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函数高考复习:函数的奇偶性与周期性


函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性. 1? x 1? x ; ? f ? x ?=( x-1) ; ?1? f ? x ?=lg ?2 1? x 1? x ? x 2 ? x( x ? 0) 1 1 ? ; ? f ? x ?= x - . ? 3? f ? x ?= ? ? 2 ?4 2 ?1 2 ? x ? x( x ? 0) ?

1? x 【解析】1?由 ? 0,得-1 ? x ? 1, ? 1? x 故f ? x ?的定义域关于原点对称. 1? x 1 ? x -1 又f (-x)=lg =lg( ) 1? x 1? x 1? x =-lg =-f ? x ?, 1? x 故原函数是奇函数. 1? x ? 0,得-1 ? x ? 1,定义域不 ? 2 ?由 1? x 关于原点对称,故原函数是非奇非偶函数.

0) ? 3? f ? x ?的定义域为(-?, ? (0,+?), 它关于原点对称. 又当x ? 0时,f ? x ?=x 2+x,则当x ? 0时,-x ? 0, 故f (-x)=x 2-x=f ? x ?; 当x ? 0时,f ? x ?=x 2-x,则当x ? 0时,-x ? 0, 故f (-x)=x 2+x=f ? x ?. 故原函数是偶函数.

? 4 ?因为f ? x ?的定义域为R,且f (-x)
1 1 2x 1 1 1 = x ? ? - = - x =-f ? x ?, x 2 ?1 2 1? 2 2 2 2 ?1 故原函数是奇函数.

在函数奇偶性的定义中,有两个必备条件, 一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇 偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域对 解决问题是有利的; 二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在 判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的 等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)- f(-x)=0(偶函数))是否成立,这样能简化运算.

如本题中(4),判断f(x)+f(-x)=0是 否成立,要方便得多.本题(3)是分段函数 判断奇偶性,分段函数指在定义域的不同 子集有不同对应关系的函数.分段函数奇 偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等 式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立, 只有当对称的两个区间上满足相同关系时, 分段函数才具有确定的奇偶性.

【变式练习 】 1 判断下列函数的奇偶性.

?1? f ? x ?=

1 ? x 2 + x 2 ? 1;

lg?1 ? x 2 ? ; ? 2 ? f ? x ?= | x ? 2 | ?2 3? f ? x ?=lg( x+ x 2 ? 1). ? ? x x ?1 ? ? 4 ? f ? x ?= ? ?2 ? x x ? 1 ?

【解析】1?因为定义域{-1,1}关于原点对称, ? 且f (-x)= ? f ? x ?, 所以原函数既是奇函数又是偶函数. 2 ?由1-x 2 ? 0,得-1 ? x ? 1, ? 则 | x-2 | -2=-x,且f (-x)=-f ? x ?, 故原函数是奇函数.

? 3?因为定义域为全体实数,且
f (-x)=lg( 1 ? x -x)=lg
2

1 1 ? x2 ? x

=-lg( x+ 1 ? x 2 )=-f ? x ?, 故原函数是奇函数.

? 4 ?因为定义域是R,关于原点对称, 作出函数f ? x ?的图象,可知是偶函数.

函数奇偶性的应用
【例2】 若函数f ? x ?=log a ( x+ x ? 2a )是奇
2 2

函数,求实数a的值.

【解析】定义法:由f ? x ?+f (-x)=0, 得log a ( x+ x 2 ? 2a 2 )+log a ( x 2 ? 2a 2-x)=0, 即log a 2a 2=0,所以2a 2=1. 2 因为a ? 0,所以a= . 2 性质法:因为奇函数的定义域为全体实数, 所以函数在原点有定义, 则f ? 0 ?=0,即log a 2a 2=0, 2 则2a =1,得a= . 2
2

抓住奇函数的定义或特殊性质, 是解决此类问题的重要法宝.

