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【测控指导】2018版高中数学人教B版必修1课件本章整合2


本章整合

-1-

知识建构

综合应用

真题放送

定义域:自变量取值的集合 函数的概念 值域:所有函数值构成的集合 对应法则:是联系自变量与函数值的桥梁和纽带 列表法:通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系 函数的表示法 图象法:用“图形 ”来表示函数关系 解析法:用代数式来表达函数 单调性:设任意的两个数 1 ,2 ∈,在 Δ = 2 -1 > 0 时,去判断 Δ = (2 )-( 1 )的正负 函数的性质 奇偶性:先判断定义域是否关于原点对称 ,再比较 (-)与 ()的关系来判断奇偶性 函数的零点:若函数 = ()在实数 处有 () = 0,则 为此函数的零点 一次函数的图象和性质 :其图象是一条直线,其各种性质可结合图象研究 一次函数与二次函数 二次函数的图象和性质 :其图象是一条抛物线,其各种性质可结合图象研究 函数的应用:一般体现在对一次函数、二次函数及分段函数的实际应用 ,关键就是建模与解模 分类讨论思想 :对相关参数按一定标准分别说明 数形结合思想 :数与形的相辅相成,数借助于形更直观,形赋之于数更严谨、更精确 思想方法 化归思想:将未知的问题转化成已知的问题来解决 函数与方程思想:函数的图象、方程的根、函数的零点及不等式的解的交互融合 换元法:求函数解析式、函数值域常用的一种方法 二分法:求函数的零点或方程的近似根的常用方法

知识建构

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专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题一 分段函数的相关问题 1.因为分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系,所以分 段函数可以将不同函数综合在一起,体现了知识的重组和再生; 2.解决分段函数问题能体现分类讨论的思想方法和函数性质的 综合应用,展现了基础知识的横向联系,数学方法上的纵向引申,在 考查知识上有一定的弹性,成为历年高考的必考知识点之一.

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专题一

专题二

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专题四

专题五

2 + , < 1, 应用 1 已知实数 a ≠0,函数 f(x ) = 若f(1-a)=f(1+a), --2, ≥ 1. 则实数 a 的值等于 .
提示:应讨论1-a,1+a与1的大小关系,即讨论a与0的大小关系. 解析:(1)当a>0时,1-a<1,1+a>1, 有f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a, 即2-a=-1-3a,
解得 a=? , 不符合题意,舍去;
3 2

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专题四

专题五

(2)当 a<0 时 ,1-a>1,1+a<1, 有 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a, 即 -1-a=2+3a, 解得 a=? , 符合题意. 综上可知 ,a 的值为 ? .
3 答案: ? 4

3 4

3 4

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专题一

专题二

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专题四

专题五

+ 2, ≤ 0, 应用 2 若函数 f(x) = 在R 上是减函数, - 2 + + + 4, > 0 则实数 a 的取值范围是 .
提示:f(x)在R上单调递减,应要求f(x)在每一段上都要单调递减, 并且还应使左边一段的最小值不小于右边一段的最大值. < 0, ≤ 0, 解析 :依题意 ,要使 f(x)在 R 上是减函数,则有
-2

2 ≥ + 4, 解得a≤-2.
答案:(-∞,-2]

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专题五

- 2 + , ≤ 2, 应用 3 已知函数 f(x) = 2 若存在x1,x 2∈R, -21 + 59, > 2, 且 x1≠x 2,使得 f(x1)=f(x2),则实数 k 的取值范围是 .
提示:转化为函数f(x)的图象与平行于x轴的直线至少有2个不同 交点的问题进行求解.

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专题五

解析 :依题意知 ,存在与 x 轴平行的直线与 f(x)图象至少有 2 个不 同交点 . 当抛物线 y=-x +kx 当抛物线 y=-x2+kx -4+2k>2k2- 21k+59, 解得 < < 7. 综上 ,实数 k 的取值范围是 (-∞,4)∪
答案:(-∞,4)∪
9 ,7 2
2

的对称轴 2 的对称轴 2

< 2 时 ,显然成立 ,即 k<4; > 2 时 ,应满足

9 2

9 ,7 2

.

