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上海2013届高三理科最新数学试题精选(13份含16区二模)分类汇编2:函数及其应用


上海 2013 届高三理科最新数学试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 2: 函数及其应用
一、选择题 错误!未指定书签。 . (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题)已知函数
?1, x ? 0 ? 2 f ? x ? ? ? 0 , x ? 0 ,设 F ( x ) ? x ? f ( x ) ,则 F ( x ) 是 ? ? 1, x ? 0 ?





A.奇函数,在 ( ? ? , ? ? ) 上单调递减

B.奇函数,在 ( ? ? , ? ? ) 上单调递增

C.偶函数,在 ? ? ? , 0 ? 上递减,在 ? 0, ? ? ? 上递增 D.偶函数,在 ? ? ? , 0 ? 上递增,在 ? 0, ? ? ? 上递减
错误!未指定书签。 . (四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) 已 )

知集合 M ? ?( x , y ) y ? f ( x ) ? ,若对于任意 ( x 1 , y 1 ) ? M ,存在 ( x 2 , y 2 ) ? M ,使 得 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 成立,则称集合 M 是“ ? 集合”. 给出下列 4 个集合: ① M ? ?( x, y ) y ?
? ? 1? ? x?

② M ? ?( x , y ) y ? e ? 2 ?
x

③ M ? ?( x , y ) y ? cos x ? 其中所有“ ? 集合”的序号是 A.②③ .
1 2

④ M ? ?( x , y ) y ? ln x ? ( C.①②④. D.①③④. )

B.③④ .

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . 上 海 市 黄 浦 区 2013 年 高 考 二 模 理 科 数 学 试 题 ) 函 数 (
f ( x)? x ? 1 ( x ? ? 2的反函数是 )
2

( B. y ?
2 x ? 2 ( x ? 3)



A. y ?

2 x ? 2 (1 ? x ? 3)

C. y ? ? 2 x ? 2 (1 ? x ? 3)

D. y ? ? 2 x ? 2 ( x ? 3)

错误! 未指定书签。 . (上海市长宁、 嘉定区 2013 年高考二模数学 (理) 试题 ) (理)已知 a ? 0

且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a ( x ?

x ? b ) 在区间 ( ??,??) 上既是奇函数又是增函数,则
2

函数 g ( x) ? log a | x | ?b 的图象是

错误!未指定书签。 . (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)受全球

金融危机和国家应对金融危机政策的影响,某公司 2012 年一年内每天的利润 Q ( t ) (万元) 与时间 t (天)的关系如图所示,已知该公司 2012 年的每天平均利润为 35 万元,令 C ( t ) (万 元)表示时间段 [0, t ] 内该公司的平均利润,用图像描述 C ( t ) 与 t 之间的函数关系中较准确 的是

错误! 未指定书签。 . 2013 年上海市高三七校联考 ( (理) 若 f ( x ) ? sin x 在区间 ( a, b )( a ? b ) )

上单调递减,则 x ? ( a, b ) 时, A. sin x ? 0 B. co s x ? 0 C. tan x ? 0





D. tan x ? 0 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . 2013 届 浦 东 二 模 卷 理 科 题 ) 已 知 以 4 为 周 期 的 函 数 (
? m 1 ? x 2 , x ? ? ? 1,1 ? x ? ,其中 m ? 0 .若方程 f ( x ) ? 恰有 5 个实数解, f (x) ? ? ?x 3 , x ? ?1, 3 ? ? ? cos 2 ?

则 m 的取值范围为

( A) (

15 8 , ) 3 3

(B) (

15 3

,

7)

?4 8? (C ) ? , ? ?3 3?

(D ) (

4 3

,

7) .

二、填空题 错误!未指定书签。 . (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题) 设函数
f

?x? ?

x x ,将 f

? x ? 向左平移 a

( a ? 0 ) 个单位得到函数 g ? x ? ,将 f

? x ? 向上平移

a ( a ? 0 ) 个单位得到函数 h ? x ? ,若 g ? x ? 的图像恒在 h ? x ? 的图像的上方,则正数 a 的

取值范围为_____________.
错误!未指定书签。 . (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题) 若函数
f ( x ) ? a ( a ? 0, a ? 1) 的反函数图像过点 ( 2, ? 1) ,则 a =____________.
x

错误!未指定书签。(四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) 已知 . )

函 数 y ? f ( x ) 和 函 数 y ? l o g 2 ( x ? 1) 的 图 像 关 于 直 线 x ? y ? 0 对 称 , 则 函 数
y ? f ( x ) 的解析式为_____________.

错误!未指定书签。(四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) 若关 . )

于 x、 y 的二元一次方程组 ? 围 是_____________.

