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北京市十一学校2010届12月月考数学试题(文科).


北京市十一学校 2010 届高三 12 月月考数学试题(文科)
2009.12.7 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 有一项是符合要求的. 1.函数 f ( x ) = lg A. (1, 4)

8.定义 max ( a, b ) = ?

? a, (a ≥ b) 2 , f ( x ) = max ( x ? 1 , ? x + 6 x ? 5 ) 。若 f ( x ) = a 有四个 ?b, a < b
) C. 3<a<4 D.a<4

不同的实数解,则实数 a 的取值范围是( A.0<a<4 B.0<a< 3

1? x 的定义域为 x?4 B. [1, 4)

( C. ( ?∞, U (4, ∞) 1) +



填空题: 小题, 把答案填在题中横线上. 二. 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上.

D.(?∞, U (4, ∞ ) 1] + ( ) 9.在一椭圆中,以焦点 F1 , F2 为直径两端点的圆,恰好经过短轴的两顶点,则此椭圆的离 心率 e 等于

2.直线 3 x + y + 1 = 0 的倾斜角是 A.

π 6

B.

π 3

C.

5π 6
=( )

D.

2π 3

3. 若 θ ∈ (0, π ) ,且 sin 2θ A.

=?

24 , 25

则 cos θ

? sin θ
7 5

1 5

B. ?

1 5

C.

D.-

7 5
( )

? x ? y ≥ ?1 ? 10.已知点 A(4,1) 和坐标原点 O,若点 B ( x, y ) 满足 ? x + y ≥ 1 , ?3 x ? y ≤ 3 ? uuu uuu r r 则 OA ? OB 的最大值是 ;
11.方程 2 x 2 + ky 2 = 1 的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是

4.已知直线 l1 : (a + 1) x + y ? 2 = 0 与直线 l 2 : ax + (2a + 2) y + 1 = 0 互相垂直,则实数 a 的值为 A.-1 或 2 B.-1 或-2 C.1 或 2 D.1 或-2

12.设函数 f ( x ) = g ( x ) + 5 x 2 ,曲线 y = g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y = 2 x + 1 ,则 曲线 y = f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 ;

5.圆 x + y ? 4 x ? 4 y + 7 = 0 上的动点 P 到直线 x + y = 0 的最小距离为
2 2



) 13.若不等式 | x ? m |< 1 成立的充分不必要条件是 ) 是 .

A.1

B. 2 2 ? 1

C.

2

D. 2 2 ( D. 1 + n + ln n

1 6.在数列 {an } 中, a1 = 2 , an +1 = an + ln(1 + ) ,则 an = n A. 2 + ln n B. 2 + ( n ? 1) ln n C. 2 + n ln n
7.设椭圆

1 1 < x < ,则实数 m 的取值范围 3 2

x2 y2 1 + 2 = 1(a > b > 0) 的 离 心 率 为 e = , 右 焦 点 为 F (c, 0) 关 于 x 的 方 程 2 a b 2 2 ax + bx ? c = 0 的两个实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P ( x1 , x2 ) ( )
A. 必在圆 x 2 + y 2 = 2 内 C. 必在圆 x 2 + y 2 = 2 外 B. 必在圆 x 2 + y 2 = 2 上 D. 以上三种情形都有可能

14、在 R 上定义运算: x ? y = x (1 ? y ) ,若不等式 ( x ? y ) ? ( x + y ) < 1 对一切实数 x 恒成 立,则实数 y 的取值范围是 .

1

北京市十一学校 2010 届高三 12 月月考数学试题(文科)
一.请将选择题的正确答案填在下列的表格内(每小题 5 分,共 40 分). 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

16. (本小题满分 13 分) 已知 f ( x ) = a ? b ? 1 , 其中向量 a = (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间;

r r

r

(

r 3 sin 2 x, cos x , = (1, 2 cos x ) b

)

(Ⅱ)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c , f ( A) = 2 , a = 求边长 c 的值。

7 ,b = 3 ,

二.请将填空题的正确答案填在下列题号后的横线上(每小题 5 分,共 30 分). 学号 9. 12. ;10. ;13. ; 11. ;14. ; ;

第 ΙΙ 卷(解答题 共 80 分) 解答题: 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三. 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) x2 已知函数 f ( x ) = 且方程 f ( x ) ? x + 12 = 0 有两个实根为 x1 = 3, x2 = 4. ( a , b 为常数) ax + b (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; ( k + 1) x ? k (Ⅱ)设 k > 1 解关于 x 的不等式: f ( x ) < . 2?x 姓名 学校 班级

