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2014-2015学年河南省十所示范性高中联考高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(Word版含解析)


2014-2015 学年河南省十所示范性高中联考高二(下)第一次月 考数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 P={x∈R|x +2x<0},Q={x∈R| A. (﹣2,1) B. (﹣1,0)
2

>0},则 P∩Q=( C. ?

) D. (﹣2,0)

2.i 是虚数单位,复数 A. 2i

的虚部是( B. ﹣2i
2 3

) C. 2 D . ﹣2 )为奇函数,则

3.已知命题 P:?x∈(0,1) ,x <x ;命题 q:若函数 f(x)=ln(a+ a=﹣1,下列命题中真命题是( ) A. p∧q B. p∧¬q

C. ¬p∧q

D. ¬p∧¬q )

4.若按如图的算法流程图运行后,输出的结果是 ,则输入的 N 的值为(

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8 ) D.

5.函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)的最大值和最小正周期分别是( A. 2,π B. +1,π C. 2,2π 6.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )

+1,2π

A.

B.

C. 8﹣2π

D.

7.若两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 ﹣ 的夹角是( A. B. C. D.



8.已知等比数列{an}满足:a1+a2+a3+a4= A. ﹣2 B. ﹣

,a2?a3=﹣ ,则 C.

=( D.



9.已知 2m+n=1,其中 m,n 均为正数,则 + 的最小值为( A. 2 B. 4 C. 8 )

) D. 16

10.函数 f(x)=﹣cosx?lg|x|的部分图象是(

A.

B.

C.

D.

11.已知双曲线



=1(a>0,b>0)左,右焦点分别为 F1、F2.若在双曲线右支上存 )

在一点 P 使|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率 e 的取值范围是(

A. (1, ]

B. (1,2]

C. [ ,2]

D. [ ,+∞)

12.已知函数 f(x)= 实数 a 的取值范围是( A. (0,e) ) B. ( ,4]

,若方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实根时,则

C. (e,4]

D. (0,4)

二、解答题(共 12 小题,满分 90 分) 13.已知 sin( )= ,则 cos( )= .

14.设不等式组

表示的平面区为 D,P(x,y)为 D 内一动点,则目标函数

z=x﹣2y+5 的最大值为



15.已知三棱锥 S﹣ABC,所有顶点都在球 O 的球面上,侧棱 SA⊥平面 ABC,SA=AC=2, BC=2 ,∠A=90°,则球 O 的表面积为 . 16.已知点 A(0,2) ,抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与 其准线相交于点 N,则|FM|:|MN|= . 17.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 asinB= (1)求角 A; (2)若 a=4,b+c=5,求△ ABC 的面积. bcosA.
2

18.某公司销售小米、红米、黑米三款手机,每款手机都有经济型和豪华型两种型号,据统 计 2014 年 3 月份共销售 800 部手机(具体销售情况见表) 小米手机 红米手机 黑米手机 经济型 240 x y 豪华型 160 80 z 已知在销售的 800 部手机中,经济型红米手机销售的频率是 0.15. (1)现用分层抽样的方法在小米、红米、黑米三款手机中抽取 60 部,求在黑米手机中抽取 多少部? (2)若 y≥96,z≥93,求销售的黑米手机中经济型比豪华型多的概率. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的中点. (1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD;

(2)若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,点 M 在线段 PC 上,且 PM=3MC,求 三棱锥 P﹣QBM 的体积.

20.已知椭圆 C:
2 2

+y =1(a>1)的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与圆 M: (x﹣3)

2

+(y﹣1) =3 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若不过 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且 并求该定点的坐标. 21.已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围 (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e]时,函数 g(x)的最小值是 3? 若存在,求出 a 的值,若不存在,说明理由 (3)当 x∈(0,e]时,求证:e x ﹣ x>(x+1)lnx.
2 2 2 2

?

=0,求证:直线 l 过定点,

22.如图,AB 是的⊙O 直径,CB 与⊙O 相切于 B,E 为线段 CB 上一点,连接 AC、AE 分别交⊙O 于 D、G 两点,连接 DG 交 CB 于点 F. (Ⅰ)求证:C、D、G、E 四点共圆. (Ⅱ)若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E,EG=1,GA=3,求线段 CE 的长.