? mx ? y ? 3 ? 0 ? ( 2 m ? 1) x ? y ? 4 ? 0

有唯一一组解,则实数 m 的取值范

错误!未指定书签。(上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷)某商场在节 .

日期间举行促销活动,规定: (1)若所购商品标价不超过 200 元,则不给予优惠; (2)若所购商品标价超过 200 元但不超过 500 元,则超过 200 元的部分给予 9 折优惠; (3)若所购商品标价超过 500 元,其 500 元内(含 500 元)的部分按第(2)条给予优惠,超 过 500 元的部分给予 8 折优惠. 某人来该商场购买一件家用电器共节省 330 元,则该件家电在商场标价为_____.
错误! 未指定书签。 . (上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(理)试卷) y ? f ( x ) 设

为 R 上 的 奇 函 数 , y ? g ( x ) 为 R 上 的 偶 函 数 , 且 g ( x ) ? f ( x ? 1) , g ( 0 ) ? 2 . 则
f ( x ) ? ________.(只需写出一个满足条件的函数解析式即可)

错误!未指定书签。 (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 ) 函数 .

y ?

xa x

x

( 0 ? a ? 1 ) 的图像的大致形状是

(

)

错误!未指定书签。(上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )下列各对函 .

数中表示相同函数的是 A.①③④ B.④⑤ ① f (x) =
x
2

( C.③⑤
x

)

D.①④
2

,g(x)= x ;② f ( x ) = x ,g(x)=

;③ f ( x ) =

x ? 4 ,g(x)=
2

x

x?2?

x?2
?x ?1 , x ? ?1 x ? ?1
?

④ f ( x ) = x , g(x)= x ; ⑤ f ( x ) = | x ? 1 | , g ( x ) ? ?
3 3

?? x ? 1 ,

错误! 未指定书签。 . (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学 (理) 试题 ) 幂函数 y ? x ,

当 ? 取 不同 的正 数时 , 在区间 ?0 ,1 ? 上 它们 的图 像是 一族美 丽 的曲 线 (如 图). 设点
A (1, 0 ), B ( 0 ,1) ,连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y ? x , y ? x 的图像三等分,
? ?

即有 BM ? MN ? NA . 那么,??=_________. y B M

N x A

错误!未指定书签。(上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )已知定义在 .

R 上 的 奇 函 数 f ( x ) , 满 足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ), 且 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 若 函 数
F ( x ) ? f ( x )? m ( m ? 0 ) 在 区 间 ?? 8 ,8 ? 上 有 四 个 不 同 的 零 点 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , 则

O

x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

错误!未指定书签。 (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 ) 设函数 .
? x ? 1 (x ? 0 ) f (x) ? ? ,那么 f ? 2 x ( x ? 0)
2
?1

(1 0 ) ?

________.

错误!未指定书签。(上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题) .

若点 ( 4 , 2 ) 在幂函数 f ( x ) 的图像上,则函数 f ( x ) 的反函数 f

?1

( x ) =________.

错误!未指定书签。(上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题) .

函数 y ?

lo g 2 ( x ? 1) 的定义域为_________.
1 x

错误!未指定书签。(上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题)已知 f ( x ) ? 4 ? .
1

,若存

在区间 [ a , b ] ? ( , ? ? ) ,使得 ? y y ? f ( x ), x ? [ a , b ]? ? [ m a , m b ] ,则实数 m 的取值范
3

围是___________.
错误!未指定书签。 (上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题) 设 a 为常数,函数 .
f ( x ) ? x ? 4 x ? 3 ,若 f ( x ? a ) 在 [0, ? ? ) 上是增函[数,则 a 的取值范围是______.
2

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 上 海 市 黄 浦 区 2013 年 高 考 二 模 理 科 数 学 试 题 ) 函 数 .
f ( x )? x? 1 ? l g ( 4 ? x的定义域为___________. 2 )

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 上 海 市 虹 口 区 2013 年 高 考 二 模 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 .
f (x) ? x ? ( a ? 1) x ? 2 a ? 2
2

2 x ? ax ? 2 a
2

的定义域是使得解析式有意义的 x 的集合,如果对于定

义域内的任意实数 x ,函数值均为正,则实数 a 的取值范围是________________.
错误! 未指定书签。 上海市虹口区 2013 年高考二模数学 . ( (理) 试题 ) 函数 f ( x ) ? ( 2 k ? 1) x ? 1

在 R 上单调递减,则 k 的取值范围是__________.
错误!未指定书签。(上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )如图放置的等腰直角 .

