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【测控指导】2018版高中数学人教A必修4课件 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义_图文

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

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1.理解并掌握向量数乘的定义及其几何意义,会作向量ma+nb. 2.熟练掌握和运用向量数乘的运算律,会化简向量关系式,并能用 已知向量表示未知向量. 3.掌握向量共线定理,会判定或证明两个向量共线.

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1.向量的数乘
定义 长度 一般地,实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量 的数乘,记作 λ a |λa|=|λ||a| λ >0 方向 λ=0 λ <0 λa 的方向与 a 的方向相同 λa=0 λa 的方向与 a 的方向相反

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名师点拨 1.实数与向量可以进行数乘运算 ,其结果是一个向量 , 不是实数 ;但实数与向量不能进行加减运算 ,如 λ+a,λ-a 是错误的 . 2.对于任意非零向量
a,向量 是与向量a 同向的单位向量 .向量 ? || ||

是与向量a 方向相反的单位向量 . 3.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩 小到原来的 |λ|倍.

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【做一做1】 已知非零向量a,b满足a=4b,则( A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反 解析:∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|. ∵4b与b的方向相同,∴a与b的方向相同. 答案:C

)

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2.向量数乘的运算律 向量的数乘运算满足下列运算律: 设λ,μ为实数,则 (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb(分配律). 特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
知识拓展在△ABC 中,D 是 BC 的中点,则有 = ( + ).
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【做一做2】 3(2a-4b)等于( ) A.5a+7b B.5a-7b C.6a+12b D.6a-12b 解析:原式=3×2a-3×4b=6a-12b. 答案:D

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3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa. 归纳总结1.向量共线的条件:当向量a=0时,a与任一向量b共线;当 向量a≠0时,对于向量b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由实数与向 量的积的定义知b与a共线. 反之,已知向量b与a(a≠0)共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍, 即|b|=λ|a|,那么当b与a同方向时b=λa,当b与a反方向时b=-λa.
2.若 b=λa(a≠0),则|λ|=
|| . ||

3.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.

知识拓展已知三点 A,B,C 共线,O 是平面内任意一点,则有 = + , 其中λ+m=1.

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【做一做 3】 已知 P 是线段 MN 的中点 ,则有( A. = 2 B. =
1 2 1 2 1 , 2

)

C. = D. = 解析 :如图 , = ?2 , =
1 2

= , 则选项A,C,D

不正确 ,很明显 = , 则选项B 正确 . 答案 :B

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4.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量 a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
归纳总结向量 λ(μ1a+μ2b)可以用平行四边形法则作出 ,如图 , = (1a+μ2b).

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(

【做一做 4】 在?ABCD 中, = 2a, = 3b,则 等于 ) A.a+b B.a-b C.2a+3b D.2a-3b 解析: = + = 2 a+3b. 答案 :C

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共线向量定理的应用 剖析:共线向量定理可以分为两个定理: 判定定理:如果存在一个实数λ满足b=λa(a≠0),那么a∥b. 性质定理:如果a∥b,a≠0,那么存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (1)判定定理的结论是a∥b,那么用共线向量定理可以证明两个向 量共线.此时证明向量a∥b,只需找到满足a=λb或b=λa的实数λ的值 即可.

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(2)判定定理的结论是 a∥b,则当 =a, =b 时 ,有 O,A,B 三 点共线 ,即用共线向量定理可以证明三点共线.即三点共线问题通常 转化为向量共线问题. (3)判定定理的结论是 a∥b,当 a 和 b 所在的直线分别是直线 m 和 n 时 ,则有直线 m,n 平行或重合 .即用共线向量定理可以证明两条 直线平行 . 例如 :如图 ,已知 △ABC 中 ,D,E 分别是边 AB,AC 上的点 ,并且 AD=xAB,AE=xAC,0<x<1. 求证 :DE∥BC,且 DE=xBC.

证明 :∵AD=xAB,AE=xAC, ∴ = , = . ∴ = ? = ( ? ) = . ∴DE∥BC,且 DE=xBC.

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(4)性质定理的结论是 b=λa,则有|b|=|λ|· |a|,当 =a, =b 时,| | = || ·||, 从而OB=|λ|OA.即用共线向量定理可以证明两 条平行线段间的长度关系. 例如:在平行四边形 OACB 中,BD= 证:BE=
1 . 4 1 , 与BA 相交于 3

E.求

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设 =a, =b,则 =
1 =b+ . 3

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证明 :如图 ,∵向量 与 共线,∴ 设 = .
1 , 3

= + =b+ =b+λ(a-b)=λa+(1-λ)b.

∵向量 与 共线,∴ 设 = ,
即 λa+(1-λ)b=
1 3

+ =

1 a+μb. 3

∵a 与 b 不共线 ,

1 1 = , ∴ 3 解得 = 4.
1- = ,

1 1 ∴ = , ∴ = . 4 4
由此可见 ,证明两条平行线段的长度关系可转化为证明向量共线 .

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题型一 题型二 题型三 题型四

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题型一 化简向量关系式

【例 1】 计算:(1)3(6a+b)-9 +
1 (2) 2

(3 + 2)-

1 + 2

?2

1 2

1 3

; ;

3 + 8

(3)2(5a- 4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 分析 :综合运用实数与向量的运算律解题. 解 :(1)原式=18a+3b- 9a- 3b=9a. (2)原式 =
3 4 1 2

2 +
3 4

3 2

3 ?a? 4

=a+ ? a? =0. (3)原式 =10a-8b+ 2c-3a+ 9b-3c-7a=b-c.