23. 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

, (t 为参数) ,以坐标原点为
2

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ ﹣4ρsinθ+3=0. (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;

(2)设点 P 是曲线 C 上的动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围. 24. 设函数 f(x)=|x﹣a|+3x, (a∈R) . (1)求不等式 f(x)>3x+1 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤﹣1},求 a 的值.

2014-2015 学年河南省十所示范性高中联考高二(下)第一次月 考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 P={x∈R|x +2x<0},Q={x∈R| A. (﹣2,1) B. (﹣1,0)
2

>0},则 P∩Q=( C. ?

) D. (﹣2,0)

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:分别求出 P 与 Q 中不等式的解集确定出 P 与 Q,找出两集合的交集即可. 解答: 解:由 P 中不等式变形得:x(x+2)<0, 解得:﹣2<x<0,即 P=(﹣2,0) , 由 Q 中不等式,得到 x+1>0, 解得:x>﹣1,即 Q=(﹣1,+∞) , 则 P∩Q=(﹣1,0) . 故选:B. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.i 是虚数单位,复数 A. 2i

的虚部是( B. ﹣2i

) C. 2 D . ﹣2

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则和复数的定义即可得出复数的虚部. 解答: 解:i 是虚数单位, 复数 = = =1﹣2i,

复数的虚部为:2. 故选:C. 点评:本题考查了复数的运算法则和复数的基本概念,属于基础题. 3.已知命题 P:?x∈(0,1) ,x <x ;命题 q:若函数 f(x)=ln(a+ a=﹣1,下列命题中真命题是( ) A. p∧q B. p∧¬q 考点:复合命题的真假. 专题:阅读型.
2 3

)为奇函数,则

C. ¬p∧q

D. ¬p∧¬q

分析:利用幂函数的单调性与对数函数的奇偶性判定命题 p、q 的真假,再根据复合命题真 值表可得答案. 解答: 解:∵x∈(0,1) ,x ﹣x =x (x﹣1)<0,∴x <x , ∴命题 P 为假命题; 函数 f(x)=ln(a+ )为奇函数,则 f(0)=ln(a+2)=0?a+2=1?a=﹣1,
3 2 2 3 2

∴命题 q 为真命题, 根据复合命题真值表知,¬p 为真命题,¬p∧q 为真命题. 故选:C. 点评:本题借助考查复合命题的真假判断, 考查了对数函数的奇偶性及幂函数的性质, 解题 的关键是熟练掌握复合命题的真假规律.

4.若按如图的算法流程图运行后,输出的结果是 ,则输入的 N 的值为(



A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:由已知中的程序框图可知:程序的功能是利用循环计算并输出变量 S 的值,模拟程 序的运行过程,根据输出的结果是 ,可分析出判断框中的条件. 解答: 解:进行循环前 k=1,S=0,进行循环后 S= ,不满足退出循环的条件; k=2,S= ,不满足退出循环的条件; k=3,S= ,不满足退出循环的条件; k=4,S= ,不满足退出循环的条件;

k=5,S= ,不满足退出循环的条件; k=6,S= ,满足退出循环的条件; 故满足条件的 N 值为 6, 故选 B 点评:本题考查的知识点是程序框图,模拟程序的运行过程,分析满足退出循环时的 k 值, 是解答的关键. 5.函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)的最大值和最小正周期分别是( A. 2,π B. +1,π C. 2,2π ) D.

+1,2π

考点:二倍角的余弦; 两角和与差的正弦函数; 二倍角的正弦; 三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:利用两角和的正弦公式,二倍角公式,把函数 y 化为 y= 出函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)的最大值和最小正周期. 解答: 解:函数 y=2cosx(sinx+cosx)=2sinxcosx+2cos x=sin2x+cos2x+1 = sin(2x+ )+1, +1,最小正周期等于 =π, .
2

sin(2x+

)+1,即可求

故它的最大值为

故选:B. 点评:本题考查两角和的正弦公式,二倍角公式,正弦函数的最大值和最小正周期,把函数 y 化为 y= sin(2x+ )+1 是解题的关键.

