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【精选】高三数学上学期期末复习试题

浙江省建德市新安江中学 2019 届高三数学上学期期末复习试题

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1.设全集U ? R,集合 A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0} ,则 (CU A) ? B ? ( )

A.{x | ?3 ? x ? 0}

B.{x | ?1 ? x ? 0}

C.{x | 0 ? x ?1}

D.{x | 0 ? x ? 3}

2.已知复数 z1

? m ? 2i ,

z2

? 2 ? i ,若 z1 z2

为实数,则实数 m 的值为(



A.1

B. ?1

C.4

D. ?4

3.已知 cos(α - π) + sinα = 4 3 ,则 sin(α + 7 π) 的值是( )

6

5

6

A. - 2 3 5

B. 2 3 5

4. 函数 y ? ? cos x 的图象大致是( ln | x |

C.- 4 5


D. 4 5

5.数列{an} 前 n 项和为 Sn ,则“ a2 ? 0 ”是“数列{Sn} 为递增数列”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.设函数

f

?

x?

?

sin

? ??

2x

?

π 4

? ??

? ? ?

x

?

???0,

9π 8

? ??

? ? ?

,若方程

f

?x?

?

a

恰好有三个根,分别为

x1, x2 , x3 (x1 ? x2 ? x3 ) ,则 2x1 ? 3x2 ? x3 的值为(



A. π

B. 3π 4

C. 3π 2

D. 7π 4

? y ? m, 7.设 m?R ,实数 x, y 满足 ??2x ? 3y ? 6 ? 0, ,若 2x ? y ? 18,则实数 m 的取值范围是
??3x ? 2 y ? 6 ? 0.

1

()

A. ? 3 ? m ? 5 B. ? 2 ? m ? 6 C. ? 3 ? m ? 6 D. ? 2 ? m ? 5

8.已知

? ??

x

?

a x2

5
? ??

的常数项为

15,则函数

f

(x)

?

log 1
3

(x

? 1)

?

a x ?1

在区间

????

2 3

,2???

上的

最大值为( )

A.-10

B.0

C.10

D. log

1 3

2

?

3 2

9.已知函数 f ? x? ? { loga x, x ? 3 若 f ?2? ? 4 ,且函数 f ? x? 存在最小值,则实数 a 的
mx ? 8, x ? 3

取值范围为( )

?A. 1, 3??

B. ?1,2?

C.

? ??? 0,

3?

3

? ?

? D. ?? 3, ??

10.已知双曲线

C



x2 a2

?

y2 b2

?1

?a ? 0,b ? 0? 的左右焦点分别为 F1 ,F2 ,P 为双曲线 C

上一点, Q 为双曲线 C 渐近线上一点, P , Q 均位于第一象限,且 2QP ? PF 2 ,

QF1 ?QF 2 ? 0,则双曲线 C 的离心率为(

) 、、···¨

A. 3 ?1

B. 3 ?1

C. 13 ? 2

D. 13 ? 2

二、填空题:本题共 7 道小题,多空题每题每空 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.

11.设等比数列?an? 的首项 a1 ? 1 ,且 4a1, 2a2, a3 成等差数列,则公比 q ? ___________;数

? ? 列 an 的前 n 项和 Sn ? ___________. 、、···¨

12.已知随机变量

x

的分布列,其中 ?

?

? ??

0,

? 2

? ??

,则

sin

?

=

, E?x?=

.

13.在 ?ABC中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且
2

sin2 B ? sin2 C ? sin B sin C ?sin2 A ? 0 .(1) A ?

;(2)若 B ? π ,则 4

b? c

. 、、···¨

14.已知函数

f

?x?

?

? ? ?

? ??

1 2

?x ? ?

? 1,

??2x2 ? ln x,

x ? 0, 则 f ? f ??1?? ? ___________;若函数 y ? f ? x? ? a 有
x ? 0,

一个零点,则 a 的取值范围是___________. 15.有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡

片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10,

则不同的排法共有

种(用数字作答). 、、···¨

16.已知正数 a, b 满足 2a ? b ? 1,则 4a 2 ? b2 ? 4 ab 的最大值为 ▲ .

