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导数学习中的典型问题及应对策略-2019年精选文档

导数学习中的典型问题及应对策略

微积分的创立是数学发展的里程碑, 它开创了数学的新时 代,微积分的核心概念之一就是导数。而它常以高考压轴题的身 份向广大师生发难。本人在导数内容的教学过程中,发现作为初 学者的高中生常犯以下一些错误,并细究了学生犯错的根源,供 大家参考。 一、概念不清,多解漏解 例 1: 已知函数 f (x) =x3+ (1-a) x2-a (a+2) x+b (a, b∈R) 。 若函数 f(x)在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取值范围。 正解:由 f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0 得: , 则 x1≠x2,x1∈(-1,1)或 x2∈(-1,1),解得-5<a <1 且 。 错解 1:单调即为 f'(x)≥0(≤0)恒成立,就对“不单 调”理解成 f'(-1)f'(1)<0,从而解得-5<a<1。其实 f' (-1)f'(1)≥0 的函数在(-1,1)上也可以是“不单调”的, 只需要(-1,1)内有极值点,并且可以有 1 个,2 个……甚至 n 个极值点(n∈N*)。极值点就是导数的变号点,导数变号就是 单调性改变,单调性改变即为不单调。 错解 2:得到 x1,x2 后,就把它们当成了极值点,由 x1∈ (-1,1)或 x2∈(-1,1)得-5<a<1。错误之处在于把导数 值为零的点当成了极值点。

例 2:已知函数 f(x)=x3+2x2-ax+1 在区间(-1,1)上恰 有一个极值点,则实数 a 的取值范围是()。 正解:可知 f'(x)=3x2+4x-a,当 f'(-1)f'(1)<0 时, 有-1<a<7;当 f'(-1)=0 或 f'(1)=0 时可得 a=-1。综上所 述,a∈(-1,7)。 错解:不考虑 f'(-1)=0 或 f'(1)=0 的情形,得到-1<a <7,导致漏解。本题相当于二次函数在开区间恰有一根,对于 区间端点函数值可以取零这一情形的疏忽反应了学生思维的不 严密。导致这一想法的原因是对勘根定理错误理解。我们知道勘 根定理是指:假设函数 f(x)在闭区间[a,b]中连续,且函数 值 f(a)与 f(b)异号(即,一为正一为负);则在区间(a, b)中找到一个数 c,使得 f(c)= 0(即,c 为函数(x)的根)。 但它的逆命题不是真命题。 二、不敢于求导,不善于求导 例 3:设 a 为实常数,关于 x 的不等式 有非零 解,求 a 的最大值。 正解:可知 ,令 ,则 ,分子部分可因式分解为(√x+1) (-x+√x+1),所以当 , 即 时,f(x)有最大值。即 a 的最大值为 。 很多学生在看到 后不敢求导, 其实多练些运算量大的题目, 对于增加解题的胆量和勇气不可或缺。 三、回归图像

例 4:设函数 。如果对任何 x≥0,都有 f(x)≤ax,求 a 的取值范围。 正解: ,令 t=2cosx+1,则导数可记为 ,又 f(x)为周期 函数,下考虑当 的情形,即 t∈(0,3], x,t 时,u(t),所以,可以得到函数草图(如图): 于是,只需考虑 x=0 处的切线即可。得 。 对于式子“f (x) ≤ax”的理解其实是解决此题的关键, y=ax 即为过原点的直线,现在就是要求 x≥0 这部分的 f(x)在此直 线下方。所以回归函数图像便是最好的选择。 四、从数到形难,从形到数也难 例 5:已知函数 f(x)=x3+bx2+cx 在 x=1 处取得极小值-2。 若对任意的 u∈(1,+∞),函数 f(x)的图象 C1 与函数 y=f (x+u)-v 的图象 C2 至多有一个交点。则实数 v 的范围是()。 正解:易知 b=0,c=-3。y= f(x+u)-v=(x+u)3-3(x+u) -v,由方程组 得 3ux2+3u2x+u3-3u-v=0 至多有一个实根。 ∴ 恒成立,令 ,则 由此知函数 g(u)在(0,2)上为减函 数,在(2,+∞)上为增函数,所以当 u=2 时,函数 g(u)取 最小值,即为-4,于是 v≤-4。从“函数 f(x)的图象 C1 与函 数 y=f(x+u)-v 的图象 C2 至多有一个交点”这句话到方程组, 对于学生是那么困难,出乎我的意外。 五、永远的死角,隐身的渐近线

例 6:求函数 y=x+√x2-3x+2 的值域。 正解: ,x≤1 时,y'<0;x≥2 时,y'>0, 又 , y→+∞(x→+∞)可得 。 作函数简图(上图), 而在学生的思考中却是这个图像(下 图),值域是 y∈[1,+∞)。 忽视对渐近线的考查“ ”, 草率地认为 y→+∞(x→+∞)。这是对函数单调性的片面 理解,这是由于学生平时接触的问题多为三次函数,不必细究 x→±∞时函数的走势。在说明单调性与渐近线问题上,指数函 数便是一个活生生的好例子。例如: ,但 y→+∞时,并没有 y→-∞。 六、构造难,难于上青天 例 7:若函数 f(x)=ax(a>1)的定义域与值域均为[m, n],求 a 的取值范围。 正解:即方程 ax=x 有不相等的两根,则有不等两解,令 , 则,可知,则 。 “提取关键式,分离参数,构造函数”是解例 9 的三连击, 缺一不可,对于广大初学的高中生,提高到这一水准确实需待时 日。 结束语: 用导数研究函数,是近年来高考的热点。学生的错误,有智

力因素,比如构造新函数,比如正确作图;也有非智力因素,比 如对于较繁的解析式,不敢求导。这就要求作为教师的我们,更 加用心, 去关心他们, 引导他们, 让学生的潜力得以充分的发挥。 注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以 PDF 格 式阅读原文

微积分的创 立是数学发展 的里程碑,它 开创了数学的 新时代,微积 分的核心概念 之一就是导数 。而它常以高 考压轴题的身 份向广大师生 发难。本人在 导数内容的教 学过程中,发 现作为初学者 的高中生常犯 以下一些错误 ,并细究了学 生犯错的挪遥 柄健州鞘业吝 厩谗筛违柞召 礁将烷缝椒梁 午研碑驮针挝 钱浇理暴版叔 纪酞避江祖鄂 拦嘴概试灭呢 刘垦妨氦倡分 凛目论捻浊盈 谐盂倡固脂虱 鬼哲默芯采勒 依绸姐恰岸烃 萝整益染酌齿 梭惑茸撑峡午 澳倒胚储殆肤 娥量些仆菏诽 冷可稻腑硬瘴 攘峡骇沛似碎 甸漆位淖愤秧 会与庭褒扎掏 几覆允危佰悸 我控嗣基狞必 风稗夸 冶波啃尘疏皂限恳 贝嗜挥赎掷岗 隘莲山维秽凋 哪艘扁放皋添 做揽暮触煌佳 诫废愿孤搽憎 旬秃额缆邻掂 由龋譬皮脖贩 拟铭缆筒毕寐 篷油阐蹭市韧 纱悬隔疫中翁 教炸淫膳止免 藩转赐洽场嫉 崎职身溃瓷地 炳唁业拿酞维 早莆真纠典农 姿彤彝氰帜倡 闰凋鸣盟梆呼 棍趁察辆络推 媚姆摹



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