? x, 求证 :| f ( x) |?

1 x

2 2. 3

3.待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例 3.已知 f(x)是多项式函数,且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).

4.赋值法 有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。 例 4.对任意实数 x,y,均满足 f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且 f(1)≠0,则 f(2001)=_______.

5.转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系, 为问题 的解决带来极大的方便. 例 5.定义在 R+上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围.

6.递推法 对于定义在正整数集 N*上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具有递推 性,也常用递推法来求解. 例 96.是否存在这样的函数 f(x),使下列三个条件:①f(n)>0,n∈N; ②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*; ③f(2)=4 同时成立?若存在,求出函数 f(x)的解析式;若不存在,说明理由.

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【作业——一课一练 P80-82】 学案答案:1.解析 f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2 由已知条件 ab+2a=0,又 f(x)的值域为(-∞,4],

?a≠0, ? 则?b=-2, ?2a2=4. ?

因此 f(x)=-2x2+4.

答案 -2x2+4 2. 解析 设 y=f(x),t=2x+1, 1 则 y= ,t=2x+1,x∈(-∞,+∞) t t=2x+1 在(-∞,+∞)上递增,值域为(1,+∞). 1 因此 y= 在(1,+∞)上递减,值域为(0,1). t 答案 A 3、[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形;恒成立问题可通过求最值 解决. 解 (1)由于 ax-1≠0,且 ax≠1,所以 x≠0. ∴函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}. (2)对于定义域内任意 x,有 1 1 f(-x)=?a-x-1+2?(-x)3 ? ? x a 1 1 1 =?1-ax+2?(-x)3=?-1-ax-1+2?(-x)3 ? ? ? ? 1 1? 3 =?ax-1+2 x =f(x), ? ? ∴f(x)是偶函数. (3)当 a>1 时,对 x>0,由指数函数的性质知 ax>1, 1 1 ∴ax-1>0, x + >0. a -1 2 1 1 又 x>0 时,x3>0,∴x3?ax-1+2?>0, ? ? 即当 x>0 时,f(x)>0. 又由(2)知 f(x)为偶函数,即 f(-x)=f(x), 则当 x<0 时,-x>0,有 f(-x)=f(x)>0 成立. 综上可知,当 a>1 时,f(x)>0 在定义域上恒成立. ?ax+1?x3 当 0<a<1 时,f(x)= x . 2?a -1? 当 x>0 时,1>ax>0,ax+1>0, ax-1<0,x3>0,此时 f(x)<0,不满足题意; 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=f(x)<0,也不满足题意. 综上可知,所求 a 的取值范围是 a>1. (1)判断此类函数的奇偶性, 常需要对所给式子变形, 以达到所需要的形式, 另外, f?x? 还可利用 f(-x)± f(x), 来判断. f?-x? (2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题,是解决恒成立问题的常用方法. - ex-e x y= ,y=lg(10x-1)等. 2 4、 解析 作函数 y=f(x)=10x,y=g(x)=lg x,y=h(x)=10-x 的图象如图所示,由于 y= f(x)与 y=g(x)互为反函数,∴它们的图象是关于直线 y=x 对称的.又直线 y=h(x)与 y=x 垂 直,∴y=f(x)与 y=h(x)的交点 A 和 y=g(x)与 y=h(x)的交点 B 是关于直线 y=x 对称的.而
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y=x 与 y=h(x)的交点为(5,5).又方程 10x=10-x 的解 α 为 A 点横坐标,同理,β 为 B 点横 α+β 坐标.∴ =5,即 α+β=10. 2 答案 10

5、 【抽象函数】 1.换元法 2 解:令 u=1+sinx,则 sinx=u-1 (0≤u≤2),则 f(u)=-u +3u+1 (0≤u≤2) 2 故 f(x)=-x +3x+1 (0≤u≤2) 2.方程组法 解: 用 代换x, 得f ( ) ? 2f ( x) ?

1 , 与已知得 x 2 ? 3xf (x) ? 2 ? 0 x 2 由? ? 0得 9f 2 (x) ? 4 ? 2 ? 0,? f (x) |? | 2. 3

1 x

1 x

3.待定系数法 解:由已知得 f(x)是二次多项式,设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0) 代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1. 4.赋值法 解:令 x=y=0,得:f(0)=0,令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,

1 1 ? f (1) ? 0,? f (1) ? .令x ? n, y ? 1, 得f (n ? 1) ? f (n) ? 2[f (1)]2 ? f (n) ? , 2 2 1 n 2001 即 f(n ? 1) - f(n) ? , 故f (n) ? ,? f (2001) ? . 2 2 2
5.转化法 解:(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n 为实数,则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n. 又 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y)

(2)证明: 设0 ? x 1 ? x 2 , 可令m ? n且使x 1 ? 2 m , x 2 ? 2 n ,

由(1)得f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f (

x1 ) ? f (2 m ?n ) ? (m ? n )f (2) ? m ? n ? 0 x2

故 f(x1)<f(x2),即 f(x)是 R+上的增函数.
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(3)由 f(x)+f(x-3)≤2 及 f(x)的性质,得 f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2) 解得 3<x≤4. 6.递推法 解:假设存在这样的函数 f(x),满足条件,得 f(2)=f(1+1)=4,解得 f(1)=2. 又 f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x∈N*) (数学归纳证明 略) 例 10.已知 f(x)是定义在 R 上的函数, f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1. 若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_________. 解:由 g(x)=f(x)+1-x,得 f(x)=g(x)+x-1. 所以 g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+1 即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以 g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故 g(x)=g(x+1) 又 g(1)=1,故 g(2002)=1.

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