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数学物理方法习题


数学物理方程习题

第一章 分离变量法
1、求解定解问题:

utt ? a 2u xx = 0, (0 < x < 1), u |x =0 = u |x =l = 0, l ? n0 h x, (0 ≤ x ≤ ), ? l n0 ? (P-223) ? u |t =0 = ? h l (l ? x), ( ≤ x ≤ l ), ? l n0 ?l ? n0 ? ? u |t = 0 = 0, (0 ≤ x ≤ l ).
2、长为 l 的弦,两端固定,弦中张力为 T ,在距一端为 x0 的一点以力 F0 把弦拉开,然后撤 出这力,求解弦的震动。[提示:定解问题为

utt ? a 2u xx = 0, (0 < x < l ), u (0, t ) = u (l , t ) = 0, ? F0 l ? x0 ? T l x, (0 < x < x0 ), ? u ( x, 0) = ? ? F0 x0 (l ? x), ( x < x < l ), 0 ?T l ? ut |t =0 = 0.
] (P-227) 3、求解细杆导热问题,杆长 l ,两端保持为零度,初始温度分布 u |t = 0 = bx (l ? x ) / l 2 。[定 解问题为

k ? 2 2 ?ut ? a u xx = 0, (a = C ρ )(0 ≤ x ≤ l ), ? ? ] (P-230) u |x =0 = u |x =l = 0, ? 2 ? u |t =0 = bx(l ? x) / l . ? ? ?

4、求解定解问题
? ? 2u ? 2u ? ? a2 = 0, 0 < x < l , t > 0 2 ? ?t 2 ?x ? u x = 0 = 0, u x = l = 0 . ? ? 3π x ?u ?u =0 . t = 0 = A sin l , ?t ? t=0 ?

1

数学物理方程习题

4、长为 l 的均匀杆,两端受压从而长度缩为 l (1 ? 2ε ) ,放手后自由振动,求解杆的这一振 动。[提示:定解问题为

?utt ? a 2u xx = 0, (0 < x < l ), ? u x |x =0 = u x |x =l = 0, ? ? ](P-236) ? 2 u |t =0 = 2ε ( ? x), ? l ? ut |t =0 = 0. ? ?
5、长为 l 的杆,一端固定,另一端受力 F0 而伸长,求解杆在放手后的振动。[提示:定解问 题为

? utt ? a 2u xx = 0, (0 ≤ x ≤ l ), ? u |x =0 = 0, u x |x =l = 0, ? ? ] (P-238) x ?u x F ? 0 ?u ( x, 0) = ∫0 ?x dx = ∫0 YS dx, ? ut |t =0 = 0. ? ?
6、长为 l 的杆,上端固定在电梯天花板,杆身竖直,下端自由、电梯下降,当速度为 v0 时 突然停止,求解杆的振动。[提示:定解问题为

?vtt ? a 2vxx = 0, (0 < x < l ), ? ? v(0, t ) = 0, vx (l , t ) |x =l = 0, ] (P-242) ? v( x,0) = v0 , ? ? vt ( x, 0) |t = 0 = 0. ?
7、求解细杆导热问题,杆长 l ,初始温度均匀为 u0 ,两端分别保持温度为 u1 和 u2 。[提示: 定解问题为

? ut ? a 2u xx = 0, ? ?u |x = 0 = u1,u |x =l = u2 , ] (P-251) ? u |t =0 = u0 . ?
8、在矩形区域 0 < x < a , 0 < y < b 上求解拉氏方程 ?u = 0 ,使满足边界条件

u |x = 0 = Ay (b ? y ), u |x = a = 0. u | y = 0 = B sin

πx
a

, u | y =b = 0.

(P-265)

9、均匀的薄板占据区域 0 < x < a , 0 < y < ∞ ,边界上温度 u |x = 0 = 0, u |x = a = 0, u | y = 0 = u0 ,

lim u = 0 。[提示:泛定方程为: u xx + u yy = 0. ](P-269)
y →∞

10、矩形膜,边长 l1 和 l2 ,边缘固定,求它的本征振动模式。[提示:定解问题为
2

数学物理方程习题

utt ? a 2 (u xx + u yy ) = 0, (0 < x < l1 , 0 < y < l2 ), ] (P-271) u |x = 0 = 0, u |x =l1 = 0, u | y =0 = 0, u |x =l2 = 0.
11、细圆环,半径为 R ,初始温度分布已知为 f (? ) , ? 是以环心为极点的极角,环的表面 是绝热的。求解环内温度变化情况。[提示:其定解问题为