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专题二 函数图象及其应用 函数的图象是变量间的直观反映,能较形象地分析出变量间的变 化趋势,也是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具,并且函数图 象的应用正是体现了数形结合的重要思想.如果能够将抽象的数学 语言与直观的几何图形有机结合起来,就能促使抽象思维和形象思 维的和谐统一,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为 直观,化直观为精确,从而使问题得到解决.

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专题五

应用1某地一天内的气温Q(单位:℃)与时刻t(单位:h)之间的关系 如图所示,令C(t)表示时间段[0,t]内的温差(即时间段[0,t]内最高温 度与最低温度的差).C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正 确的图象大致是( )

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专题四

专题五

解析:由题图知Q与t之间的关系的图象过点(0,-2),(4,-4),(8,0),(24,12),当t=0时,C(t)=0;当t=4时,C(t)=2;当t=8时,C(t)=4;当t=24 时,C(t)=16.则C(t)与t的函数关系的图象过点(0,0),(4,2),(8,4),(24,16). 可知选项D正确. 答案:D

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应用2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值. 提示:思路一:画出函数的图象,利用函数最小值的几何意义,写出 函数的最小值;思路二:利用绝对值的几何意义,转化为数轴上的几 何问题:数轴上到±2两点的距离差的最小值.

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专题三 函数性质中的含参数问题 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手, 分析函数的图象及其变化趋势.从近几年的高考形式来看,对函数 性质的考查,多数情况下都含有参数,这就需要合理地对参数进行 分类讨论及界定参数的性质.

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应用1若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a= . 2 + , ≥ - , 2 解析:因为 f(x) = -2-, < - ,

所以 f(x)在 - , + ∞ 上单调递增,在 -∞, 故? 2

2

2

2

上单调递减,

= 3, 解得a=-6.

答案:-6

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应用2判断f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶性. 提示:要注意字母a对函数性质的影响,即对a进行分类讨论. 解:函数的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称. (1)当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a| =|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x). (2)当a=0时,函数f(x)=|x+a|-|x-a|变为f(x)=|x|-|x|=0, 有f(-x)=f(x)=0,且f(-x)=-f(x)=0. 综上可知,当a∈R,且a≠0时,函数f(x)为奇函数; 当a=0时,函数f(x)既是奇函数又是偶函数.

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应用3已知函数f(x)=-x(x-a),x∈[a,1], (1)若函数f(x)在区间[a,1]上是单调函数,求a的取值范围; (2)求f(x)在区间[a,1]上的最大值g(a). 提示:(1)对称轴决定着二次函数的单调性; (2)对对称轴进行讨论,并结合所给的区间求解.

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解 :(1)因为 f(x)=-x(x-a)=-x2+ax,x∈[a,1], 所以对称轴为 x=
2 2

< .

1 2

因为函数 f(x)在区间 [a,1]上是单调函数 , 所以 ≤a,即 a≥0.故 0≤a<1, 即 a 的取值范围是 [0,1). (2)由已知 ,得 a<1.
①当 2

< , 即a>0 时 ,g(a)=f(a)=0; a≤0 时 ,g(a)= , ≤ 0.
2

②当

a≤ ≤1,即 2

=

综上可知 ,g(a) = 2
4

0,0 < < 1,

2 . 4

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专题四 函数与方程的思想在解题中的应用 所谓函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题 中的数量关系,剔除问题中的非数学因素,抽象其数学特征,用函数 的形式把这种数量关系表示出来,并加以研究,运用函数的性质使 问题得到解决的思想. 所谓方程的思想,就是在解决问题时,用事先设定的未知数沟通 问题中所涉及的各量间的制约关系,列出方程(组),从而求出未知数 及各量的值,使问题得到解决.所设的未知数,沟通了变量之间的联 系.方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件,它架设了由已 知探索未知的桥梁.事实上,方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象 与x轴交点的横坐标,函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过 方程进行研究,方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.