三角形 ABC 薄片(∠ACB=90°,AC=2)沿 x 轴滚动,设顶点 A(x,y)的轨迹方程是 y=f(x), 当 x ? [0, 4 ? 2 2 ]时 y=f(x)= _____________

图 (14 )

错误!未指定书签。(上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )设 f .

? x ? 是定义在 R 上

以 2 为周期的偶函数,已知 x ? (0 ,1) , f ? x ? ? lo g 1 ? 1 ? x ? ,则函数 f ? x ? 在 (1, 2 ) 上的解
2

析式是____________
错误! 未指定书签。 . (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学 (理) 试题 ) 若实数 t 满足 f(t)=-t,

则称 t 是函数 f(x)的一个次不动点. 设函数 f ? x ? ? ln x 与反函数的所有次不动点之和为 m,则 m=______
错误!未指定书签。(上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )已知直线 y ? t 与函数 .
f (x) ? 3
x

及函数 g ( x )

? 4 ?3

x

的图像分别相交于 A 、 B 两点,则 A 、 B 两点之间的距离为

________
错误!未指定书签。 (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 ) (理)函数 .
f ( x) ? ( x ? 1) ? sin x
2

x ?1
2

的最大值和最小值分别为 M , m ,则 M ? m ? ______.

错误!未指定书签。(上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )(理)设定义域 .

为 R 的函数 f ( x) ? ? | x ? 1 |
? ?

? ?

1

( x ? 1)

,若关于 x 的方程

1( x ? 1)

f ( x ) ? bf ( x ) ? c ? 0
2
2 2 2



















x1 , x 2 , x3

,



x1 ? x 2 ? x3 ? ____________.

错误!未指定书签。(上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题) f ( x ) 为 R .

上 的 偶 函 数 , g ( x ) 为 R 上 的 奇 函 数 且 过 ? ? 1, 3 ? , g ( x ) ? f ( x ? 1 ) , 则
f ( 2012 ) ? f ( 2013 ) ? _______________.

错误!未指定书签。 (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题) 已知 .
f ( x ? 1) ? 2 ? 2 ,那么 f
x ?1

( 2 ) 的值是_______.

错误!未指定书签。 (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题) 函数 .
y ? lo g 0 . 5 x 的定义域为_________.

错误!未指定书签。(2013 年上海市高三七校联考(理) 函数 f M ( x ) 的定义域为 R ,且定义 . )
?x ? (x) ? ? 1 ?x ? x?M x? M

如 下 : fM

( 其 中 M 是 实 数 集 R 的 非 空 真 子 集 ), 若

A ? { x | | x ? 1| ? 2}, ? { x | ? 1 ? x ? 1} , 则 函 数 F ( x ) ? B

2 f A ? B (x )? 1 fA (x) ? fB (x) ? 1

的值域为

_________.
错误!未指定书签。(2013 年上海市高三七校联考(理) 已知 f ( x ) ? . )
2
1? x

?2

1? x x

? a rc s in x
?x

2 ?2



最大值和最小值分别是 M 和 m ,则 M ? m ? ____.
错误!未指定书签。 (2013 年上海市高三七校联考(理) 若函数 f ( x ) ? 8 的图像经过点 . )
x

1 ( , a ) ,则 f 3

?1

( a ? 2 ) ? ________.

错误!未指定书签。(2013 届浦东二模卷理科题)如果 M 是函数 y ? f ( x ) 图像上的点, N 是 .

函数 y ? g ( x ) 图像上的点,且 M , N 两点之间的距离 MN 能取到最小值 d ,那么将 d 称

为 函 数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 之 间 的 距 离 . 按 这 个 定 义 , 函 数 f ( x) ?
g (x) ? ? x ? 4 x ? 3 之间的距离是____________.
2

x 和

错误!未指定书签。(2013 届浦东二模卷理科题)函数 f ( x ) ? 1 ? log .

2

x 与 y ? g ( x ) 的图像

关于直线 y ? x 对称,则 g ( 3 ) ? _______.
错误!未指定书签。(2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科)设 f ( x ) 是定义在 R 上的 .

函数,若 f ( 0 ) ?
f (x ?

1 8

,
x




?) f x ?3


x





x?R

,


)


1 0 3

? 2f x )?

f x( ?

? , ,则 f ( 2014 ) =_______________. 4 ) (

错误!未指定书签。 (2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科) 用二分法研究方程 .
x ? 3 x ? 1 ? 0 的近似解 x ? x 0 ,借助计算器经过若干次运算得下表:
3

运算 次数 解的 范围

1
(0, 0 .5)

4
(0 .3 1 2 5, 0 .3 7 5)

5
(0 .3 1 2 5, 0 .3 4 3 7 5)

6
(0 .3 1 2 5, 0 .3 2 8 1 2 5)

若精确到 0 .1 ,至少运算 n 次,则 n ? x 0 的值为_________________.
三、解答题 错误!未指定书签。(上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题) .

