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2012届高三数学一轮复习第十章统计与概率10-4


第 10 章
一、选择题

第4节

1.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测,数据如下: 抽取台数 优等品数 50 47 100 92 200 192 ) 300 285 500 478 1000 954

则该厂生产的电视机是优等品的概率约为( A.0.92 C.0.95 [答案] C [解析] 由频率与概率关系知答案为 C. B.0.94 D.0.96

2.(文)羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只 羊去割草,则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( 3 A. 10 3 C. 5 [答案] C [解析] 将喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊依次编号为 1、2、3、4、5,从 中任取两个的所有可能取法为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5). 其中喜羊羊与美羊羊恰好只有一只被选中的有: (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5). ∴ 6 3 所求概率 P= = . 10 5 (理)(2010·陕西检测)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张, 则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为( 1 A. 3 2 C. 3 [答案] C [解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合 ={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} 共 6 个基本事件.其中数字之和为奇数包含(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共 4 个基本事件,∴所 4 2 求概率为 P= = . 6 3 3.口袋中有 100 个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球 45 个,从口袋中摸出一个 球,摸出白球的概率为 0.23,则摸出黑球的概率为( ) 1 B. 2 3 D. 4 ) 6 B. 7 4 D. 5 )

A.0.45 C.0.64 [答案] D

B.0.67 D.0.32

45 [解析] 摸出红球的概率为 =0.45,因为摸出红球、白球和黑球是互斥事件,因此摸 100 出黑球的概率为 1-0.45-0.23=0.32. 4.(文)(2010·山东潍坊、烟台)一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜 蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个面的距离均大于 1, 称其为“安全飞行”, 则蜜蜂“安 全飞行”的概率为( 1 A. 8 1 C. 27 [答案] C [解析] 一个棱长为 3 的正方体由 27 个单位正方体组成, 由题意知, 蜜蜂“安全飞行” 的区域即为 27 个单位正方体中最中心的 1 个单位正方体区域,则所求概率 P= 1 ,应选 C. 27 ) 1 B. 16 3 D. 8

(理)(2010·安徽文,10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正 方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 ( 3 A. 18 5 C. 18 [答案] C [解析] 解法 1:设正方形的 4 个顶点为 A、B、C、D,从中任选两个顶点连成直线, 有 AB、AC、AD、BC、BD、CD 共 6 种不同选法,故甲、乙各从正方形四个顶点中任选两 个顶点连成直线,共有基本事件 6×6=36 个. 设甲、乙两人各取两个顶点连成直线,所得两条直线互相垂直的事件为 M,则 M 所包 含的基本事件如表: 甲 乙 BC AB AD AB BC CD AD CD BC AB AD CD AC BD BD AC 4 B. 18 6 D. 18 )

共包含 10 个基本事件, 10 5 ∴P(M)= = ,故选 C. 36 18 解法 2:由条件知所有的基本事件共有 C42·C42=36 个,设甲、乙两人各取两个顶点连 成直线,所得两直线垂直为事件 M,则 M 含有基本事件 4×2+2=10 个,

10 5 ∴P(M)= = . 36 18 5.(文)(2010·北京文,3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个 数为 b,则 b>a 的概率是( 4 A. 5 2 C. 5 [答案] D [解析] 该试验所有基本事件(a,b)可在平面直角坐标系中表示出来如下图. ) 3 B. 5 1 D. 5

易知所有基本事件有 5×3=15 个,记“b>a”为事件 A,则事件 A 所含基本事件有 3 个. 3 1 ∴P(A)= = ,故选 D. 15 5 (理)(2010·黄冈检测)设集合 P={b,1},Q={c,1,2},P?Q,若 b,c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}, 则 b=c 的概率是( 1 A. 8 1 C. 2 [答案] C [解析] 依题意得, b=2 时, 可从 3,4,5,6,7,8,9 中选取, 当 c 此时 b≠c; b 从 3,4,5,6,7,8,9 当 7 1 中选取时,有 b=c.因此,b=c 的概率为 = ,选 C. 7+7 2 6.(文)(09·湖北)投掷两颗骰子,其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)(n-mi)为 实数的概率为( 1 A. 3 1 C. 6 [答案] C [解析] 投掷两颗骰子,其向上的点数 m,n,用(m,n)记录基本事件,则基本事件构成 集合 ={(m,n)|1≤m≤6,1≤n≤6,m,n∈N},∵(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i,它为 ) 1 B. 4 1 D. 12 ) 1 B. 4 3 D. 4

实数的等价条件是 m2=n2,又 m、n 均为正整数,∴m=n.故所求事件所含基本事件有(1,1),

6 1 (2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)共 6 个, 中共有 36 个基本事件,∴P= = .故选 C. 36 6 (理)(2010·广东省江门市模考)从一个三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点中任取四点, 这四 点不共面的概率是( 1 A. 5 3 C. 5 [答案] D [解析] 从 6 个顶点中选 4 个,共有 C64=15 种选法,其中共面的情况有三个侧面,∴ 15-3 4 = . 概率 P= 5 15 ) 2 B. 5 4 D. 5

