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复数的有关概念


复习回顾
* 虚数单位 : (1) ) (2) ) 复数的定义: * 复数的定义: 形如 复数的分类: * 复数的分类: 实数、虚数(纯虚数、非纯虚数)。 实数、虚数(纯虚数、非纯虚数)。 的数是复数。 的数是复数。

探索
复数是由实数扩充得到的, 复数是由实数扩充得到的,那么实数集的性质 和特点能不能推广到复数集呢? 和特点能不能推广到复数集呢? 实数的部分性质和特点: 实数的部分性质和特点: 实数可以判定相等或不相等; (1) 实数可以判定相等或不相等; (2) 实数可以用数轴上的点表示; 实数可以用数轴上的点表示; (3) 不相等的实数可以比较大小; 不相等的实数可以比较大小; 实数可以进行四则运算; (4) 实数可以进行四则运算; …… 复数是否也有类似的性质呢? 复数是否也有类似的性质呢? 问题1 问题1

例题分析 且满足: 例1 设 x , y ∈ R ,且满足:

( x + 2) ? 2 xi = ?3 y + ( y ? 1)i ,
求 的值。 x, y 的值。
分析 在复平面内表示下列复数, 例2 在复平面内表示下列复数,并分别求出它 们的模。 们的模。
(1) ? 2 + 3i
( 2)
( 4)

1 3 + i 2 2
? 1 ? 3i

(3)

3 ? 4i

分析

动手做一做
1. 若实数 x, y 满足: (1 + i ) x + (1 ? i ) y = 2 , 满足: 求 x, y 。 2. 若 ( x + y ) + ( y ? 1)i = ( 2 x + 3 y ) + ( 2 y + 1)i , 求实数 x, y 。 3. 求下列复数的模长: 求下列复数的模长:
(1) z = 2 + 3i
( 3) 5
( 2) 2 ? 4i
( 4) ? 3i

小结
两复数相等: * 两复数相等: 若 a, b, c, d ∈ R, 则 a + bi = c + di ? a = c , b = d 复平面: * 复平面:

Z(a, b)
一一对应

Z = a + bi

OZ
z = a2 + b2

复数的模长: * 复数的模长:z = a + bi

复数不能比较大小,但复数的模可以比较大小。 复数不能比较大小,但复数的模可以比较大小。 结束

问题1: 问题 :复数相等的问题
对于复数 ( a + bi 和 c + di , a , b, c, d ∈ R )

你认为满足什么条件时,它们才相等? 你认为满足什么条件时,它们才相等?

当两个复数的实部和虚部分别相等时, 当两个复数的实部和虚部分别相等时,这两个 复数相等 。 即:a

= c 且 b = d 时, a + bi = c + di

复数相等的内涵: 复数相等的内涵: 表示。 复数 a + bi 可用有序实数对 ( a , b ) 表示。 例1

问题2: 如何用几何形式表示复数? 问题2: 如何用几何形式表示复数? 有序实数对 有序实数对 (a , b) 复数 z = a + bi 一一对应 (数) y 直角坐标系中的点 直角坐标系中的点 Z (a , b) (形) 建立了平面直角坐标 系来表示复数的平面叫做 系来表示复数的平面叫做 复数平面(简称复平面 复平面) 复数平面(简称复平面) x 轴------实轴 ------实轴 a

Z (a,b)

b

o

x

y 轴------虚轴 ------虚轴

复平面的定义: 复平面的定义:
当用直角坐标平面内的点来表示复数时, 当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们 称这个直角坐标平面为复平面 也叫高斯平面 复平面, 高斯平面, 称这个直角坐标平面为复平面,也叫高斯平面,x 称为虚轴 虚轴。 轴称为实轴,y 轴称为虚轴。 称为实轴, 实轴 在复平面上如何表示实数、纯虚数? 在复平面上如何表示实数、纯虚数? 实数 是一一对应的, 由于点 Z (a,b) 与平面向量 OZ 是一一对应的, 所以 z = a + bi 与复平面向量 OZ =(a,b) 也是一一 对应的。 对应的。

问题3:能否把绝对值概念推广到复数范围呢? 问题3 能否把绝对值概念推广到复数范围呢? a
O A

x

z = a + bi Z (a,b)

y

| a | = | OA |
?a ( a ≥ 0 ) ? =? ?? a ( a < 0 ) ?

x

| z | = |OZ| = a + b
2

2

定义

复数的模(或绝对值): 复数的模(或绝对值): 叫作复数 的模或绝对值, 点 Z 到原点的距离OZ 叫作复数 z 的模或绝对值, 记作 z =
a2 + b2 。

例2

分析: 分析:

根据复数相等的意义:两复数相等, 根据复数相等的意义:两复数相等,它们 的实部和虚部分别相等,可以列出方程组求得两 的实部和虚部分别相等 可以列出方程组求得两 未知数。 未知数。

解:

? x + 2 = ?3 y 根据相等的意义得: 根据相等的意义得:? ?? 2 x = y ? 1
?x = 1 解方程可得: 解方程可得: ? ? y = ?1

复数相等的 问题

转化

求方程组解 的问题 问题2 问题

z = a2 + b2 分析:求模即将 即将a 带入模长公式: 分析:求模即将 、b带入模长公式: 带入模长公式

解:
(1)
( 3)

? 2 + 3i = ( ?2) + 3 = 13
2 2

( 2)

1 3 + i =1 2 2

3 ? 4i = 5

(4)

? 1 ? 3i = 10

问题:复数能否比较大小? 问题:复数能否比较大小?
两个复数不能比较大小, 两个复数不能比较大小,但它们的模可以 比较大小。 比较大小。 练习


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