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优秀教案23-几个常用函数的导数


3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数
教材分析 本节课主要讲用定义求四个常用函数的导数,这是本节的重点。要求学会利用定义,求函数的导数以及 求过一点的切线的方程 课时分配 本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解用定义求四个常用函数的导数以及求过一点的切线的方程 教学目标 重点: 根据导数的定义求四个函数 y ? f ( x) ? c , y ? f ( x) ? x , y ? f ( x) ? 难点:四个函数 y ? f ( x) ? c , y ? f ( x) ? x , y ? f ( x) ?
1 , y ? f ( x) ? x 2 的导数 x

1 , y ? f ( x) ? x 2 几何意义和物理意义的解释 x

知识点:利用导数的定义求函数的导数 能力点:利用定义求其它函数的导数 教育点:定义法求解的步骤 考试点:根据导数定义求函数在某一点处导数的方法 易错易混点:利用定义求切线方程时,分清所给点是否为切点 拓展点:利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点 教具准备 多媒体 课堂模式 学案导学 一、 引入新课 复习 1:导数的几何意义是:曲线 y ? f (x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率. 复习 2:求函数 y ? f (x) 的导数的一般步骤: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) (2)求平均变化率

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?y ? ?x ?x
/

(3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim = lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

?y ?x ? 0 ?x

[师生活动]教师引导:那么,对于函数 y ? f (x) ,如何求它的导数呢? 学生回答:可以根据导数的定义.求求函数 y ? f (x) 的导数,就是求出 ?x 趋近于 0 时, 定值. 教师引导:那我们可以根据定义求导,这就是我们今天要学习的内容. [设计意图]通过复习旧知识得到证明新知识的方法,使得学生易于理解、接受. [设计说明]由已知到未知,过渡自然. 二、 探究新知 教师提问:根据前面求导数的步骤,你能够求函数 y ? f ( x) ? c 的导数吗? 学生回答:可以,根据定义可以得出. 师生共同完成:

?y 所趋于的那个 ?x

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c = ? ?0 ?x ?x ?x ?y / ? lim 0 ? 0 所以 y = lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x
因为

教师提问:利用几何意义, y? ? 0 表示什么意思? 学生回答:根据导数的几何意义可知,其表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线斜率为 0. 教师提问:若 y ? c 表示路程关于时间的函数,则 y? ? 0,可以怎么解释呢? 学生回答:可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即一直处于静止状态. 教师提问:利用相同的方法,你能够求函数 y ? f ( x) ? x 的导数吗? 学生回答:可以. 学生完成:因为 所以

教师提问:同样, y ? ? 1 表示的几何意义呢? 学生回答:函数 y ? x 图象上每一点处的切线斜率为 1. 教师提问:若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y? ? 1,可以怎么解释? 学生回答:可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动. 教师提问:大家思考以下这个问题,在同一平面直角坐标系中,你能画出函数 y ? 2x, y ? 3x, y ? 4x 的图象, 并根据导数定义,求它们的导数吗? 学生回答:可以. 教师提问:从图象上看,它们的导数分别表示什么? 学生回答:它们的导数分别表示这些直线的斜率. 教师提问:你能够根据导数的定义求它们的导数吗? 学生经过演算可以得出 教师提问:这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? 学生回答: y ? 4 x 增加得最快, y ? 2 x 增加得最慢 教师提问:函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与什么有关? 学生回答:函数 y ? kx(k ? 0) 增加的快慢与 k 有关系,即与函数的导数有关系, k 越大,函数增加的越快, 函数增加的越慢. 函数 y ? kx(k ? 0) 减少的快慢与 k 有关系, 即与函数导数的绝对值有关系,k 越 k 越小, 大,函数减少的越快, k 越小,函数减少的越慢. 教师引导:由这两个例子,大家可以知道对于所有的函数,我们都可以利用定义求它们的导数.那么,对于 常用的几个函数的导数,要求大家记住并且要求会写求导的步骤.下面,我们进一步的学习几个常用函数的 导数. [设计意图] 通过求简单函数 y ? c 及 y ? f ( x) ? x 的导数,达到让学生掌握住求函数导数步骤及明确导数的 几何意义的目的 三、理解新知 1、 y ? f ( x) ? c 的导数 y? ? 0 , y ? f ( x) ? x 的导数 y ? ? 1 2、导数的几何意义是:曲线 y ? f (x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率. [设计意图]为准确的应用新知识,作必要的铺垫. 四、运用新知 例 1 求函数 y ? f ( x) ? x 2 的导数 [师生活动]教师提问:类比上面的导数的求法,你能得出 y ? f ( x) ? x 2 的导数吗? 学生思考回答:可以. 师生共同分析得出答案. 解:因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x = ? ?1 ?x ?x ?x ?y ? lim 1 ? 1 y / = lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x