7.(文)(2010·浙江金华十校联考)在一个袋子中装有分别标注 1,2,3,4,5 的五个小球,这 些小球除标注的数字外完全相同, 现从中随机取出 2 个小球, 则取出小球标注的数字之差的 绝对值为 2 或 4 的概率是( 1 A. 10 2 C. 5 [答案] C [解析] 取两个小球的不同取法有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5),共十种,其中标注的数字绝对值之差为 2 或 4 的有(1,3),(2,4),(3,5),(1,5), 4 2 共四种,故所求的概率为 = . 10 5 (理)(2010·浙江绍兴调研)在一个盒子中有 5 个球,其中 2 个球的标号是不同的偶数,3 个球的标号是不同的奇数. 现从盒子中一次取出 3 个球, 则这 3 个球的标号之和是偶数的概 率为( 1 A. 10 2 C. 5 [答案] D [解析] 从 5 个球中任取 3 个,有不同取法 C53=10 种,其中 3 个球标号之和为偶数, ) 3 B. 10 3 D. 5 ) 3 B. 10 1 D. 4

6 3 只能是两奇一偶,有不同取法 C32×C21=6 种,∴所求概率为 P= = . 10 5 8.(2010·广西柳州市模考)在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多 12 人,从到 会教师中随机挑选一人表演节目. 如果每位教师被选到的概率相等, 而且选到男教师的概率 为 9 ,那么参加这次联欢会的教师共有( 20 A.360 人 C.144 人 [答案] D 9 x = ,∴x= [解析] 设与会男教师 x 人,则女教师为 x+12 人,由条件知, x+(x+12) 20 54,∴2x+12=120,故选 D. 9. (文)(2010·湖南考试院调研)设一直角三角形两直角边的长均是区间(0,1)的随机数, 则 3 斜边的长小于 的概率为( 4 9π A. 64 9π C. 16 [答案] A 9 [解析] 设两直角边长分别为 a、b,则 0<a<1,0<b<1,由条件 a2+b2< ,如图可知, 16 1 ?3?2 π× 4 ?4? 9π = . 所求概率 P= 64 1×1 ) 9 B. 64 9 D. 16 )

B.240 人 D.120 人

?x+y- (理)(2010·山东滨州模拟)在区域?x-y+ ?y≥0
+y2=1 内的概率为( π A. 2 π C. 6 [答案] D ) π B. 3 π D. 4

2≤0 2≥0 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x2

[解析]

根据题意可画如图所示的图形,所求概率为半圆与三 π×12 2

π 角形面积的比, ∴p= = , 故点 P 在单位圆内的概率为 1 4 2 2× 2× 2 π ,故选 D. 4 10.(文)(2010·广东玉湖中学月考、辽宁锦州模拟)一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,一学生到达该路口时,恰为红灯的概率是 ( 2 A. 5 1 C. 15 [答案] A [解析] 因为红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间 40 秒,故整个区域 的时间长度为 75 秒, 30 2 ∴P= = . 75 5 (理)(2010·济南市模拟)已知 a、b、c 为集合 A={1,2,3,4,5,6}中三个不同的数,如下框图 给出的一个算法运行后输出一个整数 a,则输出的数 a=5 的概率是( ) 5 B. 8 3 D. 5 )

1 A. 30 3 C. 10 [答案] C

1 B. 5 1 D. 2

[解析] 由程序框图知,输入 a、b、c 三数,输出其中的最大数,由于输出的数为 5, 3 C 42 6 故问题为从集合 A 中任取三个数,求最大数为 5 的概率,∴P= 3= = . C6 20 10

二、填空题 11.(2010·江苏盐城调研)某人有甲、乙两只密码箱,现存放两份不同的文件,则此人使 用同一密码箱存放这两份文件的概率是________. [答案] 1 2

[解析] 将两份文件编号为 1,2,则所有可能存放文件的方式如表 方式 1 甲 1,21,2 乙 1 甲 2 方式 2 乙 2 方式 3 甲 1 乙 方式 4 甲 乙

1 共有 4 种不同情形,其中此人使用同一密码箱存放这两份文件的情况有 2 种,∴P= . 2 12.(2010·南京市调研)某学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一 个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为________. [答案] 1 4

[解析] 每人用餐有两种情况, 故共有 23=8 种情况. 他们在同一食堂用餐有 2 种情况, 2 1 故他们在同一食堂用餐的概率为 = . 8 4 13.(2010·浙江开化模拟)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为 mx-y=0,若 m 在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数,则双曲线的离心率大于 3 的概率是 ________. [答案] 7 9

a2+b2 c [解析] e>3,即 >3,∴ 2 >9, a a b ∴ >2 2,即 m>2 2, a 7 ∴m 可取值 3,4,5,6,7,8,9,∴p= . 9 14.高三·一班班委有 5 名成员,其中有 3 名男生,要从中选派 2 人去参加某项活动, 事件 A=“选出的 2 人不全是男生”, 事件 B=“选出的 2 人至少有一名男生”, 则事件 A∩B 的含义是________. [答案] 选出的 2 人一男一女 [解析] 事件 A 包含:一男一女和两女,事件 B 包含:一男一女和两男,则事件 A∩B 为:一男一女. 三、解答题 15.一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球,从中任意取出一只球.