?ut ? a 2u?? = 0, 0 ≤ ? < 2π , ? ] (P-274) ut = f (? ), ? ? u (? + 2π ) = u (? ). ? 12、在圆形域内求解 ?u = 0 使满足边界条件
(1)u |ρ = a = A cos ? , (2)u |ρ = a = A + B sin ? 。[提示:泛定方程为

u ρρ +

1

ρ

uρ +

? 0< ρ <a ? u?? = 0, ? ? . ] (P-275) ρ ? 0 < ? < 2π ? 1
2

13、半圆形薄板,板面绝热,边界直径上温度保持零度,圆周上保持 u0 ,求稳定状态下的 板上温度分布。[提示:定解问题为

1 1 ? ?uρρ + ρ uρ + ρ 2 u?? = 0, (0 < ρ < R, 0 < ? < π ), ? ? u |? = 0 = 0, ] (P-276) ? ? u |? =π = 0, (0 < ρ < R), ? u |ρ = R = u0 , 0 < ? < π ). ? ?
14、在以原点为心,以 R1 和 R2 为半径的两个同心圆所围城的环域上求解 ? 2u = 0 ,使满足 边界条件 u |ρ = R1 = f1 (? ), u |ρ = R2 = f1 (? ) 。[提示:泛定方程为

u ρρ +

1

ρ

uρ +

? R < ρ < R2 ? u?? = 0, ? 1 ? . ] (P-282) ρ ? 0 < ? < 2π ? 1
2

15、两端固定的弦在线密度为 ρ f ( x, t ) = ρΦ ( x ) sin ωt 的横向力作用下振动,求解其振动情 况,研究共振的可能性,并求共振时的解。[提示:定解问题为

?utt ? a 2u xx = Φ( x)sin ωt , ? ? u |x = 0 = 0, u |x =l = 0, ] (P-292) ? u | = 0, u | = 0. t =0 t t =0 ?
16、 两端固定弦在点 x0 受谐变力 ρ f ( x, t ) =

ρ f 0 sin ωt 作用而振动, 求解振动情况。 [提示:

外加力的线密度课表为 ρ f ( x, t ) = ρ f 0 sin ωtδ ( x ? x0 ) ,所以定解问题为

3

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?utt ? a 2u xx = f 0 sin ωtδ ( x ? x0 ), ? ](P-297) u |x =0 = 0, u |x =l = 0, ? ? u |t = 0 = 0, ut |t =0 = 0. ? b b 2 17、在矩形域 0 < x < a, ? < y < 上求解 ? u = ?2 且 u 在边界上的值为零。(P-303) 2 2

第二章 球函数
1、在本来是匀强的静电场 E 0 中放置导体球,球的半径为 a ,试研究导体球怎样改变了匀强 静电场。[提示:定解问题为

? 2u = 0, (1)

?u |r →∞ ≈ ? E0 z = ? E0 r cos θ , (设导体放入前,u |r →0 =0), (2)和(3)](P-369) ? u |r →a = C. ?
2、在点电荷 4πε 0 q 的电场中放置导体球,球的半径为 a ,球心与点电荷相距 d ( d > a ) ,求 解这个静电场。[提示:定解问题为

? ? 2 v = 0, ? ?u = q + v, ? ] (P-370) D ? ? v | = 0, ? r =a ? v |r →∞ = 0. ?
3、求解

?? 2u = 0, (r < a), (P-372) ? 2 ? u |r = 0 = cos θ .

4、在球坐标系中利用分离变量法求下列定解问题。 、在球坐标系中利用分离变量法求下列定解问题。

?? 2u = 0 (0 < r < a) ? ? 1? ? 2 ?u r = a = 4sin θ ? cos ? sin ? + ? (08~09) 2? ? ? ?u 有限 ? r =0
5、 用一层不导电的物质把半径为 a 的导体球壳分隔为两个半球壳, 使半球各充电到电势为 v1 和 v2 ,试解电场中的电势分布。[提示:定解问题为

4

数学物理方程习题

? ? ? ? ? ? 2ui = 0, (r < a ), ? ui |r =0 有限,(自然边界条件) (P-373) ? ? π ? ? v1 , (0 ≤ θ < )或(0 ≤ x < 1), ? 2 ?u | = ? . ? i r =a ? π ?v , ( < θ ≤ π )或(?1 < x ≤ 0) ? ? 2 2 ? ?
6、半球的球面保持一定温度 u0 ,半球底面(1)保持 0° C , (2)绝热,试求这个半球里的 稳定温度分布。[提示:定解问题为