本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已 知 a ? 0 且 a ?1 , 函 数
F (x) ? 2 f (x) ? g (x)

f ( x ) ? l o a g x ? 1) (

, g ( x ) ? log

1
a

1? x

, 记

(1)求函数 F ( x ) 的定义域 D 及其零点; (2)若关于 x 的方程 F ( x ) ? m ? 0 在区间 [ 0 , 1) 内仅有一解,求实数 m 的取值范围.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 上 海 市 奉 贤 区 2013 年 高 考 二 模 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 三阶 行列式 .
2x D ? 0 1 0 b 3 5x ? 2 3 x

,元素 b ?b ? R ? 的代数余子式为 H ? x ? , P ? ?x H ? x ? ? 0 ? ,

(1) 求集合 P ;

(2)函数 f ? x ? ? l o g 2 ? a x ? 2 x ? 2? 的定义域为 Q , 若 P ? Q ? ? , 求实数 a 的取值范
2

围;

错误!未指定书签。(上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )(本题满分 14 .

分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? a x ? (k ? 1)a ? x (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 的值; (2)(理)若 f (1) ? 求 m 的值.
3 2

,且 g ( x) ? a 2 x ? a ?2 x ? 2m ? f ( x) 在 [1 , ? ?) 上的最小值为 ? 2 ,

错误!未指定书签。(2013 年上海市高三七校联考(理) 本题共有 3 小题,第(1)小题 4 分, . )

第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ( a ? 0 ) .
2

(1)当 a ? 2 时,解关于 x 的不等式 ? 3 ? f ( x ) ? 5 ;
M (2)对于给定的正数 a ,有一个最大的正数 M ( a ) ,使得在整个区间 [0, ( a )] 上,不等

式 | f ( x ) |? 5 恒成立. 求出 M ( a ) 的解析式;
t (3)函数 y ? f ( x ) 在 [ t, ? 2 ] 的最大值为 0 ,最小值是 ? 4 ,求实数 a 和 t 的值.

错误!未指定书签。(2013 届浦东二模卷理科题)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第 .

(2)小题满分 8 分. 设函数 f ( x ) ? ( x ? a ) | x | ? b (1)当 a ? 2, b ? 3 ,画出函数 f ( x ) 的图像,并求出函数 y ? f ( x ) 的零点; (2)设 b ? ? 2 ,且对任意 x ? [ ? 1,1] , f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

错误!未指定书签。(2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科)本题共有 3 个小题,第(1) .

小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分. 已知 f ( x ) ? x | x ? a | ? b , x ? R . (1)当 a ? 1, b ? 0 时,判断 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 a ? 1, b ? 1 时,若 f ( 2 ) ?
x

5 4

,求 x 的值;

(3)若 b ? 0 ,且对任何 x ? ? 0 ,1 ? 不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:

错误!未指定书签。 . (四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) 本 )

题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 已知函数 f ( x ) ? x ? a .
2

(1)若 F ( x ) ? f ( x ) ? 范围;

2 bx ? 1

是偶函数,在定义域上 F ( x ) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值

(2)当 a ? 1 时,令 ? ( x ) ? f ( f ( x )) ? ? f ( x ) ,问是否存在实数 ? ,使 ? ( x ) 在 ? ? ? ,? 1 ? 上是减函数,在 ? ? 1, 0 ? 上是增函数?如果存在,求出 ? 的值;如果不存在,请说明理由.

错误!未指定书签。 . (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)

(本题

满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 已知下表为函数 f ( x ) ? ax ? cx ? d 部分自变量取值及其对应函数值,为了便于研究,
3

相关函数值取非整数值时,取值精确到 0.01.
x
y

-0.61 0.07

-0.59 0.02

-0.56 -0.03

-0.35 -0.22

0 0

0.26 0.21

0.42 0.20

1.57 -10.04

3.27 -101.63

根据表中数据,研究该函数的一些性质: (1) 判断 f ( x ) 的奇偶性,并证明; (2) 判断 f ( x ) 在 ?0 . 55 , 0 . 6 ? 上是否存在零点,并说明理由; (3) 判断 a 的符号,并证明 f ( x ) 在 ? ? ? ,? 0 . 35 ? 是单调递减函数.

错误!未指定书签。 . (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 )定义域为 D 的函数
f (x) , 如 果 对 于 区 间 I
x1 ? x 2 2 1 2

内 ( I ? D ) 的 任 意 两 个 数 x1 、 x 2 都 有

f(

) ?