(1)“取出的球是红球”是什么事件,它的概率是多少? (2)“取出的球是黑球”是什么事件,它的概率是多少? (3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件,它的概率是多少? [分析] 本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念及随机事件的概率公式和分 析判断能力. [解析] (1)由于口袋内只装有黑、 白两种颜色的球, 故“取出的球是红球”不可能发生, 因此,它是不可能事件,其概率为 0. (2)由已知,从口袋内取出一个球,可能是白球也可能是黑球,故“取出的球是黑球” 3 是随机事件,它的概率为 . 8 (3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球,故取出一个球不是黑球,就是白球.因此, “取出的球是白球或是黑球”是必然事件,它的概率是 1. 16.(文)(2010·福州市模拟)某研究性学习小组对昼夜温差与某种子发芽数的关系进行研 究. 他们分别记录了四天中每天昼夜温差与每天 100 粒种子浸泡后的发芽数, 得到如下资料: 时间 温差(℃) 发芽数(粒) 第一天 9 33 第二天 10 39 第三天 8 26 第四天 11 46

(1)求这四天浸泡种子的平均发芽率; (2)若研究的一个项目是在这四天中任选 2 天的种子发芽数来进行,记发芽的种子数分
? ?m≥30 别为 m, n(m<n), 用(m, n)的形式列出所有的基本事件, 并求事件 A: “m、 满足? n ” ? ?n≥40

的概率. [解析] (1)这四天浸泡种子的发芽总数为:33+39+26+46=144, 144 故这四天的平均发芽率为 ×100%=36%. 4×100 (2)因为 m<n, 故所有的基本事件为: (26,33), (26,39), (26,46), (33,39), (33,46), (39,46), 即基本事件总数为 6. 易知事件 A 包含的基本事件为:(33,46),(39,46). 2 1 所以 P(A)= = . 6 3 (理)(2010·北京顺义一中月考)已知实数 a,b∈{-2,-1,1,2}. (1)求直线 y=ax+b 不经过第四象限的概率; (2)求直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点的概率. [解析] 由于实数对(a,b)的所有取值为: (-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),

(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2)共 16 种 (1)设“直线 y=ax+b 不经过第四象限”为事件 A 若直线 y=ax+b 不经过第四象限,则必须满足 a≥0,b≥0,则事件 A 包含 4 个基本事 件, 4 1 ∴P(A)= = , 16 4 1 ∴直线 y=ax+b 不经过第四象限的概率为 . 4 (2)设“直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点”为事件 B,则需满足 b2≤a2+1, 12 3 ∴事件 B 包含 12 个基本事件,∴P(B)= = , 16 4 3 ∴直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点的概率为 . 4 17.(文)(2010·北京延庆县模考)口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,然后放回,乙再摸一个球, 如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (1)甲、乙按以上规则各摸一个球,求事件“编号的和为 6”发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由. [解析] (1)设“两数字之和为 6”为事件 A, 事件 A 包含的基本事件为(1,5), (2,4), (3,3), (4,2),(5,1),共 5 个. 又甲、乙二人取出的数字共有 5×5=25(个)等可能的结果 5 1 ∴P(A)= = 25 5 1 答:编号的和为 6 的概率为 . 5 (2)这种游戏规则不公平. 设“甲胜”为事件 B,“乙胜”为事件 C,则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事 件数为 13 个: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5). 13 13 12 所以甲胜的概率 P(B)= ,从而乙胜的概率 P(C)=1- = , 25 25 25 由于 P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平. (理)(2010·陕西宝鸡市质检)我市积极响应《全民健身条例》 ,大力开展学生体育活动, 如图是委托调查机构在分属两类不同性质的 A 校和 B 校中分别随机抽取的 10 名高三年级学 生周体育锻炼时间的茎叶图(单位:10 分钟). |b| ≤1,即 a2+1

(1)根据茎叶图计算哪个学校学生总体活动时间多; (2)如果从 A 校这 10 名学生中随机抽取体育锻炼时间不超过 120 分钟的 2 名同学, 求至 少抽到 1 名活动时间不足 1 小时的同学的概率是多少. [解析] (1)计算可得,A 校的学生平均活动时间为 1 ×(21+11+12+13+15+17+17 10

1 +18+35)×10=132 分钟,B 校学生平均活动时间为 ×(36+18+13+13+11+5+4+4+ 10 3+3)×10=110 分钟,故 A 校学生平均活动时间较多. (2)由茎叶图知,A 校中活动时间不超过 120 分钟的同学共有 4 名,而不足 1 小时的有 2 名,将这 4 名同学编号为 1,2,3,4,其中不足 1 小时的为 1,2,从中任意抽取两名同学的抽法 5 有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),其中至少含有 1,2 中的一个的概率为 P= . 6 [点评] 注意细节,茎叶图中数据的单位是 10 分钟.



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