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反思向量的数乘运算类似于代数式的运算,主要是“合并同类 项”“提取公因式”,但这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是 向量的系数.

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【变式训练 1】 计算下列各式: (1)4(a+b)-3(a-b); (2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c);
2 1 2 (3) (a-b) ? (2a+4b)+ (2a+13b). 5 3 15

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解 :(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b . (2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c) =3a-6b+ 3c-2a-b+ 3c=a-7b+ 6c.
2 1 2 (3) (a-b) ? (2 a+4b)+ (2a+13b) 5 3 15

2 2 2 4 4 26 = ? ? ? + + 5 5 3 3 15 15 2 2 4 2 4 26 = - + + - - + 5 3 15 5 3 15
=0· a+0· b=0+0=0.

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题型二 用已知向量表示未知向量

【例 2】 已知?ABCD 中,M,N 分别是 DC,BC 的中点.若 =e1, =e2,试用 e 1,e 2 表示 , .

分析 :由于 MN , 则用e1 与 e2 表示 可得 ; 在△AMN 中 ,AO 是 MN 边上的中线 ,则可用 , 表示 .

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解 :∵M,N 分别是 DC 和 BC 的中点 ,
1 ∴MN 2 .

∵ =e2-e1,∴ = 2 = 2e2-2e 1. 又 AO 是 △AMN 的中线 ,

1 1 1 ∴ = ( + ) = 2 + 1. 2 2 2
反思用已知向量表示未知向量时 ,通常要结合图形的特点 ,把未 知向量放到三角形或平行四边形中 ,适当选择向量的加法、 减法和数 乘运算来求解 .有时可借助于共线向量来解决 (如本题求 ).

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【变式训练 2】 (1)点 C 在线段 AB 上 ,且 = ( ) A. B. C.? D. ?
2 3 3 2 2 3 3 2

3 , 则 等于 5

(2)在?ABCD 中, =m, =n,试用 m,n 表示 和 . (1)解析 :如图 ,∵ = ,
3 5

∴点 C 是 AB 的一个五等分点.


3 ∴ = ? . 2
答案 :D



=

3 . 又向量与 方向相反, 2

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(2)解 : ∵ + =m,① ? =n,②

∴①+②,得 + + ? =m+n, ∴2 = m+n,∴ = 2 (m+n). ①-②,得 ( + ) ? ( ? ) = m-n, ∴2 =m-n,∴ = 2 (m-n).
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题型三 已知向量 a,b,求作向量 ma+nb

【例3】 已知向量a,b,如图,求作向量2a-3b. 分析:分别作出有相同起点的向量2a与3b,利用三角形法则作出 向量2a-3b.

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解:步骤如下 :

(1)作向量 = 2a, = 3b.如图. (2)连接 BA,则 就是所求作的向量. 反思已知 a,b,求作向量 ma+nb 时,先作出向量 ma 与 nb,再借助 三角形法则或平行四边形法则作出 ma+nb.

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【变式训练 3】

已知向量 a 和向量 b,求作向量: (1) ? 2a; (2)2a-b.
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解 :(1)作 = 2 a, =

1 , 连接AB,则 2

=

1 ? 2a.如图 2

1.

图1

图2

(2) 作 = 2a, =b,连接 AB,则 = 2a-b. 如图 2.

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题型四

共线问题

【例 4】 已知非零向量 a,b 不共线. (1)如果 =a+b, = 2a+8b, = 3(a-b),求证:A,B,D 三点共 线; (2)欲使 ka+b 和 a+k b 共线,试确定实数 k 的值. 分析 :对于(1),欲证 A,B,D 三点共线 ,只需证存在实数 λ,使 = 即可;对于 (2),由于 ka+b 与 a+kb 共线 ,根据向量共线定理,存在 实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb),因此借助等式两边 a,b 的系数 ,列方程组可 解得 k 的值 .

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(1)证明 : ∵ =a+b, = + = 2a+8b+3a-3b= 5(a+b)=5 , ∴ , 共线,且有公共点 B,

∴A,B,D 三点共线 . (2)解 :∵ka+b 与 a+kb 共线 , ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb),
即 ka+b=λa+λkb, = , 由于 a 与 b 不共线 ,则 解得k=± 1. 1 = ,

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反思 1.证明三点共线 ,往往要转化为证明过同一点的两条有向 线段所表示的向量共线 ,如本例题(1). 2.已知向量 ma+nb 与 ka+pb(a 与 b 不共线 )共线求参数的值的 步骤 : (1)设 ma+nb=λ(ka+pb); (2)整理 ,得 ma+nb=λka+λpb,故 = , = ;

(3)解方程组得参数的值 ,如本例题 (2).

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【变式训练 4】 设 e1,e2 是两个不共线的向量.若 = 2e1+10e2, = ?2e1+8e 2, = 3( e1-e2),求证:A,B,D 三点共线. 证明 : ∵ = + = ?2e1+8e 2+3(e1-e 2)=e1+5e 2, = 2e1+10e2,∴ = 2 , 即 与 为共线向量. 又 与 有公共点B,∴A,B,D 三点共线.



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