17.在 ?ABC中,?ACB为钝角,AC ? BC ? 1, CO ? xCA ? yCB 且 x ? y ?1,函数

f (m) ? CA ? mCB 的最小值为 3 ,则 CO 的最小值为 ▲

.

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤.

18.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? m 在区间[0, ? ] 上的 3
最大值为 2 .

(Ⅰ)求常数 m 的值;

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c ,若

f ( A) ? 1, sin B ? 3sin C , ?ABC 面积为 3 3 ,求边长 a . 4

? ? 19.(本小题满分 15 分)已知在数列 an 中, a1 +2 a2 +3 a3 +…+n an =n (2n+1) (n? N? )
3

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)求数列

? ? ?

nan 2n

? ? ?

的前

n

项和

Tn

.

20.(本题满分 15 分)设函数 f (x) = c ln x + 1 x2 ? bx(b, c ? R, c ? 0,1) ,且 x ?1 为 f (x) 的 2
极值点.
(1)若 x ?1 为函数的极大值点,求 f (x) 的单调区间(用 c 表示).
(2)若 c ? 2 , y ? m与 f (x) 有且只有一个交点,求 m 的取值范围.

? ? 21. (本小题满分 15 分)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn = 3an ? 2n(n ? N ? )

(1)求数列?an? 的通项公式;

? ? (2)设 bn

?

an ?1 an ? an?1



bn

的前

n

项和为 Tn

,求证: Tn

?

1 4

.

22. (本小题满分 15 分)已知函数 f (x) ? aex ? a ?1 ? 2(a ?1) x
(1)函数在(1, f (1) )处的切线与 x 轴平行,求 a 的值;
(2)当 a ? 0 时,对任意的 x ?(0, ??) , f (x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

4

2018 年杭州市第一次高考科目教学质量检测模拟

数学科目答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

D

C

D

B

D

C

C

A

D

11.2,2n -1

12. 4 ,1 5

13. ? , 3-1 3

14.

2,???0,12

+

ln

2

? ??

、、··· ¨

15.432

16. 2+1

17. 1 2

? ? 18.解:(1) f ? x? ? 2 3 sin x ? cos x ? 2cos2 x ? m ? 2sin 2x ? ? ? m ?1, 6

因为

x

?

???0

,? 3

? ??

,所以

2x

?

? 6

?

?? ?? 6

,5? 6

? ??



所以当

2x

?

? 6

?

? 2



x

?

? 6

时,函数

f

?

x?

在区间

???0

,? 3

? ??

上取到最大值,

? ? 此时, f ? x?max ? f

? 6

? m ? 3 ? 2 ,得 m ? ?1.

? ? (2)因为 f ? A? ?1 ,所以 2sin

2

A

?

? 6

?1,

? ? 即 sin 2A ? ? 6

?

1 2

,解得

A?

0 (舍去)或

A

?

? 3



因为 sin

B

?

3sin C

,

a sin

A

?

b sin B

?

c sin C

,所以 b

?

3c

.

因为 ?ABC 面积为 3 3 4

,

所以 S

?

1 2

bc

sin

A

?

1 2

bc

sin

? 3

?

33 4

,即 bc ? 3 .-----②

由①和②解得 b ? 3,c ? 1 ,

因为

a2

?

b2

?

c2

?

2bc ? cos

A

?

32

? 12

?

2 ? 3?1? cos

? 3

,所以 a

?

7.

19.(1) n ? 2 时, a1 +2 a2 +3 a3 +…+(n-1) an?1 =(n-1)(2n-1),? nan ? 4n ?1 ,

an

?

4?

1 n

,当 n ?1 时, a1

?

3 满足上式,?

an

?

4?

1 n

(n ?

N?).

(2)记 bn

?

nan 2n

,则 bn

?

4n ?1 , 2n

?Tn

?

3 2

?

7 22

?

11 23

?

?

4n ?1 , 2n

1 2

Tn

?

3 22

?

7 23

?

11 24

?

? 4n ?1 , 2n?1

两式相减,得

1 2

Tn

?

7 2

?

4n ? 7 2n?1

,?Tn

?