【变式练习2】 设a,b ? R且a ? 2,定义在D上的函数 1 ? ax f ? x ?=lg 是奇函数,求定义域D. 1 ? 2x

1 ? ax 1 ? ax 【解析】由f ? x ?+f (-x)=0,得lg +lg =0, 1 ? 2x 1 ? 2x 1 ? a2 x2 即lg =0,所以1-a 2 x 2=1-4x 2,得a 2=4. 1 ? 4 x2 又a ? 2,所以a=-2. 1 ? 2x 故函数的定义域D由 ? 0确定, 1 ? 2x 1 1 解得- <x< . 2 2 1 1 故原函数的定义域D为(- , ) 2 2

函数的周期性
【例3】 偶 函 数 f(x) 满 足 f(x + 3) = - f(x) , 当 x∈[-3,-2]时,f(x)=2x,求f(116.5) 的值.

【解析】因为f(x+6)=f[3+(x+3)]=- f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的周期T=6. 又116.5=19×6+2.5, 所以f(116.5)=f(2.5)=f(-2.5)=2×(- 2.5)=-5.

求周期函数的函数值,要根 据函数的周期性,将自变量的范 围转化到已知区间上,利用已知 区间上函数的表达式求函数值.

【变式练习2】 已知函数f(x)(x∈R)的图象经过原点, 且f(x+2)=f(x+5),求f(2010)的值.

【解析】令u=x+2,得x=u-2, 则f(u)=f(u+3),所以函数f(x)的周期为3. 依题意,f(0)=0,且2010=670×3, 所以f(2010)=f(0)=0.

【例4】

函数的奇偶性、 周期性的综合

已知f ? x ? 是定义在R上的函数,f (2+x)=-f 1 (2-x),f ( x+2)=- . f ? x?

?1?函数f ? x ? 是不是周期函数,
若是,求出其一个周期;

? 2 ? 判断f ? x ?的奇偶性.

【解析】1? f ? x ? 是周期函数. ? 1 因为f ( x+4)=f [2+( x+2)]=- =f ? x ?, f ? x ? 2? 故其一个周期为4.

? 2 ?由f (2+x)=-f (2-x),
令u=2-x,则x=2-u, 故f ? u ?=-f (4-u ),即f ? x ?=-f (4-x). 用-x代x,得f (-x)=-f ( x+4). 结合 ?1? 知,f (-x)=-f ? x ?, 所以函数f ? x ? 是奇函数.

在抽象函数讨论中,函数的奇偶性、 周期性与函数图象的对称性是紧密联系 在一起的,如偶函数具有对称轴x= a(a>0),则一定是周期函数.因为图象 关于x=a(a≠0)对称,则f(a-x)=f(a+x) 成立,所以f(2a+x)=f[a+(a+x)]=f[a -(a+x)]=f(-x)=f(x),所以周期为2a.

【变式练习4】 f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+3) =f(3-x).若x∈(0,3)时,其解析式为y =x2+1,求x∈(-6,-3)时,函数f(x) 的解析式.

【解析】因为f(x)在R上是奇函数, 所以f(6+x)=f[3+(3+x)]=f[3-(3+x)] =f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-f(x+6). 当x∈(-6,-3)时,x+6∈(0,3), 所以f(x+6)=(x+6)2+1, 则f(x)=-x2-12x-37(x∈(-6,-3)).

1.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数, 1 则a=_________
【解析】由f(-1)=f(1),得0=2(1- a),所以a=1.

1 ? x2 ? x ? 1 2.判断函数f ? x ?= 的奇偶性, 2 1? x ? x ?1 奇 是________函数.

【解析】定义域是R,关于原点对称, 且f(x)+f(-x)=0,故为奇函数.

3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)= -f(x),则f(6)的值为________ 0 【解析】方法1:因为f(x)是奇函数, 所以f(0)=-f(-0)=-f(0),所以f(0)=0, 所以f(6)=-f(4)=f(2)=-f(0)=0. 方法2:因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数. 又因为f(0)=-f(-0)=-f(0),所以f(0)=0, 所以f(6)=f(2)=-f(0)=0.

