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江苏省南京市金陵中学河西分校2014届高三第四次模拟考试数学试题 Word版含答案


一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上) 1.函数 y ? 3 cos( 2 x ?

?
4

) 的最小正周期为

. T=

2? =? 2
.

2.已知复数 z 满足 ( z ? 2)i ? 1 ? i( i 为虚数单位) , 则 z 的模为 3.抛物线 y ?

10

Read a S ?0 I ?1 While I≤3 S ?S+a a ? a×2 I ?I+1 End While Print S
第5题

1 2 x 的准线方程是 4



.y=-1 ▲ .{1,2,3}

4.集合 A ? {3, 2a }, B ? {a, b}, 若A

B ? {2}, 则A B ?

5.根据如图所示的伪代码,当输入 a 的值为 3 时,最后输出的 S 的值 为 ▲ .21

6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了该运动员在 6 场比赛中 的得分,用茎叶图表示如图所示,则该组数据的 方差为 .5 7.某单位从甲、乙、丙、丁 4 名应聘者中招聘 2 人,如果这 4 名应聘者被录用的机 5 则甲、乙两人中至少有 1 人被录用的概率是 . 6

会均等,

? x ? 0, ? 8.已知点 P (x,y) 满足条件 ? y ? x, (k为常数), 若z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k ? ?2 x ? y ? k ? 0 ?
BE ? 1 , 则 AB 的长为 9.在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AC·
10.已知正四面体的棱长为 2 ,则它的外接球的表面积的值为 ▲ .3 ?

.-6

.

1 2

?x 11.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? 2 , 则不等式 f ? x ? ? ?

1 的解集是 2

__________. ? ??, ?1?
x2 y 2 12. 如图, 在平面直角坐标系 x O y 中, 点 A 为椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b 的左顶点, B、 C 在椭圆 E 上, 若四边形 OABC 为平行四边形, 且∠OAB=30°,

y B A O
(第 12 题)

C x

则椭圆 E 的离心率等于





2 2 3

13 . 已 知 实 数 x, y 满 足 x ? x ? 1 ? y ? 3 ? y , 则 x ? y 的 最 大 值 为 ▲ .4

14.数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? pan ? 2n n ? N* ,其中 p 为常数.若实数 p 使得数列 ?an ? 为等差数列或等比 数列,数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,则满足 sn ? 2014 的最小正整数 n的值为 ▲ .10

?

?

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 14 分) 如图所示,已知 ? 的终边所在直线上的一点 P 的坐标为 (?3, 4) , ? 的终边在第一象限且与单位圆的交 点 Q 的纵坐标为
2 10

.

P

?

y

⑴求 tan(2? ? ? ) 的值; ⑵若
?
2

?? ?? ,0 ? ? ?

?
2

,求 ? ? ? .
4 3
2 10
O

?

?

Q ?
x

解:⑴由三角函数的定义知 tan ? ? ? ∴ tan 2? ?
2 ? (? 4 3) 2 4 1 ? ( 3)

?

24 7

.又由三角函数线知 sin ? ?

,

图(15)

16. (本题满分 14 分)
如图, ABCD 为矩形,CF⊥平面 ABCD,DE⊥平面 ABCD, AB=4a,BC= CF=2a, P 为 AB 的中点. (1)求证:平面 PCF⊥平面 PDE; (2)求四面体 PCEF 的体积. 【证明】 (1)因为 ABCD 为矩形,AB =2BC, P 为 AB 的中点, 所以三角形 PBC 为等腰直角三角形, ∠ BPC=45°. 同理可证∠ APD=45°. 所以∠ DPC=90°,即 PC⊥PD. ??????????3 分 A D P B C E F

??????????2 分

又 DE⊥平面 ABC D,PC 在平面 ABCD 内,所以 PC⊥DE. ?????????4 分 因为 DE∩ PD=D ,所以 PC ⊥PDE . ??????????5 分

又因为 PC 在平面 PCF 内,所以平面 PCF⊥平面 PDE. ??????????7 分

17.(本题满分 14 分)已知直线 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点,且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : mx ? ny ? 1 .试证明当点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动时,直线 l 与圆 O 恒 相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围. 解: (1)由 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k) y ? (3 ?12 k) ? 0( k ? R) , 得 ( x ? 2 y ? 3) ? k (4 x ? 3 y ? 12) ? 0 ,则由 ?

? x ? 2y ?3 ? 0 , 解得 F(3,0)????? 2 分 ?4 x ? 3 y ?12 ? 0
? c?3 ?a ? 5 ? ? 则 ? a ? c ? 8 ,解得 ?b ? 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?c ? 3 ? ?

x2 y 2 设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ????? 6 分 25 16 . m2 n 2 ? ? m2 ? n2 ,????? 8 分 (2)因为点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动,所以 1 ? 25 16 1 从而圆心 O 到直线 l : mx ? ny ? 1 的距离 d ? ?1? r . 2 m ? n2 所以直线 l 与圆 O 恒相交, ????? 10 分
又直线 l 被圆 O 截得的弦长为 L ? 2 r ? d ? 2 1 ?
2 2

1 1 ? 2 1? ??? 12 分 2 9 2 m ?n m ? 16 25
2

9 2 15 4 6 m ? 16 ? 25 ,则 L ? [ , ], 25 2 5 15 4 6 , ] ????? 14 分 即直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围是 L ? [ 2 5
由于 0 ? m ? 25 ,所以 16 ?
2

18.(本题满分 16 分) 如图,直角三角形 ABC 中,∠B= 90 ,AB=1,BC= 3 .点 M,N 分别在边 AB 和 AC 上(M 点和 B 点不重合),将△AMN 沿 MN 翻折,△AMN 变为△ A? MN,使顶点 A? 落 在边 BC 上( A? 点和 B 点不重合).设∠AMN= ? . A N

????
M ??