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立,则称此函数在区间 I 上是“凸函数”.

(1)判断函数 f ( x ) ? lg x 在 R 上是否是“凸函数”,并证明你的结论; (2)如果函数 f ( x ) ? x ?
2

?

a x

在 [1,

2 ] 上是“凸函数”,求实数 a 的取值范围;

(3)对于区间 [ c ,

d ] 上的“凸函数” f ( x ) ,在 [ c ,

d ] 上任取 x 1 , x 2 , x 3 ,, x n .

k ? ① 证明: 当 n ? 2 ( k ? N )时, f (

x1 ? x 2 ? ? ? x n n

)?

1 n

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] 成

立; ② 请再选一个与①不同的且大于 1 的整数 n , 证明: f (
x1 ? x 2 ? ? ? x n n )? 1 n [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] 也成立.

上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 2:函数及其应用 参考答案 一、选择题 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 二、填空题 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。
a ? 2
1 2

B A D A D B B

错误!未找到引用源。 y ? 2 ? 1 ;
x

错误!未找到引用源。 m ? 错误!未找到引用源。 2000

1 3

;

错误!未找到引用源。 f ( x ) ? 2 sin 错误!未找到引用源。 D 错误!未找到引用源。 B 错误!未找到引用源。 1 错误!未找到引用源。 ? 8 错误!未找到引用源。 3 错误!未找到引用源。 f
?1

?
2

x

(x) ? x ( x ? 0 )
2

错误!未找到引用源。 { x | x ? 2 } 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

? 3, 4 ? ? 2, ? ? ?

? ? 1, 2 ?
1 2

错误!未找到引用源。 ? 7 ? a ? 0 或 a ? 2 ; 错误!未找到引用源。 ( ? ? ,
);

错误!未找到引用源。

? 8 ? ? x ? 2 ? 2 ?0 ? x ? 2 ? ? f ?x ? ? ? 2 ? 8 ? ?x ? 4 ? 2 ? x ? 4 ? 2 ?

?

2

?

(每空 2 分)

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

y ? log

1 2

? x ? 1?

0;
3

错误!未找到引用源。 log 错误!未找到引用源。
2

4;

错误!未找到引用源。 5 错误!未找到引用源。 ? 3 错误!未找到引用源。 3 错误!未找到引用源。 (0 ,1] 错误!未找到引用源。 [1, 错误!未找到引用源。 4 错误!未找到引用源。
2 3 21 13 ]

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 4 错误!未找到引用源。
3

7 2

?1

2014

.
8

错误!未找到引用源。 5.3; 三、解答题 错误!未找到引用源。 解:(1) F ( x ) ? 2 f ( x ) ? g ( x ) ? 2 log a ( x ? 1) ? log
a ?1)

1
a

1? x

(a ? 0 且

?x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 ,所以函数 F ( x ) 的定义域为 ( ? 1, 1) ? ?1 ? x ? 0

令 F ( x ) ? 0 ,则 2 log a ( x ? 1) ? log
2

1
a

1? x

? 0 (*)方程变为
2

log a ( x ? 1) ? log a (1 ? x ) , ( x ? 1) ? 1 ? x ,即 x ? 3 x ? 0
2

解得 x1 ? 0 , x 2 ? ? 3 经检验 x ? ? 3 是(*)的增根,所以方程(*)的解为 x ? 0 所以函数 F ( x ) 的零点为 0 (2) m ? 2 log a ( x ? 1) ? log
1
a

1? x

(0 ? x ? 1 )

m ? log

x
a

2

? 2x ? 1 1? x

? log

a

(1 ? x ?

4 1? x

? 4)

a

m

?1? x ?

4 1? x

? 4

设 1 ? x ? t ? ( 0 , 1] ,则函数 y ? t ?

4 t

在区间 ( 0 , 1] 上是减函数
m

当 t ? 1 时,此时 x ? 1 , y min ? 5 ,所以 a ①若 a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有解; ②若 0 ? a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有解
错误!未找到引用源。解:(1)、 H ? x ? ? ?

?1

2x 1

5x ? 2 x

=2x ? 5x ? 2
2

? 1 ? P ? ?x ? x ? 2? ? 2 ?

(2)、 若 P ? Q ? ? , 则说明在 ? , 2 ? 上至少存在一个 x 值,使不等式 a x ? 2 x ? 2 ? 0 成立, 2
2

?1 ?

? ?

即在 ? , 2 ? 上至少存在一个 x 值,使 a ? ? 2 成立, x x ?2 ? 令u ?
2 x ? 2 x
?
2

?1

?