6.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(



A.

B.

C. 8﹣2π

D.

考点:由三视图求面积、体积.

专题:计算题. 分析:三视图复原的几何体是正方体,除去一个倒放的圆锥,根据三视图的数据,求出几何 体的体积. 解答: 解:三视图复原的几何体是棱长为:2 的正方体,除去一个倒放的圆锥,圆锥的高 为:2,底面半径为:1; 所以几何体的体积是:8﹣ =

故选 A. 点评:本题是基础题,考查三视图复原几何体的判定,几何体的体积的求法,考查空间想象 能力,计算能力,常考题型.

7.若两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 ﹣ 的夹角是( A. B. C. D.



考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:计算题. 分析:利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系, 利用向量的数量积公式求出 两向量的夹角. 解答: 解:依题意,∵| + |=| ﹣ |=2| | ∴ ∴ ⊥ , =3 = ,

∴cos< 所以向量

, 与

>= 的夹角是 ,

=﹣ ,

故选 C 点评:本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角. 8.已知等比数列{an}满足:a1+a2+a3+a4= A. ﹣2 B. ﹣ ,a2?a3=﹣ ,则 C. =( D. )

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据条件将 转化为已知条件形式进行代入求解即可.

解答: 解:∵a2?a3=﹣ , ∴公比 q<0, 则由 a1+a2+a3+a4= 则 ,a2?a3=﹣ ,得 = , =﹣ ,

=

=

=

=

=﹣ ,

故选:B 点评: 本题主要考查等比数列前 n 项和公式的应用,根据条件进行化简是解决本题的关 键.本题的条件由于不太容易求首项和公比,故使用转化法是解决本题的关键.

9.已知 2m+n=1,其中 m,n 均为正数,则 + 的最小值为( A. 2 B. 4 C. 8

) D. 16

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出. 解答: 解:∵2m+n=1,其中 m,n 均为正数, ∴ + =(2m+n) =4+ =8,当且仅当 n=2m= 时取等号.

故选:C. 点评:本题考查了“乘 1 法”和基本不等式,属于基础题. 10.函数 f(x)=﹣cosx?lg|x|的部分图象是( )

A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数的奇偶性排除 BD,再根据 x 的变化趋势排除 C.

解答: 解:由于 f(x)=﹣cosx?lg|x|, ∴f(﹣x)=﹣cos(﹣x)?lg|﹣x|=﹣cosx?lg|x|=f(x) , 故函数 f(x)是偶函数,排除 B,D; 又当 x→0 时,lg|x|→﹣∞,cosx→1, ∴f(x)→+∞,故排除 C, 故选:A. 点评:本题考查函数的图象, 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能 力,属于中档题.

11.已知双曲线



=1(a>0,b>0)左,右焦点分别为 F1、F2.若在双曲线右支上存 ) D. [ ,+∞)

在一点 P 使|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率 e 的取值范围是( A. (1, ] B. (1,2] C. [ ,2]

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a,再根据点 P 在双曲线的右支上,可得 |PF2|≥c﹣a,从而求得此双曲线的离心率 e 的取值范围. 解答: 解:∵|PF1|=4|PF2|, ∴由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a, ∴|PF2|= ,

∵点 P 在双曲线的右支上, ∴|PF2|≥c﹣a, ∴ ≥c﹣a,

∴e= ≤ , ∵e>1, ∴1<e≤ , ∴双曲线的离心率 e 的取值范围为(1, ]. 故选:A. 点评:本题考查双曲线的定义和标准方程, 以及双曲线的简单性质的应用, 考查学生的计算 能力,属于中档题.

