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1.2.2同角三角函数的基本关系(教师版)


1.2.2 同角三角函数的基本关系
? 知识要点
1. 平方关系:sin2α+cos2α=1 变形:sin2α=cos2α= Sinα= (Sinα+cosα)2=

cosα= (Sinα-cosα)2=

2. 3.

倒数关系:tanα= 商数关系:

1



sin a ? =tanα(α≠kπ+ ,k∈Z) cos a 2 变形:sinα=cosαtanα

? 典例剖析
题型一、三角函数的相互转化
例题1.

4 ,并且 α 是第二象限的角,求 cosα,tanα 的值. 5 解:因为 sin2α+cos2α=1,所以 4 9 cos2α=1-sin2α=1-( )2= . 5 25
已知 sinα= 又因为 α 是第二象限角,所以 cosα<0.于是 cosα= ? 从而 tanα=

9 3 =? , 5 25

sin a 4 5 4 = × ( ? )= ? . cos a 5 3 3 8 变式:已知 cosα= ? ,求 sinα,tanα 的值. 17 解:因为 cosα<0,且 cosα≠-1,所以 α 是第二或第三象限角.如果 α 是第二象限角,那么
sinα= tanα=

1 - cos2 a = 1 ? (?

8 2 15 ) = , 17 17

sin a 15 17 15 = × (? )= ? , cos a 17 8 8

1/3

5 4 ,tanα= ? . 17 3 sin a ? cos a 例题2. 已知 tanα=2,求 的值 sin a ? cos a 答案:3 1 变式:已知 tanα= ? ,求下列各式的值: 2 2 cos a ? sin a 2 2 (1) ; (2)2sin α+sinα·cosα-3cos α. sin a ? cos a
如果 α 是第三象限角,那么 sinα= ?

2 ? tan a 2 ? (1 ) 解:(1)原式= = 2 ?5 tan a ? 1 1
(? ) ? 1 2

1

2 sin 2 a ? sin a ? cos a ? 3 cos2 a (2)原式= sin 2 ? cos2 a

1 1 2(? ) ? ? 3 12 2 2 ? ?? 1 2 5 (? ) ? 1 2

题型二、公式的综合应用证明、化简
cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos 活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是 从算式一边到另一边的证法,算式右边的非零因式 1+sinα,在左边没有出现,可考虑左边式子 的 分 子 、 分 母 同 乘 以 1+sinx, 再 化 简 ; 在 证 法 二 中 可 以 这 样 分 析 , 要 让 算 式 成 立 , 需 证 cos2x=(1+sinx)(1-sinx),即 cos2x=1-sin2x,也就是 sin2x+cos2x=1,由平方关系可知这个等式成立, 将上述分析过程逆推便可以证得原式成立. 证法一:由 cosx≠0,知 sinx≠1,所以 1+sinx≠0,于是
例题3. 求证: 左边=

cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) 1 ? sin x ? ? ? ? 右边 (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos x 1 ? sin 2 x 1 ? sin x 2 x

所以原式成立. 证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosxcosx, cos x 1 ? sin x 且 1-sinx≠0,cosx≠0,所以 ? . 教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法 1 ? sin x cos x 二外你可否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a-b=0 ? a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成. 证法三:因为

cos x 1 ? sin x cos x cos x ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos2 x ? (1 ? sin 2 x) cos2 ? cos2 x ? ? ? ? ?0 1 ? sin x cos x (1 ? sin x) cos x (1 ? sin x) cos x (1 ? sin x) cos x
所以

cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos x

2/3

变式:1,求证 sin

4

? ? sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1.

2,已知 tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β+1=2sin2α. 解:由已知有 1+tan2α=2tan2β+2=2(1+tan2β)

sin 2 a sin 2 ? ∴1+ =2(1+ ). cos2 a cos2 ?
∴2cos2α=cos2β.∴2(1-sin2α)=1-sin2β. ∴sin2β+1=2sin2α. 例题4. 化简

1 - sin 2 440?. 1 - sin 2 80? = 1 - sin 2 80? =cos80° .

2 解:原式= 1 - sin (360 ? ? 80 ?) =

例题5.

化简:

1 - 2sin40?cos40?

答案:cos40° -sin40° . 例题6.

1 ,且 0<x<π,那么 tanx 的值是(A) 5 4 4 3 3 4 3 A. ? B. ? 或 ? C. ? D. 或 ? 3 3 3 4 4 4
如果 sinx+cosx=

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