?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? ?x ?x

所以

( x ? ?x) 2 ? x 2 x 2 ? 2 x?x ? (?x) 2 ? x 2 ? ?x ?x = 2x ? ?x ?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x y / = lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x
=

[设计意图]:通过教师的板书,使得学生进一步明确解题的步骤;并且锻炼学生的活用知识的能力. 思考练习 1:利用定义求函数 y ? f ( x) ? ? x2 ? 1 的导数 [设计意图]:因为利用定义求导是最基本的方法,所以必须熟记求导的三个步骤:作差,求商,取极限.让 学生进一步的掌握住知识点. 1 例 2、已知函数 y ? ,根据图象试描述它的变化情况,并求出曲线在点 (1,1) 处的切线方程. x 1 [师生活动]教师提问:函数 y ? 的图像分布在第几象限?变化情况怎样? x y o x

做出如上的图像 学生回答:分布在第一和第三象限,在各自的象限内随着 x 的增大,函数值减小 教师提问:求切线的方程,先求什么? 学生回答:切线的斜率,即在 x ? x0 的导数 解:结合图像可知:当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? 函数 y ? 又因为
1 减少的越来越慢. x 1 减少的越来越快;当 x ? 0 时,随着 x 的增加, x

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x ?x

1 1 ? x ? ( x ? ?x) 1 , ?? 2 ? x ? ?x x ? x( x ? ?x)?x x ? x?x ?x
?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ?x ?0 ?x ? 0 ?x x ? x?x x 1 ' 即 k ? f (1) ? ? 2 ? ?1 , 1 所以曲线在点 (1,1) 处的切线方程为 y ? 1 ? (?1)( x ? 1) , 即 x? y?2 ? 0.
所以

y / = lim

【设计意图】根据导数的几何意义,可以求切线的方程. 1 思考练习 2:已知函数 y ? ,求过曲线上点 (1,1) 且与过这点的切线垂直的直线方程. x [设计意图]:利用导数求切线方程时,明确函数在 x ? x0 的导数就是直线的斜率. 【设计意图】五、课堂小结 教师提问:我们本节课,你学习到了什么知识点?学生回答: 1. 利用定义求导法的方法,求导的三个步骤:作差,求商,取极限. 2. 利用导数求切线方程时,要判断所给点是否为切点. 教师总结:求导的三个步骤:作差,求商,取极限. 利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切 点,一定要记住它们的求法是不同的.

【设计意图】 :通过总结知识点,让学生明白本节的主要内容,便于掌握. 六、布置作业 必做题: 1. 已知圆面积 S ? ? r 2 ,根据导数定义求 S ?(r ) . 2 已知 f ( x) ? x 2 ,求 f ?(3) . 3 求过曲线 y ? x3 上点 (1,1) 的切线的直线方程. 4 求曲线 y ? 2 x2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程. 选做题:氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有 500 克氡气,那么 t 天后,氡气的剩 余量为 A(t ) ? 500 ? 0.834t ,问氡气的散发速度是多少? [设计意图]巩固所学的知识,逐步的提高难度,便于学生接受. 七、教后反思 1.本节课的亮点是把用定义求导数的步骤讲解的细致,便于学生接受. 2.本节课的弱项是利用导数求切线方程时,对于要判断所给点是否为切点的问题没有进一步的说明. 八、板书设计 几个常用函数的导数 1 常用函数的导数(知识点) 2 例题 例 1(相应的练习) 例 2(相应的练习) 3 课堂小结 4 作业


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