(1) 用 ? 表示线段 AM 的长度,并写出 ? 的取值范围; (2) 求线段 A?N 长度的最小值. 解: (1)设 MA ? MA? ? x ,则 MB ? 1 ? x .????2 分 在 Rt△MB A? 中, cos(180 ? 2?) ? ∴ MA ? x ?

1? x ,????4 分 x

1 1 .????5 分 ? 1 ? cos2? 2sin 2 ? ∵点 M 在线段 AB 上,M 点和 B 点不重合, A? 点和 B 点不重合,∴ 45 ? ? ? 90 . ?7 分

2 2 19.设函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 ), g ( x) ? b ln x .

(1) 若函数 y ? f ( x) 图象上的点到直线 x ? y ? 3 ? 0 距离的最小值为 2 2 ,求 a 的值; (2) 关于 x 的不等式 ( x ?1) ? f ( x) 的解集中的整数恰有 3 个,求实数 a 的取值范围;
2

(3) 对于函数 f ( x ) 与 g ( x) 定义域上的任意实数 x , 若存在常数 k , m , 使得 f ( x) ? kx ? m 和 g ( x) ? kx ? m 都成立,则称直线 y ? kx ? m 为函数 f ( x ) 与 g ( x) 的“分界线” .设 a ?

2 ,b ? e ,试探究 f ( x ) 与 2

g ( x) 是否存在 “分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)因为 f ( x) ? a x ,所以 f '( x) ? 2a x ,令 f '( x) ? 2a x ? 1
2 2 2 2

1 1 ,此时 y ? , 2 2a 4a 2 1 1 则点 ( 2 , 2 ) 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离为 2 2 , 2a 4a
得: x ?

????2 分

1 1 ? 2 ?3 2 7 2a 4a 即2 2 ? ,解之得 a ? . 14 2

????4 分

(3)设

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
所以当 0 ? x ? 因此 x ?

1 2 e x 2 ? e ( x ? e )( x ? e ) x ? e ln x ,则 F ' ( x) ? x ? ? . ? 2 x x x

e 时, F ' ( x) ? 0 ;当 x ? e 时, F ' ( x) ? 0 .

e 时, F ( x) 取得最小值 0 ,
????12 分

e e 处有公共点 ( e , ) . 2 e 设 f ( x ) 与 g ( x) 存在 “分界线”,方程为 y ? ? k ( x ? e ) , 2
则 f ( x ) 与 g ( x) 的图象在 x ?

小题满分 16 分)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2 ,公比为 q ( q 为正整数) ,且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的 等差中项;数列 ?bn ? 满足 2n ? (t ? bn ) n ?
2

20. (本

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

3 bn ? 0 ( t ? R, n ? N * ). 2

(2)试确定 t 的值,使得数列 ?bn ? 为等差数列; (3)当 ?bn ? 为等差数列时,对每个正整数 k ,在 ak 与 ak ?1 之间插入 bk 个 2,得到一个新数列 ?cn ? . 设 Tn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m . 20 解: (1) an ? 2 n (2) 2n ? (t ? bn )n ?
2

?????????????????????4 分

3 bn ? 0 2 2n 2 ? tn 得 bn ? ,所以 b1 ? 2t ? 4, b2 ? 16 ? 4t , b3 ? 12 ? 2t , 3 n? 2 则由 b1 ? b3 ? 2b2 ,得 t ? 3 ????? ???????????????7 分
当 t ? 3 时, bn ? 2n ,由 bn ? bn?1 ? 2 ,所以数列 ?bn ? 为等差数列???9 分 当 m ? 3 时,若后添入的数 2 ? cm?1 ,则一定不符合题意,从而 cm?1 必是数列 (3)因为 c1 ? c2 ? c3 ? 2 ,可得 m ? 1 不合题意, m ? 2 合题意????11 分

?an ?中的一项 ak ?1 ,则(2+2 2 +????+2 k )+( b1 ? b2 ? ???? bn )= 2 ? 2 k ?1
即2
k ?1

? k 2 ? k ? 2 ? 0 ????????????????????????13 分
k ?1

记 f (k ) ? 2
'

?k2 ?k ? 2
k
2 k ?1

则 f (k ) ? 2(ln 2)2 ? 1 ? 2k ,1+2+2 +????+2

2k ? 1 (k ? 3) , = 2 ?1

k 2 k ?1 所以当 k ? 3 时, 2 =1+2+2 + ????+2 +1 >1+2 k ,又 2 ln 2 ? ln 4 ? 1,

f ' (k ) ? 0, 故f (k )在( 3, ? ?)递增 .
则由 [ f (3) ? 6 ? 0知f (k ) ? 0在[3,??)无解,即 m ? 3都不合题意????15 分 综上可知,满足题意的正整数仅有 m ? 2 .????????????????16 分


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