12.已知函数 f(x)= 实数 a 的取值范围是( )

,若方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实根时,则

A. (0,e)

B. ( ,4]

C. (e,4]

D. (0,4)

考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:函数的性质及应用. 分析:方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实根,即 f(x)= 与函数 y=ax

的图象有且只有两个交点,在同一坐标系中做出两个函数的图象, 数形结合可得实数 a 的取 值范围. 解答: 解:函数 f(x)= 的图象如下图所示:

由图象可得: 当 a<e 时,两个函数的图象无交点, 当 a=e 时,两个函数的图象有一个交点, 当 e<a≤4 时,两个函数的有两个交点, 当 a>4 时,两个函数的有三个交点, 综上所述:实数 a 的取值范围是(e,4], 故选:C 点评:本题考查方程根的个数的判断,体现了数形结合及转化的数学思想. 二、解答题(共 12 小题,满分 90 分) 13.已知 sin( )= ,则 cos( )= .

考点:运用诱导公式化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用诱导公式化简所给式子的值,可得结果.

解答: 解:∵sin( 故答案为: .

)= ,则 cos(

)=sin(

)= ,

点评:本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式, 要特别注意符号的选取, 这是解题的易 错点,属于基础题.

14.设不等式组

表示的平面区为 D,P(x,y)为 D 内一动点,则目标函数

z=x﹣2y+5 的最大值为

8 .

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 解答: 解:由 z=x﹣2y+5 得 y= + ,

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分) : 平移直线 y= + + ,过点 A 时,直线 y= 的截距最小,此时 z 最大,

由图象可知当直线 y=



,解得

,代入目标函数 z=x﹣2y+5,得 z=1+2+5=8,

∴目标函数 z=x﹣2y+5 的最大值是 8. 故答案为:8

点评:本题主要考查线性规划的基本应用, 利用目标函数的几何意义是解决问题的关键, 利 用数形结合是解决问题的基本方法. 15.已知三棱锥 S﹣ABC,所有顶点都在球 O 的球面上,侧棱 SA⊥平面 ABC,SA=AC=2, BC=2 ,∠A=90°,则球 O 的表面积为 16π . 考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:根据题意, 三棱锥的外接球扩展为长方体的外接球, 外接球的直径就是长方体的对角 线的长度,求出长方体的对角线的长度,即可求解球的半径,从而可求三棱锥 S﹣ABC 的 外接球的表面积. 解答: 解:三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,侧棱 SA⊥平面 ABC, SA=AC=2,BC=2 ,∠A=90°, 故三棱锥的外接球扩展为长方体的外接球,外接球的直径就是长方体的对角线的长度. ∴球的半径 R=
2

=2.
2

球的表面积为:4πR =4π×2 =16π. 故答案为:16π. 点评:本题考查三棱锥 S﹣ABC 的外接球的表面积,解题的关键是确定三棱锥 S﹣ABC 的 外接球的球心与半径,属于中档题. 16.已知点 A(0,2) ,抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与 其准线相交于点 N,则|FM|:|MN|= 1: . 考点:抛物线的简单性质. 专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求出抛物线 C 的焦点 F 的坐标,从而得到 AF 的斜率 k=2.过 M 作 MP⊥l 于 P,根 据抛物线物定义得|FM|=|PM|.Rt△ MPN 中,根据 tan∠NMP=﹣k=2,从而得到|PN|=2|PM|, 进而算出|MN|= |PM|,由此即可得到|FM|:|MN|的值. 2 解答: 解:∵抛物线 C:y =4x 的焦点为 F(1,0) ,点 A 坐标为(0,2) , ∴抛物线的准线方程为 l:x=﹣1,直线 AF 的斜率为 k=﹣2, 过 M 作 MP⊥l 于 P,根据抛物线物定义得|FM|=|PM|, ∵Rt△ MPN 中,tan∠NMP=﹣k=2, ∴ =2,可得|PN|=2|PM|, = |PM|
2

得|MN|=

因此可得|FM|:|MN|=|PM|:|MN|=1: . 故答案为:1: . 点评:本题给出抛物线方程和射线 FA,求线段的比值.着重考查了直线的斜率、抛物线的 定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题. 17.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 asinB= (1)求角 A; bcosA.