7

?

4n ? 2n

7

.

20. f ?(x) ? c ? x ? b ? x2 +bx ? c ,因为 x ?1 为 f (x) 的极大值点,所以 f ?(1) ? 0

x

x

5

所以 b ? c ?1? 0 且 c ? 1, f ?(x) ? (x ?1)(x ? c) . x
(1) 因为 x ?1为 f (x) 的极大值点,所以 c ?1.

x

?0,1?

1

?1, c?

f ?(x)

+

0

_

极大

f (x)

?

?

c (c, ??)

0

+

极小
?

所以 f (x) 的单调递增区间为 ?0,1? , (c, ??) ;单调递减区间为 ?1,c? .

(2) 由 ( 1 ) 知 , 当 c ? 3 时 , f ( x?)

3 1?xl 2 n x? , x4 2

f ?(x) ? 3 ? x ? 4 = x2 ? 4x ? 3 ? (x ?1)(x ? 3) .

x

x

x

x

?0,1?

1

?1,3?

3

(3, ??)

f ?(x)

+

0

_

0

+

极大

极小

f (x)

?

?

?

f (x)极大 =

f (1) ?

1 2

?3

?

?

5 2



f

(x)极小 =

f (3) ? 3ln 3 ? 9 ?12 ? 3ln 3 ? 15

2

2

所以

m

的取值范围是

? ??

??,

3

ln

3

?

15 2

? ??



(?

5 2

,

??)

.

21.(1)当 n ? 2 时,2S n?1? 3an?1 ? 2(n ?1) ,所以 an ? 3an?1 ? 2 ,所以 an ?1 ? 3(an?1 ?1) .

又 2a1 ? 2S1 ? 3a1 ? 2 ,得 a1 ? 2 ,故 a1 ?1 ? 3 , a2 ?1 ? 9 ,当 n ?1 时也成立,所以数列

? ? an ?1 是首项为 3,公比是 3 的等比数列,所以 an ?1 ? 3n , an ? 3n ?1.

(2)由(1)知

an

?

3n

?1,所以 bn

?

(3n

3n ? 1)(3n ?1

?1)

?

1 2

1 (3n ?1

?

1

3n?1

) ?1

所以 Tn

?

1 2

(1 ? 3?1

1 32 ?

1

?

1 32 ?1

?

1 33 ?1

?

=

1 2

(

1 2

?

3n?11 ?1)

<

1 4

?

1 3n ?1

?

1 3n?1

) ?1

=

1 2

(

3

1 ?1

?

1 3n?1

?

) 1

6

22.(1) f ?(x) ? aex ? a ?1 , f ?(1) ? 0 ,所以 ae ? a ?1 ? 0,所以 a ? ? 1 .

x2

e ?1

(2)由已知得 f (x)min ? 0(a ? 0, x ? 0)

f

?( x)

?

aex

?

a ?1 x2

?

aex x2

? (a x2

? 1)

,令

g(x)

?

aex

x2

?

(a

?1),

(a

?

0,

x

?

0)

g?(x) ? a(2x ? x2 )ex ? 0 得 g(x) 在 (0, ??) 上递增,

又 g(0) ? ?(a ?1) ? 0 ,,而 g(x) ? aex x2 ? (a ?1) ? ax2 ? (a ?1) ,所以 g( a ?1) ? 0 , a
(或当 x ???时, g(x) ? ?? )

所以存在 x0

? (0, ??) ,使得 g(x0 )

?

0 ,得 aex0

?

a ?1 . x02

当 0 ? x ? x0 时, g(x) ? 0 , f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递减;

当 x ? x0 时, g(x) ? 0 , f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递增;



f

( x)min

?

f (x0 )

? aex0

?

a ?1 ? 2(a ?1) = a ?1 ?

x0

x02

a ?1 ? 2(a ?1) ? 0 x0

得 0 ? x0 ? 1,又因为 g(x) ? aex x2 ? (a ?1) 在 (0, ??) 上递增,且 0 ? x0 ? 1,

所以 0

?

g(x0 )

?

g (1)

,由 0

?

g(1)



a

?

1. e ?1

7



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