? 2 ? ? u = 0, (r < a), ? ?u |r =0 有限,u |r = a = u0 , ](P-375) ? u | π = 0. ? θ= ? 2 第三章 柱函数
1、半径为 R 的圆形膜,边缘固定,初始形状是旋转抛物面 u |t = 0 = (1 ? ρ 2 / R 2 ) H ,初速为 零,求解膜的振动情况。[提示:定解问题为

1 ? 2 ? utt ? a (u ρρ + ρ u ρ ) = 0, ? ? ? u |ρ =0 有限,u |ρ = R = 0, ] (P-399) ? 2 ?u |t =0 = H (1 ? ρ 2 ), ut |t =0 = 0. ? R ?
1 2、利用递推公式证明 J 2 ( x ) = J 0′′ ( x ) ? J 0′ ( x ) 并计算 ∫ x 4 J1 ( x ) dx x
3、半径为 R 的圆形膜,在 ρ 0 , ? 0 受到冲量 K 作用,求解其后的振动。[提示:定解问题为

utt ? a 2? 2u = 0, (1)

(膜边缘固定), ?u |ρ = R = 0, ? (2) ? 有限, u |ρ = 0 ? ? (初位移为零), ? u |t = 0 = 0, ? (3)](P-401) k ? ut |t =0 = δ(ρ -ρ0 )iδ(? -?0 )。 ? pρ 0 ?
4、半径为 R 的圆形膜,边缘固定,求其本征频率和本征振动。[提示:定解问题为

5

数学物理方程习题

?utt ? a 2? 2u = 0, (0 ≤ ? ≤ π , 0 ≤ ρ ≤ R ), ? ] (P-403) u |ρ = 0 有限,u |ρ = R = 0, ? ? u |? =0 = u |? =π = 0. ?
5、半径为 R 而高为 H 的圆柱体下底和侧面保持零度,上底温度分布为 f ( ρ ) = 体内各点的稳恒温度。[提示:定解问题为

ρ 2 ,求柱

? ? 2u = 0, ? 2 ? u |Z =0 = 0, u |Z = H = ρ , ] (P-404) ?u | 有限,u | = 0. ρ =R ? ρ =0
6、圆柱体半径为 R ,高为 H ,上底有均匀分布的强度为 q0 的热流流入,下底有同样热流 流出,柱侧保持为 0° C ,求柱内的稳恒温度。[提示:定解问题为

? ? ? ?u | = ? ?z Z =0 ? ? ?u | = ? ?z Z = H ? ?

? 2u = 0, q (热流方向与z轴反向), R ] (P-409) q0 (热流方向与z轴同向), R u |ρ = R = 0.

7、确定球形铀块的临界半径。[提示:铀块厚度超过临界厚度,则中子浓度奖随着时间而增 长以致铀块爆炸,其定解问题为

?ut ? a 2? 2u = β u, ] (P-422) ? u |r = R = 0. ?
8、均质球,半径为 r0 ,初始温度分布为 f ( r ) ,把球面温度保持为零度而使它冷却,求解 球内各处温度变化情况。[提示:定解问题为

?ut ? a 2? 2u = 0, ? ? u |r = r0 = 0, ] (P-424) ? ? u |t = 0 = f ( r ).
9、半径为 r0 的球面径向速度分布为 υ = υ0

1 (3cos 2θ + 1) × cos ωt ,试求解这个球在空气 4

中辐射出去的声场中的速度势,设 r0 ? λ (波长) 。本题径向速度对空间中的方向的依赖性 由因子

1 (3cos 2θ + 1) 即 P2 (cos θ ) 描写,因而是轴对称四级声源。[提示:三维波动方程为 4

vtt ? a 2 ?v = 0. 其中 a 2 =
的比值。](P-431)

p0γ

ρ0

, p0 是初始压强, ρ 0 是初始密度,γ 是定压比热与定容比热

6

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10、 、 设有静电场的圆柱域(半径为 a)的上、 的上、 下底接地, 设有静电场的圆柱域 半径为 的上 下底接地, 侧面电位为 U 0 , 求域内电位分布。 求域内电位分布。

1 ? uρρ + uρ + u zz = 0 ? ρ ? ? ?u z = 0 = u | z = h = 0 ? ?u ρ = a = U 0 ? ?

( ρ < a , 0 < z < h)
(08~09)

7



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