(2)若 a=4,b+c=5,求△ ABC 的面积. 考点:余弦定理;正弦定理. 专题:三角函数的求值. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,根据 sinB 不为 0,求出 tanA 的值,即可确定出 A 的度数; (2)利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将 a,cosA,以及 b+c 的值代 入求出 bc 的值,再由 sinA 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 解答: 解: (1)已知等式利用正弦定理化简得:sinAsinB= sinBcosA, ∵sinB≠0, ∴sinA= cosA,即 tanA= , 则 A= ;

(2)∵a=4,b+c=5,cosA= , ∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc,即 16=25﹣3bc, 解得:bc=3, 则 S△ ABC= bcsinA= ×3× = .
2 2 2 2 2 2

点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的 关键. 18.某公司销售小米、红米、黑米三款手机,每款手机都有经济型和豪华型两种型号,据统 计 2014 年 3 月份共销售 800 部手机(具体销售情况见表) 小米手机 红米手机 黑米手机 经济型 240 x y 豪华型 160 80 z 已知在销售的 800 部手机中,经济型红米手机销售的频率是 0.15. (1)现用分层抽样的方法在小米、红米、黑米三款手机中抽取 60 部,求在黑米手机中抽取 多少部? (2)若 y≥96,z≥93,求销售的黑米手机中经济型比豪华型多的概率. 考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析: (1)由已知, =0.15,可得 x=120.从而求得黑米手机的总数为 200 部.根据

分层抽样的性质即可得到在黑米手机中抽取手机数为 15 部. (2)设“销售的黑米手机中经济型比豪华型多”为事件 A,C 款手机中经济型、豪华型手机 数记为(y,z) ,满足事件 y≥96,z≥93 的基本事件有 12 个,其中事件 A 包含的基本事件有 7 个.所以黑米手机中经济型比豪华型多的概率为 解答: 解: (1)∵ ∴x=120. =0.15, .

∴黑米手机的总数为:800﹣240﹣160﹣120﹣80=200(部) . 现用分层抽样的方法在三款手机中抽取 60 部手机, 应在黑米款手机中抽取手机数为: ×60=15(部) .

(2)设“销售的黑米手机中经济型比豪华型多”为事件 A,黑米手机中经济型、豪华型手机 数记为(y,z) , ∵y+z=200,y,z∈N , ∴满足事件 y≥96,z≥93 的基本事件有: (96,104) , (97,103) , (98,102) , (99,101) , (100,100) , (101,99) , (102,98) , (103,97) , (104,96) , (105,95) , (106,94) , (107,93)共 12 个. 事件 A 包含的基本事件为: (101,99) , (102,98) , (103,97) , (104,96) , (105,95) , (106,94) , (107,93)共 7 个 所以 P(A)= .
*

即黑米手机中经济型比豪华型多的概率为 点评:本题考查分层抽样,古典概型及概率计算等知识的综合应用,属于中档题. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的中点. (1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,点 M 在线段 PC 上,且 PM=3MC,求 三棱锥 P﹣QBM 的体积.

考点:平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1) 由 PA=PD, 得到 PQ⊥AD, 又底面 ABCD 为菱形, ∠BAD=60°, 得 BQ⊥AD, 利用线面垂直的判定定理得到 AD⊥平面 PQB 利用面面垂直的判定定理得到平面 PQB⊥平 面 PAD; 2) 由平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, PQ⊥AD, 得 PQ⊥平面 ABCD, BC?平面 ABCD,得 PQ⊥BC,得 BC⊥平面 PQB,即得到高,利用椎体体积公式求出; 解答: 解: (1)∵PA=PD, ∴PQ⊥AD, 又∵底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°, ∴BQ⊥AD,PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PQB 又 AD?平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD; (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PQ⊥AD,

∴PQ⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD, ∴PQ⊥BC, 又 BC⊥BQ,QB∩QP=Q, ∴BC⊥平面 PQB, 又 PM=3MC, ∴VP﹣QBM=VM﹣PQB= 点评:本题给出特殊四棱锥, 求证面面垂直并求锥体体积, 着重考查了平面与平面垂直的判 定、平面与平面垂直的性质和体积公式等知识,属于中档题.