2

2

, 则只需 a ? u min 即可
1 ?1 1? ? ?2 ? ? ? ? . 2 ? x 2?
1 ?1 ? ? 1?
2

又u ?

2 x

2 x
2

当 x ? ? , 2 ? 时, ? ? , 2 ? , u ? ? ? 4 , ? , u min ? ? 4 从而 u min ? ? 4 x ?2 2? ?2 ? ? ? 由⑴知, u m in ? ? 4, ? a ? ? 4 .
错误!未找到引用源。 (本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分)

?1

?

解:(1)由题意,对任意 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) , 即a
?x

? ( k ? 1) a ? ? a ? ( k ? 1) a
x x x ?x

?x

,
x ?x

即 (k ? 1)(a ? a

) ? (a ? a
x

?x

) ? 0 , ( k ? 2)(a ? a

) ? 0,

因为 x 为任意实数,所以 k ? 2 解法二:因为 f (x) 是定义域为 R 的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 1 ? (k ? 1) ? 0 , k ? 2 .

当 k ? 2 时, f ( x) ? a ? a
x

?x

, f (? x) ? a

?x

? a ? ? f ( x ) , f (x ) 是奇函数.
x

所以 k 的值为 2 (2)由(1) f ( x) ? a ? a
x ?x

,因为 f (1) ?

3 2

,所以 a ?

1 a

?

3 2

,

解得 a ? 2 . 故 f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

, g ( x) ? 2

2x

?2

?2 x

? 2 m( 2 ? 2
x

?x

),
?3 ? , ? ?? , ?2 ?

令 t ? 2 x ? 2 ? x ,则 2 2 x ? 2 ?2 x ? t 2 ? 2 ,由 x ? [1 , ? ?) ,得 t ? ?
?3

所以 g ( x) ? h(t ) ? t ? 2mt ? 2 ? (t ? m) ? 2 ? m , t ? ?
2 2 2

? , ? ?? ?2 ?

当m ?

3 2

时, h(t ) 在 ?
25 12

?3

9 ? ?3? , ? ? ? 上是增函数,则 h? ? ? ?2 , ? 3m ? 2 ? ?2 , 4 ?2 ? ?2?

解得 m ? 当m ?
3 2

(舍去)

时,则 f (m) ? ?2 , 2 ? m 2 ? ?2 ,解得 m ? 2 ,或 m ? ?2 (舍去).

综上, m 的值是 2
错误!未找到引用源。解:(1) a ? 2 时, ? 3 ? f ( x ) ? 5 ?

?

x 2 ? 4 x ? 5 ? 0? ① x 2 ? 4 x ? 3 ? 0? ②

由①得, ? 1 ? x ? 5 ,由②得, x ? 1 或 x ? 3 ,
1) 5) ∴ ( ? 1, ? (3, 为所求

(2)∵ a ? 0 ,当 ? a 2 ? ? 5 ,即 a ? 5 时, M ( a ) ? a ? a 2 ? 5 当 ? 5 ? ? a 2 ? 0 ,即 0 ? a ? 5 时, M ( a ) ? a ? a 2 ? 5 ∴ M (a ) ? ?
?a ? ?a ? a2 ? 5 a ?5
2

a?

5 5

0?a?

(3) f ( x ) ? ( x ? a ) 2 ? a 2 ( t ? x ? t ? 2 ) ,显然 f (0 ) ? f ( 2 a ) ? 0 ①若 t ? 0 ,则 a ? t ? 1 ,且 [ f ( x )] m in ? f ( a ) ? ? 4 ,或 [ f ( x )] m in ? f ( 2 ) ? ? 4 , 当 f ( a ) ? ? a 2 ? ? 4 时, a ? ? 2 , a ? ? 2 不合题意,舍去 当 f ( 2 ) ? 2 2 ? 2 a ? 2 ? ? 4 时, a ? 2 ②若 t ? 2 ? 2 a ,则 a ? t ? 1 ,且 [ f ( x )] m in ? f ( a ) ? ? 4 ,或 [ f ( x )] m in ? f ( 2 a ? 2 ) ? ? 4 ,

当 f ( a ) ? ? a 2 ? ? 4 时, a ? ? 2 ,若 a ? 2 , t ? 2 ,符合题意; 若 a ? ? 2 ,则与题设矛盾,不合题意,舍去 当 f ( 2 a ? 2 ) ? ( 2 a ? 2 ) 2 ? 2 a ( 2 a ? 2 ) ? ? 4 时, a ? 2 , t ? 2 综上所述,

?ta ?? 02 和 ?ta ?? 22 符合题意
?x ? 2x ? 3 ?
2

错误!未找到引用源。解:(1) f ( x ) ? ?

x ? 0 x ? 0

?2x ? x ? 3 ?
2

,

画图正确 当 x ? 0 时,由 f ( x ) ? 0 ,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,此时无实根;
2

当 x ? 0 时,由 f ( x ) ? 0 ,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x ? ? 1 , x ? 3( 舍 ).
2

所以函数的零点为 x ? ? 1 (2)由 f ? x ? <0 得, ( x ? a ) | x |? 2 . 当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式恒成立 当 0 ? x ? 1 时, a ? x ?
2 x

.令 g ( x ) ? x ?