2

17.(本小题满分 13 分) 过点 P(1,4)作直线 l ,直线 l 与 x,y 的正半轴分别交于 A,B 两点,O 为原点, (Ⅰ) ?ABO 的面积为 s ,求 s 的最小值并求此时直线 l 的方程; (Ⅱ)当 PA ? PB 取最小时,求直线 l 的方程

18. (本小题满分 14 分) 已知方程 x + y ? 2mx ? 4 y + 5m = 0 的曲线是圆 C
2 2

(Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m = ?2 时,求圆 C 截直线 l : 2 x ? y + 1 = 0 所得弦长; (III) 若圆 C 与直线 2 x ? y + 1 = 0 相交于 M , N 两点,且以 MN 为直径的圆过坐标原点 O, 求 m 的值。

3

19.(本小题满分 14 分)

20.(本小题满分 14 分)
n ?1

?3? 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = 3 ? ? ? ?2? an +1 bn = (n ∈ N* ) . log 3 an +1
2

?1

(n ∈ N ) ,数列 {bn } 满足:
?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;

已知函数 f ( x ) = ax + bx + cx + a 的单调递减区间是 (1,2 ) ,且满足 f (0 ) = 1 .
3 2 2

(Ⅱ)对任意 m ∈ ( 0, 2] , 关于 x 的不等式 f ( x ) < 上有解,求实数 t 的取值范围.

1 3 m ? m ln m ? mt + 3 在 x ∈ [2,+∞ ) 2

学号

(Ⅰ)试求 {an } 的通项公式,并说明 {an } 是否为等比数列; (Ⅱ)求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn ; bn ? ?

(III) 求 bn 的最小值.

学校

班级

姓名

4

参考答案: 一.ADDB 二. 9、

BAAC 10. 0,2) (0,2) 11、 11; 11、 ; 11 12、 12; 13、? ?

2 , 2

? 1 4? , ? 2 3? ?

14、? ?

? 1 3? , ? ? 2 2?

三.15.解(Ⅰ)将 x1 = 3, x2 = 4 分别代入方程

x2 ? x + 12 = 0, 得 ax + b

由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA 7=3+c2―3c 即 c2 ―3c―4=0 …………10 分 (c-4)(c+1)=0 …… 11 分 ∴c=4 或 c=―1 (不合题意,舍去) …………12 分 ∴c=4 …………13 分 17.解:(Ⅰ)依题意可设直线 l 的方程为:

9 ? ? 3a + b = ?9, ?a = ?1 ? 解 得 ? ? ? b = 2, ? 16 = ? 8, ? 4a + b ?
x2 所以 f ( x ) = ( x ≠ 2). ……6 分 2?x x 2 ? ( k + 1) x + k x2 ( k + 1) x ? k (Ⅱ)不等式即为 < 0, < , 可化为 2? x 2?x 2?x


x y + = 1 (a>0 , b>0 ) a b 1 4 则 A(a , 0 ), B(0,b ), 直线 L 过点 P(1,4), ∴ + = 1 , …………2 分 a b

又 a>0 , b>0 ∴

1 4 4 4 + =1≥ 2 = ,∴ ab ≥ 4, ab ≥ 16 a b ab ab
∴ S?ABO = 1 1 1 OA OB = × ab ≥ × 16 = 8 ………………4 分 2 2 2

( x ? 2)( x ? 1) ( x ? k ) > 0.

①当 1 < k < 2 时,解集为 (1, k ) U (2, +∞ ); ②当 k = 2 时,不等式为 ( x ? 2) 2 ( x ? 1) > 0, 解集为 x ∈ (1, 2) U (2, +∞ ); ③当 k > 2 时,解集为 x ∈ (1, 2) U ( k , +∞ ). …………12 分

1 4 1 = = , 即a = 2, b=8时 取等号, S 的最小值为 8, a b 2 x y 此时直线方程为: + = 1 ,即:4x + y - 8=0…………………6 分 2 8
当且仅当 法二:①依题意可设直线 l 的方程为:y-4 = k ( x -1 ) ( k<0 ) 令 x = 0 , 则 y = 4 ? k , B (0, 4 ? k ) ;令 y = 0 , 则 x = ?

r r 16.解:(Ⅰ)f (x)= a · b -1= 3 sin2x+2cos2x-1 …………1 分 = 3 sin2x+cos2x …………2 分
=2sin(2x+ 由 2kπ-

π

4 4 +1 ,A ( ? +1, 0)…2 分 k k

π
2

6



…………4 分

≤2x+

π
6

≤2kπ+

π
2

得 kπ ?