20.已知椭圆 C:
2 2

+y =1(a>1)的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与圆 M: (x﹣3)

2

+(y﹣1) =3 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若不过 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且 并求该定点的坐标. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)圆 M 的圆心为(3,1) ,半径 .直线 AF 的方程为 x+cy﹣c=0,由直线 2 2 2 AF 与圆 M 相切,得 c =2,a =c +1=3,由此能求出椭圆 C 的方程. (Ⅱ)法一:由 ,知 AP⊥AQ,设直线 AP 的方程为 y=kx+1,直线 AQ 的方程为 ? =0,求证:直线 l 过定点,

. 联立

, 整理得 (1+3k ) x +6kx=0, 求得点 P

2

2



点Q

,由此能证明直线 l 过定点



(Ⅱ) 法二: 由

, 知 AP⊥AQ, 设直线 l 的方程为 y=kx+t (t≠1) , 联立



整理得(1+3k )x +6ktx+3(t ﹣1)=0.由 . 解答: (I)解:圆 M 的圆心为(3,1) ,半径 由题意知 A(0,1) ,F(c,0) , 直线 AF 的方程为 ,即 x+cy﹣c=0,…(4 分)

2

2

2

,利用韦达定理证明直线 l 过定点

.…(2 分)

由直线 AF 与圆 M 相切,得 解得 c =2,a =c +1=3, 故椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)证法一:由 .…(6 分)
2 2 2



知 AP⊥AQ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直,

故可设直线 AP 的方程为 y=kx+1, 直线 AQ 的方程为 .

联立

,整理得(1+3k )x +6kx=0,…(7 分)

2

2

解得 x=0 或

,故点 P 的坐标为



同理,点 Q 的坐标为

,…(9 分)

∴直线 l 的斜率为

,…(10 分)

∴直线 l 的方程为



即 所以直线 l 过定点 (Ⅱ)证法二:由

.…(11 分) .…(12 分) ,知 AP⊥AQ,从而直线 PQ 与 x 轴不垂直,

故可设直线 l 的方程为 y=kx+t(t≠1) ,
2 2 2

联立

,整理得(1+3k )x +6ktx+3(t ﹣1)=0.

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则



, (*)

由△ =(6kt) ﹣4(1+3k )×3(t ﹣1)>0,得 3k >t ﹣1.…(9 分) 由 得 ,

2

2

2

2

2

, 将(*)代入,得 所以直线 l 过定点 ,…(11 分) .…(12 分)

点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查直线过定点的证明,解题时要认真审题,注意函数 与方程思想的合理运用. 21.已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围 (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e]时,函数 g(x)的最小值是 3? 若存在,求出 a 的值,若不存在,说明理由 (3)当 x∈(0,e]时,求证:e x ﹣ x>(x+1)lnx.
2 2 2 2

考点:二次函数的性质;函数恒成立问题. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数 f(x)的导数,得到不等式组,解出 a 的范围即可; (2)假设存在实数 a,求出函数 g(x)的导数,通过讨论 g(x)的单调性,求出函数的最 小值,从而求出 a 的值; (3) 令F (x) =e x﹣lnx, 令ω (x) = 即可. 解答: 解: (1)f′(x)=2x+a﹣ = 令 h(x)=2x +ax﹣1, ∴ ,解得:a≤﹣ ;
2 2 2

+ , 通过讨论它们的单调性得到 e x﹣lnx>

2

+

≤0 在[1,2]上恒成立,

(2)假设存在实数 a,使得 g(x)=f(x)﹣x =ax﹣lnx,x∈(0,e]有最小值 3, g′(x)=a﹣ = ,

①0< <e,即 a>e 时,令 g′(x)>0,解得:x> ,令 g′(x)<0,解得:0<x< , ∴函数 g(x)在(0, )递减,在( ,e]递增,

∴g(x)min=g( )=1+lna=3,解得:a=e ,满足条件; ② ≥e,即 a≤ 时,g′(x)<0,g(x)在(0,e]单调递减, ∴g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,解得:a= (舍去) ; 综上,存在实数 a=e ,使得 x∈(0,e]时,函数 g(x)有最小值 3; 2 (3)令 F(x)=e x﹣lnx,由(2)得:F(x)min=3, 令 ω(x)= + ,ω′(x)= ,
2