2 x

,则 g ( x ) 在 0 ? x ? 1 上单调递增,

∴ a ? g m ax ( x ) ? g (1) ? ? 1 ; 当 ? 1 ? x ? 0 时, a ? x ?
2 x

,令 h ( x ) ? x ?

2 x

,

则 h ( x ) 在[ - 2 , 0 ) 上单调递减,所以 h ( x ) 在 ? 1 ? x ? 0 上单调递减. ∴
a ? h m ax ( x ) ? h ( ? 1) ? ? 3

综合 a ? ? 1
错误!未找到引用源。

[解](理)

(1)当 a ? 1, b ? 0 时, f ( x ) ? x | x ? 1 | 既不是奇函数也不是偶函数 ∵ f ( ? 1) ? ? 2, f (1) ? 0 ,∴ f ( ? 1) ? f (1), f ( ? 1) ? ? f (1) 所以 f ( x ) 既不是奇函数,也不是偶函数 (2)当 a ? 1, b ? 1 时, f ( x ) ? x | x ? 1 | ? 1 , 由 f (2 ) ?
x

5 4
x

得 2 | 2 ? 1 | ?1 ?
x x

5 4
x

? ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 即? x 2 或? x 2 1 1 x x ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ? 4 ? 4

解得 2 ?
x

1? 2

2

或2 ?
x

1?

2 1 x (舍),或2 ? 2 2

所以 x ? lo g 2

1? 2

2

? lo g 2 (1 ?

2 ) ? 1 或 x ? ?1

(3)当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式 f ( x ) ? 0 恒成立, 故只需考虑 x ? ? 0 ,1 ? ,此时原不等式变为 | x ? a |? 即x ? 故(x ?
b x b x ? a ? x? b x ) m ax ? a ? ( x ? b x b x ) m in , x ? ? 0 ,1 ? b x ) m ax ? g (1) ? 1 ? b ; ?b x

又函数 g ( x ) ? x ?

在 ? 0 ,1 ? 上单调递增,所以 ( x ?
b x , x ? ? 0 ,1 ? b x

对于函数 h ( x ) ? x ?

①当 b ? ? 1 时,在 ? 0 ,1 ? 上 h ( x ) 单调递减, ( x ? 所以,此时 a 的取值范围是 (1 ? b ,1 ? b ) ②当 ? 1 ? b ? 0 ,在 ? 0 ,1 ? 上, h ( x ) ? x ? 当x ?
? b 时, ( x ?
?1 ? b ? 2 ?

) m in ? h (1) ? 1 ? b ,又 1 ? b ? 1 ? b ,

b x

? 2

?b ,

b x

) m in ? 2

? b ,此时要使 a 存在,

必须有 ?

?b

? ?1 ? b ? 0 ?

即 ? 1 ? b ? 2 2 ? 3 ,此时 a 的取值范围是 (1 ? b , 2 ? b )

综上,当 b ? ? 1 时, a 的取值范围是 (1 ? b ,1 ? b ) ; 当 ? 1 ? b ? 2 2 ? 3 时, a 的取值范围是 (1 ? b , 2 ? b ) ; 当 2 2 ? 3 ? b ? 0 时, a 的取值范围是 ?
错误!未找到引用源。

本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .
2 bx ? 1

2 解:(1) F ( x ) ? x ? a ?

是偶函数,? b ? 0

2 即 F (x) ? x ? a ? 2 , x ? R

2 2 又 F ( x ) ? ax 恒成立即 x ? a ? 2 ? ax ? a ( x ? 1) ? x ? 2

当 x ? 1时? a ? R

当 x ? 1 时, a ?

x

2

? 2

x ?1 x
2

? ( x ? 1) ?

3 x ?1 3 x ?1

? 2 ,a ? 2

3 ? 2

当 x ? 1 时, a ?

? 2

x ?1

? ( x ? 1) ?

