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高中数学专题3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域-学易试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 1.二元一次不等式(组)及其解集的定义 (1)二元一次不等式的定义 我们把含有两个未知数,并且未知数的次数是______________的不等式称为二元一次不等式. (2)二元一次不等式组的定义 我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. (3)二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称 为二元一次不等式(组)的解集. (4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系 有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标,于是,二元一次不等式 (组)的解集就可以看成直角坐标系 内的点构成的集合. 2.二元一次不等式表示的平面区域 一般地, 在平面直角坐标系中, 二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组 成的平面区域,我们把直线画成___________ ___,以表示区域不包括边界.不等式 Ax+By+C≥0 表示 的平面区域包括边界,把边界画成______________. 对于二元一次不等式的不同形式,其对应的平面区域如下表: 二元一次 不等式 Ax+By+C≥0 (A>0,B>0) Ax+By+C≤0 (A>0,B>0) Ax+By+C≥0 (A>0,B<0) Ax+By+C≤0 (A>0,B<0) 平面 区域 3.二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的______________,即各个不等式表示 的平面区域的公共部分.不等式组表示的平面区域可能是一个多边形区域,也可能是一个无界区域,还 可能由几个子区域合成,若不等式组的解集为 ? ,则它不表示任何区域. K 知识参考答案: 1. 1 2.虚线 实线 3.交集 K—重点 K—难点 K—易错 二元一次不等式(组)解集的定义及表示的平面区域 点所在平面区域的判断 明确不等式中等号的含义及平面区域的判断 画二元一次不等式表示的平面区域 画二元一次不等式表示的平面区域的步骤: 第一步:直线定界,即画出边界 Ax+By+C=0,要注意是虚线还是实线; 第二步:特殊点定域,取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由 Ax0+By0+C 的符号就可以断定 Ax+By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域; 第三步,用阴影表示出平面区域. 对于 Ax+By+C>0(<0)表示的平面区域,具体的定域方法如下表: 定域的方法 特殊点 定域 系数 定域 源:Zxxk.Com] [来 在直线的一侧选取一个特殊点,代入不等式,成立则在此侧,不成立则在对面; 当 C≠0 时,常选(0,0)作为特殊点;当 C=0 时,常选(0,1)或(1,0)作为特殊点 A 的符号判定法 B 的符号判定法 A 的符号与 Ax+By+C 的符号相比,同右异左 [来源:学科网 ZXXK][来源:学科网][来源:学科网] B 的符号与 Ax+By+C 的符号相比,同上异下 注: 由 A 的符号判断二元一次不等式表示的区域位置可简记为“同右异左” (“同”表示 A 的符号与 Ax + By+ C 的符号相同 );由 B 的符号判断二元一次不等式表示的区域位置可简记为“同上异下” (“同” 表示 B 的符号与 Ax+ By+ C 的符号相同).即只需由 A 或 B 的符号与 Ax+ By+ C 的符号的异同可直接 确定平面区域. 画出下列不等式表示的平面区域: (1)x>y; (2)3x+2y>6; (3)5x+2y-10≥0. 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析. (3)作直线 5x+2y-10=0(画成实线),取特殊点(0,0),代入 5x+2y-10 有-10<0, 故所求区域在点(0, 0)所在区域的另一侧,即直线 5x+2y-10=0 的右 上方(含边界),如图 3 中阴影部分所示. 图1 图2 图3 【名师点睛】一般情况下,对于不是标准形式的二元一次不等式,要作出它所表示的平面区域,可以先把 它化成标准形式(形如 Ax+By+C,保证 A>0),再作图.学科*网 画二元一次不等式组表示的平面区域 画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤: (1)画线:画出各不等式对应的直线,注意根据不等号的特征确定相应直 线是画成虚线还是画成实线. (2)定域:根据特殊点或 x,y 的系数确定各不等式表示的区域,不等式组表示的区域由以上区域的公共部 分构成. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? (1)画出不等式组 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域; ?x ? 2 ? (2)求由直线 x+y+1=0,2x+4y+1=0 和 4x+2y+1=0 围成的三角形区域(包括边界)表示的不等式组. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】(1)首先,在平面直角坐标系中画出直线 2x+y-2=0,2x-y+2=0,x-2=0, 特殊点可以选为(0,0),将(0,0)代入,得 2×0+0-2=-2<0,2×0-0+2= 2>0,0-2=-2<0, 从而(0,0)在 2x-y +2≥0,x≤2 所表示的区域内,不在 2x+y-2≥0 所表示的区域内,即在它所对的另一 个区域内. 从而不等式组所表示的平面区域如图 1 中阴影部分所示. (2)画出三条直线,并用阴影表示三角形区域,如图 2 中阴影部分所示. 取原点 O(0,0),并代入 x+y+1 得 1>0;代入 2x+4y+1 得 1>0;代入 4x+2y+1 得 1>0. ?x ? y ?1 ? 0 ? 结合图形可知,三角形区域用不等式组可表示为 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 . ?4 x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 图1 图2 【名师点睛】(1)


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