2

当 0<x≤e 时,ω′(x)≥0,ω(x)在(0,e]递增, 故 e x﹣lnx>
2 2 2

+ ,

即:e x ﹣ x>(x+1)lnx. 点评:本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,考查二次函数的性质,是一 道中档题. 22.如图,AB 是的⊙O 直径,CB 与⊙O 相切于 B,E 为线段 CB 上一点,连接 AC、AE 分别交⊙O 于 D、G 两点,连接 DG 交 CB 于点 F. (Ⅰ)求证:C、D、G、E 四点共圆. (Ⅱ)若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E,EG=1,GA=3,求线段 CE 的长.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:直线与圆. 分析: (Ⅰ)连接 BD,由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD,从而得到 ∠C+∠DGE=180°,由此能证明 C,E,G,D 四点共圆. (Ⅱ)由切割线定理推导出 EB=2,由此能求出 CE 的长. 解答: (Ⅰ)证明:连接 BD,则∠AGD=∠ABD, ∵∠ABD+∠DAB=90°,∠C+∠CAB=90° ∴∠C=∠AGD, ∴∠C+∠DGE=180°, ∴C,E,G,D 四点共圆.…..(5 分)

(Ⅱ)解:∵EG?EA=EB ,EG=1,GA=3, ∴EB=2, 又∵F 为 EB 的三等分点且靠近 E, ∴ , ,
2

2

又∵FG?FD=FE?FC=FB , ∴ ,CE=2.…. (10 分)

点评:本题考查四点共圆的证明,考查线段长的求法,是中档题,解题时要注意圆的性质的 灵活运用.

23. 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

, (t 为参数) ,以坐标原点为
2

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ ﹣4ρsinθ+3=0. (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P 是曲线 C 上的动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围. 考点:点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (1)用代入法消去参数 t,把直线 l 的参数方程化为普通方程;根据直角坐标和极 坐标的互化公式 x=ρcosθ、y=ρsinθ,把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程. (2) 设点 P (cosθ, 2+sinθ) (θ∈R) , 则 ,

由此求得 d 的取值范围. 解答: 解: (1)用代入法消去参数 t,把直线 l 的参数方程化为普通方程:2x﹣y﹣2=0. 根据直角坐标和极坐标的互化公式 x=ρcosθ、y=ρsinθ, 2 2 把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程:x +(y﹣2) =1. (2) 设点 P (cosθ, 2+sinθ) (θ∈R) , 则 所以 d 的取值范围是 . ,

点评:本题主要考查把极坐标方程、 极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 点到直线的距离 公式的应用,三角函数的值域,属于基础题.

24. 设函数 f(x)=|x﹣a|+3x, (a∈R) . (1)求不等式 f(x)>3x+1 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤﹣1},求 a 的值. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析: (1)f(x)>3x+1?|x﹣a|+3x>3x+1?|x﹣a|>1,利用绝对值不等式的几何意义 即可求得原不等式的解集; (2)不等式|x﹣a|+3x≤0 等价于 3x≤x﹣a≤﹣3x,转化为不等式组即 ,通过对

参数 a<0 与 a≥0 的讨论,利用不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤﹣1},即可求得 a 的值. 解答: 解(1)由 f(x)>3x+1 化简可得|x﹣a|>1,即 x﹣a>1 或 x﹣a<﹣1, 解得:x>a+1 或 x<a﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ∴不等式 f(x)>3x+1 的解集为{x|x>a+1 或 x<a﹣1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

(2)不等式|x﹣a|+3x≤0 等价于 3x≤x﹣a≤﹣3x,即



﹣﹣﹣﹣(6

分) 若 a<0 则原不等式的解集是 若 a≥0 则原不等式的解集是 ={x|x≤﹣1},此时 a=﹣4 ={x|x≤﹣1},此时 a=2

综上:a=2 或 a=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 点评:本题考查绝对值不等式的解法, 着重考查转化思想与分类讨论思想的综合应用, 考查 运算求解能力,属于中档题.


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