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应用 1 设函数 f(x) =
1 4

2-2,∈[1, + ∞), 2 -2,∈(-∞,1),

求函数f(x) ? 的零点.
1 4

1 4

提示:把 f(x) ? 看成一个整体函数,求函数 f(x) ? 的零点即求f(x) ? = 0 的实数根.
1 4

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1 1 解 :当 x≥1 时 ,f(x) ? = 2x-2 ? = 4 4 9 解得 x= ; 8 1 1 当 x<1 时 ,f(x) ? = 2 -2x? = 0, 4 4 2+ 5 2- 5 解得 x= 或 . 2 2

0,

因为 x<1,
2+ 5 所以 x= 舍去, 2 2- 5 所以 x= . 2 1 9 2- 5 故函数 f(x) ? 的零点是 或 . 4 8 2

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应用2设函数f(x)=ax+2a+1(a≠0),在-1≤x≤1上f(x)存在一个零点, 求实数a的取值范围. 提示:先利用零点存在性定理转化为f(-1)f(1)≤0,再结合函数的图 象解不等式即可.

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解 :因为函数 f(x)在 -1≤x≤1 上存在一个零点 , 所以 f(-1)f(1)≤0, 即 (-a+2a+1)(a+2a+1)≤0, 即 (a+1)(3a+1)≤0.
1 令 g(a)=(a+1)(3a+1)=0,得函数 g(a)的两个零点是 a1=-1,a2=? . 3

作出 g(a)的图象如图所示 .

由图象可知 ,g(a)≤0 时 ,可得 a 的取值范围是

1 -1,3

.

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专题五

专题五 有关抽象函数的问题 抽象函数是中学数学中的一个难点,因为抽象,解题时思维常常 受阻,思路难以展开.它常以函数或方程的形式出现,常见的题型是 求某些特殊值,这类抽象函数问题一般已知条件会给出定义域、某 些性质及运算式.其解法常用“赋值法”,即在其定义域内令变量取某 特殊值来求解,关键是抽象问题具体化.

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应用1定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1m)<f(m),求实数m的取值范围. 提示:应用函数的奇偶性,将变量1-m和m转化到同一个单调区间 上,利用函数的单调性求解. 解:因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)=f(|x|), 即f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|). -2 ≤ 1- ≤ 2, 所以原不等式等价于 -2 ≤ ≤ 2, |1- |2 > | |2 ,

解得 -1≤m< . 故实数 m 的取值范围是 -1,
1 2

1 2

.

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应用2已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的 a,b∈R,满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0),f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论. 提示:题目中给出的是抽象函数,而要求的是比较特殊的值,可以 考虑用赋值法,给出具体的值,再根据题意进行判断. 解:(1)令a=b=0,代入得f(0)=0· f(0)+0· f(0),则f(0)=0.令a=b=1,代入 得f(1)=1· f(1)+1· f(1),则f(1)=0. (2)f(x)是奇函数. 证明如下:由f(1)=f[(-1)2]=-f(-1)-f(-1),得f(-1)=0. 令a=-1,b=x,则f(-x)=f(-1· x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).又因为f(x)的定义域 为R,关于原点对称,所以f(x)为奇函数.

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应用3(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(4-x),且f(2-x)+f(x-2)=0, 求f(2 016)的值; (2)已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0 时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在[-2,1]上的值域. 提示:(1)可通过t=x-2进行代换,由f(-t)+f(t)=0,得f(x)为奇函数; (2)通过当x>0时,f(x)>0,判断函数的单调性,再通过令y=-x进行代 换,则f(0)=f(x)+f(-x),进而对x=y=0赋值得f(0)的值,从而判断出f(x)的 奇偶性,由此求解.

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解:(1)由f(2-x)+f(x-2)=0, 令t=x-2,有f(-t)+f(t)=0, 故f(x)为奇函数,则有f(0)=0. 又因为f(x+4)=f[4-(x+4)]=f(-x)=-f(x), 所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x), 所以f(2 016)=f(2 008)=f(2 000)=…=f(0)=0.

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(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0. 由条件当x>0时,f(x)>0,知f(x2-x1)>0. 因为f(x2)=f[(x2-x1)+x1] =f(x2-x1)+f(x1)>f(x1), 所以f(x)为增函数. 令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x). 又令x=y=0,得f(0)=0. 故f(-x)=-f(x).因此,f(x)为奇函数. 于是f(1)=-f(-1)=2,f(-2)=2f(-1)=-4. 故f(x)在[-2,1]上的值域为[-4,2].