π
3

≤x ≤kπ+

π
6

S=

1 4 1 16 (4-k)( ? +1)= (? - k + 8 )≥8 ,…………4 分 2 k 2 k

当且仅当-16/k = -k 时,即 k = -4 时取等号, S 的最小值为 8 , 此时直线方程为:y-4 = -4( x -1 ),即:4x + y - 8=0…………6 分

∴f (x)的递增区间为 ? kπ ? (Ⅱ)f (A)=2sin(2A+

? ?

π
3

, kπ +

π?
6? ?

(k∈z) …………6 分

π
6

)=2∴sin(2A+

π
6

)=1

………7 分

Q0< A<π


(Ⅱ)由(Ⅰ) A( ?

π

6

< 2A +

π π
6 2

<

∴2A+ ∴A=

π π
6 6

13π 6

4 + 1, 0), B (0, 4 ? k ) , P (1, 4) k uuu uuu r r PA PB = ? PA PB …………8 分



?4 ? ? 1 ? = ? ? + 4k ? = 4 ? + ( ? k ) ? …………10 分 ?k ? ? ?k ?
…………………………………9 分

≥8
5

1 ? ( ? k ) = 8 ……………11 分 ?k

当且仅当

1 = ? k , k > 0 ,即 k = ?1 时, PA PB 取到最小值。 ?k

2 ?2? ?2? ?2? ?2? ? Tn = 1 ? ? ? + 2 ? ? ? + 3 ? ? ? + L + n ? ? ? 3 ?3? ?3? ?3? ?3?
2 3 n

2

3

4

n +1

此时直线方程为 x ? y + 5 = 0 ………………13 分 法二:直线的参数方程为

? x = 4 + t cos a ? ? y = 1 + t sin a

t∈R

其中α ∈ ,π)为直线l的倾斜角, ( 2 1 4 , tB = ? , sin a cos a

π

则A,B两点对应的t A = ?

1 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 两式相减: ? Tn = ? ? + ? ? + ? ? + L + ? ? ? n ? ? 3 ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? n 2? ?2? ? 1? ? ? ? ? n n +1 n 3? ?3? ? ?2? ? ? = 2 ? 2? 2 ? ? n? 2 ? = ∴Tn = 6 ? 2 ( n + 3) ? ? -----------10 分 ? ? ? ? 2 ?3? ?3? ?3? 1? 3 1?3? (3)由(2)知: bn = ? ? n?2?
n +1 n n

n +1

由参数 t 的几何意义 PA PB = t A t B =

4 8 = ≥ 8 …………9 分 sin a cos a sin 2a

π 3π 等号当且仅当 sin 2a = 1时成立,又α ∈ ,π), α = ( ∴ 2 4
? ?x = 4 ? ? 直线方程为 ? ? y = 1+ ? ? 2 t 2 2 t 2

?3? ?3? ?3 ?   ?   ? n n n ? n ?1 ? ? ? ? 3? ? n?2 ? ?2? ? ?2? =?3? ? 2 ∴ bn +1 ? bn = ? --------12 分 ? =? ? ? ? ? ? n +1 n ? 2 ? ? n ( n + 1) ? ? 2 ? ? 2n ( n + 1) ? ? ? 所以当 n ≤ 2 时有: bn +1 ? bn ≤ 0 ,即 b1 > b2 = b3 ;
当 n > 2 时有: bn +1 ? bn > 0 ,即 b3 < b4 < b5 < ........ ; ------------------13 分

bn 的最小值为 b2 = b3 =
2

9 --------------------14 分 8
2

即 x + y + 5 = 0 ………………13 分 18.解:(1) n = 1, 时a1 = S1 = 3 × 1 ? 1 = 2 --------------------------------1 分