? 2,

a ? ?2 3 ? 2

综上: ? 2 3 ? 2 ? a ? 2 3 ? 2 (2) ? ( x ) ? f ( f ( x )) ? ? f ( x ) ? x ? ( 2 ? ? ) x ? ( 2 ? ? )
4 2

? ? ( x ) 是偶函数,要使 ? ( x ) 在 ? ? ? ,? 1 ? 上是减函数在 ? ? 1, 0 ? 上是增函数,即 ? ( x ) 只

要满足在区间 ?1, ?? ? 上是增函数在 ? 0 ,1 ? 上是减函数.
2 令 t ? x ,当 x ? ? 0 ,1 ? 时 t ? ? 0 ,1 ? ; x ? ?1, ?? ? 时 t ? ?1, ?? ? ,由于 x ? ? 0 , ?? ? 时,

t ? x

2

是 增 函 数 记 ? ( x ) ? H ( t ) ? t ? ( 2 ? ? ) t ? ( 2 ? ? ) , 故 ? ( x ) 与 H (t ) 在 区 间
2

? 0 , ?? ? 上有相同的增减性,当二次函数 H ( t )

? t

2

? ( 2 ? ? ) t ? ( 2 ? ? ) 在区间 ?1, ??

?

上是增函数在 ? 0 ,1 ? 上是减函数,其对称轴方程为 t ? 1 ? ?
错误!未找到引用源。

2?? 2

?1? ? ? 4.

? x 2 ? x1 x 2 ? x1 ?
2 2

c a

? 0 . 3675 ? 0 . 36 ? 0

错误!未找到引用源。

解:(1)设 x 1 , x 2 是 R 上的任意两个数,则
x1 ? x 2 2 ) ? lg x 1 ? lg x 2 ? 2 lg x1 ? x 2 2 ? lg 4 x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
2

?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f (

? lg 1 ? 0

? f(

x1 ? x 2 2

) ?

1 2

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] .? 函数 f ( x ) ? lg x 在 R 上是 “凸函数”

?

(2)对于 [1,

2 ] 上的任意两个数 x 1 , x 2 ,均有 f (

x1 ? x 2 2

) ?

1 2

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立,即

(

x1 ? x 2 2

) ?
2

a x1 ? x 2 2

?

1 2

[( x 1 ?
2

a x1

) ? (x2 ?
2

a x2

)]

,







( x1 ? x 2 ) a ? ?
2

1 2

( x1 ? x 2 ) x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
2

若 x 1 ? x 2 , a 可以取任意值. 若 x 1 ? x 2 ,得 a ? ? 综上所述得 a ? ? 8 (3)①当 k ? 1 时由已知得 f (
x1 ? x 2 2 ) ? 1 2
?

1 2

x 1 x 2 ( x 1 ? x 2 ) ,? ? 8 ? ?

1 2

x 1 x 2 ( x 1 ? x 2 ) ? ? 1 ,? a ? ? 8 .

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立.







k ? m

(m ? N )



,













f(

x1 ? x 2 ? ? ? x 2k 2
m ?1

)?

1 2
m

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2 m )] 成立.

那么,由 c ?

x1 ? x 2 ? ? ? x 2m 2
m

? d ,c ?

x 2 m ?1 ? x 2 m ? 2 ? ? ? x 2 m ? 2 m 2
m

?d

得f(

x 1 ? x 2 ? ? ? x 2 m ?1 2
m ?1

x 2 m ?1 ? x 2 m ? 2 ? ? ? x 2 m ? 2 m 1 x1 ? x 2 ? ? ? x 2m ) ? f{ [ ? ]} m m 2 2 2 x 2 m ?1 ? x 2 m ? 2 ? ? ? x 2 m ? 2 m 2
m

?

1 2

[f(

x1 ? x 2 ? ? ? x 2 m 2
m

)? f(

)]

? ?

1

{ 1

1
m

2 2 2
m ?1

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2 m )] ?

1 2
m

[ f ( x 2 m ? 1 ) ? f ( x 2 m ? 2 ) ? ? ? f ( x 2 m ? 1 )]}

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2 m ? 1 )] .

即 k ? m ? 1 时,不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证 n ? 3 ② 比 如 证 明 不 等 式 成 立
c ? x1 ? d , c ? x 2 ? d , c ? x 3 ? d , c ? x 4 ? d ,

.







有f(

x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 4

)?

1 4

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ? f ( x 4 )] 成立.
1 3

? c ? x1 ? d , c ? x 2 ? d , c ? x 3 ? d , c ?

( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? d ,

x1 ? x 2 ? x 3
?

f(
1 4 x1 ? x 2 ? x 3 3

x1 ? x 2 ? x 3 3

)? f(

3

? x1 ? x 2 ? x 3 ) 4

?

[f(

) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 4 )] ,

从而得 f (

x1 ? x 2 ? x 3 3

)?

1 3

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 )]



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