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1(课标全国Ⅰ高考)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函 数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

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解析:由于f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 于是f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x). f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)g(x)], 因此f(x)g(x)是奇函数,故A错; |f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x), 因此|f(x)|g(x)是偶函数,故B错; f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-[f(x)|g(x)|], 因此f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确; |f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|, 因此|f(x)g(x)|是偶函数,故D错. 答案:C

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2(浙江高考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3, 则( ) A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9

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解析:因为f(-1)=f(-2)=f(-3), 所以-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c. 由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,整理得3a-b=7, 由-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c, 整理得5a-b=19, 3- = 7, = 6, 由 解得 = 11. 5- = 19, 故f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6. 又因为0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3, 所以0<c-6≤3, 解得6<c≤9,故选C. 答案:C

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3(湖北高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x. 则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,- 1,1,3} C.{2 ? 7,1,3} D.{-2 ? 7,1,3}

解析:当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3x]=-x2-3x,易求得 g(x)解析式 2 -4 + 3, ≥ 0, 2 g(x) = 当 x -4x+3= 0 时 ,可求得 x1=1,x2=3,当 2 - -4 + 3, < 0, -x2-4x+3=0 时可求得 x3=-2 ? 7,x4=-2 + 7(舍去),故 g(x)的零点为 1,3,-2 ? 7, 故选D.
答案:D

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4(北京高考)加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分 比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分 钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的 数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 ( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟

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解析 :由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上 ,因此有 0.7 = × 32 + × 3 + , 0.8 = × 42 + × 4 + , 0.5 = × 52 + × 5 + , = -0.2, 解得 = 1.5, 故 p=-0.2t2+ 1.5t-2,其对称轴方程为 t= = -2.
-1.5 2× (-0.2)

=

15 4

= 3.75.

所以当 t=3.75 时 ,p 取得最大值 .故选 B.
答案:B

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5(湖南高考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:由f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,知f(1)=f(1),g(-1)=-g(1). 又由f(x)-g(x)=x3+x2+1, 令x=-1,得f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1, 即f(1)+g(1)=1.故选C. 答案:C

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6(山东高考)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时 ,f(x)=x2 + , 则f(-1)=( A.- 2 C.1 ) B.0 D.2
2

1

解析:因为 f(x)是奇函数,所以 f(-1)=-f(1)=? 1

1 + 1

= ?2, 应选A.

答案:A

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7(湖北高考)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留 了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好 的图象是( )

解析:根据题意,刚开始距离随时间匀速减小,中间有一段时间距离 不再变化,最后随时间变化距离变化增大,故选C. 答案:C

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8(课标全国Ⅱ高考)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则 f(-1)= . 解析:∵f(x)为偶函数, ∴f(-1)=f(1). 又f(x)的图象关于直线x=2对称, ∴f(1)=f(3). ∴f(-1)=3. 答案:3

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9(课标全国Ⅱ高考)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x1)>0,则x的取值范围是 . 解析:∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2). 又f(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴|x-1|<2, 解得-2<x-1<2, 即-1<x<3. 答案:(-1,3)

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2 + 2 + 2, ≤ 0, 10(浙江高考)设函数 f(x) = 若f(f(a))=2,则 a= 2 - , > 0, .
解析:当a≤0时,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0, 于是f(f(a))=f(a2+2a+2)=-(a2+2a+2)2, 令-(a2+2a+2)2=2,显然无解; 当a>0时,f(a)=-a2<0,于是f(f(a))=f(-a2)=(-a2)2+2(-a2)+2=a4-2a2+2, 令a4-2a2+2=2,

解得 a= 2或a=0(舍去)或 a=? 2(舍去). 综上可知,a 的值为 2.

答案: 2

知识建构

综合应用

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11(安徽高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)= . 解析:∵-1≤x≤0, ∴0≤x+1≤1,
1 2 1 答案: ? (x+1) 2

∴f(x) = 2 (x+1) = 2 (x+1)[1-(x+1)]
=? (x+1).

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