19.解(1) ( x ? m ) + ( y ? 2 ) = m 2 ? 5m + 4

------1 分 ------2 分

m 2 ? 5m + 4 >0

?3? ?3? n ≥ 2 时, an = Sn ? Sn ?1 = 3 × ? ? ? 3 × ? ? ?2? ?2? 2   n = 1 ?  ? --------------4 分 an = ? ? 3 ? n?1 ?   ?  n ≥ 2 ? ?? 2? ? 3? Q  a1 = 2 ≠ ? ? ---------------5 分 ?2?
1?1

n ?1

n ?2

?3? =? ? ?2?

n ?1

--------------3 分

m < 1或m > 4

-------4 分

(2)设 m =-2时,圆心 C(-2, ,半径 R=3 2 -------5 分 2) 圆心到直线的距离为 d =

?4 ? 2 + 1 5

= 5 ------6 分
2 2

圆 C 截直线 l : 2 x ? y + 1 = 0 所得弦长为 2 R ? d = 2 18 ? 5 = 2 13 ------8 分 (3)以 MN 为直径的圆过坐标原点 O,

∴   n } 不是等比数列-------------6 分 {a
1 ?2? ∴ = n ? ? -------------7 分 bn ?3?
n

an +1 (2)Q bn = log 3 an +1
2
2

?3? ? ? 2 =? ? , n

n

uuuu uuur r 即 OM ? ON = 0

n

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 则 x1 x2 + y1 y2 = 0

? x 2 + y 2 ? 2mx ? 4 y + 5m = 0 2 整理得 5 x ? ( 2m + 4 ) x + 5m ? 3 = 0 ----9 分 由? ?2 x ? y + 1 = 0

?2? ?2? ?2? ?2? Tn = 1 ? ? ? + 2 ? ? ? + 3 ? ? ? + L + n ? ? ? ?3? ?3? ?3? ?3?

3

6

2 ? ? x1 + x2 = 5 ( m + 2 ) ? ---------10 分 ? ? x x = 1 ( 5m ? 3 ) ? 1 2 5 ?

h′ ( m ) = m ?

1 m 2 ? 1 ( m ? 1)( m + 1) = = ,令 h′ ( m ) = 0, 得m = 1或m = ?1 m m m

在 m ∈ ( 0, 2] , h′ ( m )的符号与h ( m )的单调情况如下表: m

x1 x2 + y1 y2 = 5 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 1 = 0
4 5m ? 3 + (m + 2) + 1 = 0 5 2 2 m= 经检验,此时 ? = ( 2m + 4 ) ? 20 ( 5m ? 3) > 0 ------13 分 29 2 ∴m = ---------14 分 29
20.解:(Ⅰ)由已知得, f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c ,---------------------------1 分
2

( 0,1)
?

1 0 极小值

(1, 2 )
+

2

h′ ( m ) h ( m)

∴ m = 1 时, h ( m )min = h ( m )极小值 = ∴t < 1 2
---14 分

1 2

Q 函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + a 2 的单调递减区间是 (1,2) , ∴ f ′ ( x ) < 0 的解是 1 < x < 2
2

从 f ( 0 ) = a = 1 且 a > 0 可得 a = 1 -------------------------------------4 分

∴ f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 的两个根分别是 1 和 2,且 a > 0 --------3 分

9 ? ? f ′ (1) = 3 + 2b + c = 0 9 2 ? ?b = ? 3 又? 得? 2 ∴ f ( x ) = x ? x + 6 x + 1 ---------6 分 2 ? f ′ ( 2 ) = 12 + 4b + c = 0 ?c = 6 ? ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ′ ( x ) = 3 x ? 9 x + 6 = 3 ( x ? 1)( x ? 2 ) ∴ x > 2 时, f ′ ( x ) > 0 ,∴ f ( x ) 在 [ 2, +∞ ) 上是增函数,--------------7 分

对x ∈ [ 2, +∞ ) ,当x=2时,f ( x )min = f ( 2 ) = 3 ----------------------8 分
要使 f ( x ) < 即

1 3 m ? m ln m ? mt + 3 在 x ∈ [2,+∞ ) 上有解, 2

1 3 m ? m ln m ? mt + 3 > f ( x ) min --------------------9 分 2 1 1 ∴ m3 ? m ln m ? mt + 3 > 3 ,即 mt < m3 ? m ln m 对任意 m ∈ ( 0, 2] 恒成立, 2 2 1 2 m ? ln m 对任意 m ∈ ( 0, 2] 恒成立, 2 1 2 m ? ln m, m ∈ ( 0, 2] , 2
则 t < h ( m )min -----------------11 分

即t <

设 h (m) =

7


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