4.已知f(x)是R上的奇函数,当x>0时, f(x)=2x+log2x,求函数f(x)的解析式.
【解析】设x ? 0,则-x ? 0, 所以f (-x)=2-x+log 2 (-x), 那么f ? x ?=-f (-x)=-2-x-log 2 (-x). 又f ? 0 ?=0, ?2 x+log 2 x( x ? 0) ? 所以f ? x ?=?0( x ? 0) ?-2-x-log (-x)( x ? 0) 2 ?

5.已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x +y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数; (2)若f(-3)=a,用a表示f(12).

【解析】1? 证明:显然f ? x ?的定义域关于 ? 原点对称. 在f ( x+y )=f ? x ?+f ? y ?中, 令x=y=0,得f ? 0 ?=0. 令x+y=0,即y=-x, 得f ? 0 ?=f ? x ?+f (-x),即f (-x)=-f ? x ?, 故f ? x ? 为R上的奇函数.

? 2 ?由f (-3)=a,f ( x+y )=f ? x ?+f ? y ?, f ? x ? 为奇函数得f ?12 ?=2f ? 6 ?=4f ? 3?
=-4f (-3)=-4a.

1.函数的奇偶性是函数在其定义 域上的整体性质,定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件.因此,判断函数的奇偶性,一要 看定义域是否关于原点对称;二要看 f(x)与f(-x)的关系.

2.判断函数奇偶性的方法一般有两 种:一是定义法,步骤:看定义域是否关 于原点对称,若不对称,则该函数为非奇 非偶函数;若对称,则看解析式能否化简, 能够化简的,一定要化简解析式;看f(x)与 f(-x)的关系,可以直接观察,也可以用定 义的变形式;二是图象法,作出图象,根 据图象的对称性得出结论,一般分段函数 的奇偶性的判断多用图象法.

3.奇函数f(x)如果在x=0处有意义,则 必有f(0)=0,即奇函数的图象若与y轴有交点, 则交点一定是原点. 4.如果一个函数既是奇函数又是偶函 数,则这个函数的函数值恒为0,且定义域 关于原点对称. 5.函数的周期性亦是函数在其定义域 上的整体性质,它反映了函数值周期变化的 规律.值得注意的是周期函数不一定存在最 小正周期.注意以下几个常用结论:

?1? 若函数f ? x ? 满足f ( x+T )=-f ? x ? (T ? 0), 则f ? x ? 是周期函数,且2T 是它的一个周期.
1 (T ? 0), ? 2 ? 若函数f ? x ? 满足f ( x+T )= ? f ? x? 则f ? x ? 是周期函数,且2T 是它的一个周期. 1 ? f ? x? (T ? 0), ? 3? 若函数f ? x ? 满足f ( x+T )= 1 ? f ? x? 则f ? x ? 为周期函数,且4T 是它的一个周期.

1.(2011·泰州市第一次联考卷) 设f(x)是定义在R上的奇函数,且 f(3) +f( -2) =2 ,则f(2) -f(3) = ________.

【解析】由f(3)+f(-2)=2得-f(3)- f(-2)=-2,由奇函数定义得f(2)- f(3)=-2. 答案:-2 选题感悟:函数的奇偶性是函数的重 要性质,要准确理解和熟练掌握函数 奇偶性的定义.

2.(2011·南京二模卷)定义在R上的 奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x) =log2x,则不等式f(x)<-1的解集是 ________________.

?log 2 x( x ? 0) ? 【解析】由题意知f ? x ?=?0( x ? 0) , ?-log (? x)( x ? 0) 2 ? ?x ? 0 ?x ? 0 所以 ? 或? , ?log 2 x ? ?1 ??log 2 (? x) ? ?1 1 解得0 ? x ? 或x ? -2, 2 1 即所求解集为(-?,-2) ? (0, ). 2 1 答案: ?,-2) ? (0, ) (- 2

3.(2011·金陵中学期中卷)已知周期函数f(x) 是定义在R上的奇函数,且f(x)的最小正周 期为3,f(1)<2,f(2)=m,则m的取值范围为 ________. 答案:(-2,+∞) 选题感悟:函数的性质是每年高考的热点, 这类问题能全面考查考生对函数概念的理 解及性质的代数推理、论证能力.



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