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高中数学函数单调性第一课时课件人教版A必修一


观察下列各个函数的图象,并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律:

1、观察这三个图象,你能说出图象的特征吗? 2、随x的增大,y的值有什么变化?

1. 观察函数图象,从左向右函数图象如何变化? 2. 针对函数y=x2在[0,+∞ )上图像,任取自 变量 的两个值,比较其对应函数值的大小. 3. 总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化 规律.

画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x2

∞,0]上, f(x) 的值随着 x 的增大而 1 、在区间 (____ 减小 . ______ 2、 在区间 (0,+∞) _____ 上,f(x)的值随着x的增大而 增大 . _____

一般地,设函数的定 义域为 I: 如果对于属于定 义域为 I内某个区间上 的任意两个自变量的 值x1、x2 ,当x1<x2时,都 有f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增 函数.

y
f ( x1 )

f ( x2 )

o

x1

x2

x

一般地,设函数 f ( x )的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1 ,x 2 。当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 那么就说 f ( x )在这个区间上是增函数。

一般地,设函数的定 义域为 I: 如果对于属于定 义域为 I内某个区间 上的任意两个自变量 的值x1、x2 ,当x1<x2时, 都有f(x1) >f(x2),那么 就说f(x)在这个区间上 是减函数.

y

f ( x1 )

f ( x2 )

o

x1

x2

x

一般地,设函数 f ( x )的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1 ,x 2 。当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 那么就说 f ( x )在这个区间上是减函数。

如果函数 y ? f ( x ) 在某个区间上是增 函数或减函数,那么就说函数 y ? f ( x ) 在这一区间具有(严格的)单调性, 这一区间叫做 y ? f ( x ) 的单调区间。

注:
1.函数的单调性也叫函 数的增减性 2.函数的单调性是对某个区间而言 的,它是一个局部概念.

例1 下图是定义在闭区间[-5,5]上的函 数 y ? f ( x ) 的图象,根据图象说出 y ? f ( x ) 的单调区间,以及在每一区间上, y ? f ( x ) 是增函数还是减函数.

y

3 2 1 -1 O1 -1 2 3 4 5

-2
-5 -4 -3

x

-2

解:函数 y ? f ( x) 的单调区间有 [-5,-2), [-2,1), [1,3), [3,5], 在区间[-5,-2), [1,3)上是减函数 在区间[-2,1), [3,5)上是增函数.

y

3 2 1

-2 -5 -4 -3

-1

O1 2 3 -1 -2

4

5

x

如图,已知 y ? f ( x ) 的图象(包括端点), 根据图象说出函数的单调区间,以及 在每一区间上,函数是增函数还是减 函数.

y ? f ( x)
-2 -1

y

1

o
-1

1

2

x

如图,已知 y ? f ( x ) 的图象(包括端点), 根据图象说出函数的单调区间,以及 在每一区间上,函数是增函数还是减 函数. y

y ? f ( x)
??
?

?
2

1

o
-1

?
2

?

x

练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间, 并指明其单调性.

图(1)

图(2)

y
o y x x

y

在(-∞,+∞) 是减函数 在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
b ? ? - ?, - ? 在? 2a ? ?

在(o y x x

∞,+∞)是
增函数
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是增函数
? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ?

o
y o

o
y o

x

增函数 ? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ? 减函数

增函数 b ? x 在? - ? ? - ?, 2a ? ? 减函数

例2 证明函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 在R上是 增函数.
证明:设x1,x2是R上的任意两个实数, 任意取值 且x1<x2 ,则 作差变形 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2). 由x1<x2 ,得x1-x2<0, 判断符号 于是f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 得出结论 所以, f(x)=3x+2在R上是增函数.

判断函数单调性的方法步骤
? ? ? ? ? ?

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: ①任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差f(x1)-f(x2); ③变形 (通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上 的单调性).

1 例3 证明函数 f ( x ) ? 在(-∞,0)上 x 是减函数.
证明:设 x1 , x 2 是 上的任意两个 (- ∞ ,0)
实数,且
1 1 x 2 ? x1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? x1 x 2 x1 x 2

x1 ? x2 ,则

由 x2 , x1 ? (??,0),得 x1 x 2 ? 0

又由 x1 ? x 2 , 得 x 2 ? x1 ? 0
于是

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

1 f ( x) ? 所以, 在 上是减函数. (- ∞ ,0 ) x

1 (2) y ? ( x ? 0) x
解:函数图象如右图所示:
y

(-∞,0)和(0,+ ∞) 是两个单调减区间。

1 -1 O 1
1 x

思考:能否说该函数在区间
(-∞,0)∪(0,+ ∞) 上是单调减函数? 不能

练习
1、判断f(x)=x2-1在(0,+ ∞)
上是增函数还是减函数?

增函数 增函数
y ? ? x 2 ? 2x
2 x

2、判断f(x)=-x2+2x在(- ∞,0)
上是增函数还是减函数?
O

y

1

课堂小结,知识再现

1、函数单调性是对定义域的某个区间而言 的,反映的是在这一区间上函数值随自变量变 化的性质.



2、判断函数单调性的方法: (1)利用图象:



在单调区间上,增函数图象从左向右是 上升的,减函数图象是下降的.
(2)利用定义: 用定义证明函数单调性的一般步骤: 任意取值→作差变形→判断符号→ 得出结论.

巩固概念 判断:
1

1、已知 f ( x) ? x ,因为f (?1) ? f (2), 所以函数 f ( x)是增函数。 错 错 2?和?2, 3?上均为增函数,则 f ( x)在?1 , 3?上为增函数 2、若函数 f ( x)在区间?1, 1 f ( x ) ? 3、因为函数 在区间上 (??,0)和(0,??)都是减函数,所以 x
f ( x) ? 1 x

在上 (??,0) ? (0,??) 是减函数。



强调 :①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单 调性. ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数),有的函数只在定义域内的某些区 间单调(如二次函数),有的函数根本没有单调区间(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数 在上是增(或减)函数.



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