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等比数列的性质含例题总结归纳


一、等比数列基本概念: 1. 等比数列的定义: 2. 通项公式:

an = q ( q ≠ 0 ) ( n ≥ 2, 且n ∈ N * ) , q 称为公比 an ?1

a1 n q = A ? B n ( a1 ? q ≠ 0, A ? B ≠ 0 ) , 首项: a1 ;公比: q q a n n ?1 n 注:当 q ≠ 1 时等比数列通项公式 an = a1q = 1 q = A ? B ( A ? B ≠ 0 ) 是关于 n 的带有 q 系数的指数类函数,底数为公比 q ,若 q = 1, 则an = na1 . an = a1q n ?1 =
3. 等比中项 (1) 如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A = ab 或 A = ± ab 注: 同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数
2

(2) 数列 {a n } 是等比数列 ? an = an ?1 ? an +1 ( an +1an ?1 ≠ 0)
2

二、等比数列的性质: (1) 对任何 m, n ∈ N ,在等比数列 {an } 中,
*

例 1. 在等比数列 {an } 中, a3 = 20, q = 2 , 求 a6 , an 例 2. 等比数列 {an } , a1 + a2 = 1 , a3 + a4 =9 则 a4 + a5 = .

有 an = am q

n?m

,特别的,当 m = 1 时,便

得到等比数列的通项公式.因此,此公式 比等比数列的通项公式更具有一般性。

(2) 若 m + n = s + t ( m, n, s, t ∈ N * ) ,则

an ? am = as ? at 如: a1 ? an = a2 ? an ?1 = a3 an ? 2 ???
特别的, n + m = 2k 时,得 an ? am = ak 如: a2 a8 = a5 , an = an ?1 ? an +1
2 2 2

例 3.等比数列 {an } 中, a9 ? a10 ? a11 ? a12 = 64 则 a8 ? a13 = .

例 4. 在等比数列 {an } 中, an > 0 , a2 a4 +

2a3 a5 + a4 a6 = 36 , 则 a3 + a5 =

(3) 数 列 {an } , {bn } 为 等 比 数 列 , 则 数 列

例 5. 如果数列 {an } 是等比数列, 那么( A. 数列 {an } 是等比数列 B. 数列 {2 n } 是等比数列 C. 数列 {lg an } 是等比数列 D. 数列 {nan } 是等比数列
a 2

)

a k { } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } { n } an bn ( k 为非零常数) 均为等比数列.

例 6.等比数列 {an } 中, a15 = 10, a45 = 90, (4) 数 列 {an } 为 等 比 数 列 , 每 隔

k (k ∈ N ) 项取出一项构成的新数列 am , am + k , am + 2 k , am +3k , ??? 仍为等比数列
*

则 a60 =

.

例 7.在等比数列 {an } 中, a1 + a2 + a3 = 30 (5) 若 {an } 为等比数列,相邻 k 项的和组 成的数列仍成等比数列,即:数列 a1 + a2 + ??? + ak , ak +1 + ak + 2 + ??? + a2 k ,

a7 +a8 + a9 = 120 , a13 + a14 + a15 =

a2 k +1 + a2 k + 2 + ???? + a3k L 成等比数列

(6) 若 {an } 为等比数列, 则相邻 k 项的积 组成的数列仍成等比数列,即:数列 a1 ? a2 ????? ak , ak +1 ? ak + 2 ????? a2 k ,

例 8. 在等比数列 {an } 中, a3 ? a4 ? a5 = 3

a6 ? a7 ? a8 = 24 ,则 a9 ? a10 ? a11 =

a2 k +1 ? a2 k + 2 ??????a3k 成等比数列

例. 已知 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且满足 例. 已知四个实数中, 前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 中间两数之积为 16, 收尾两数之积为 ?128 , 求这四个数.

an + 2 S n ? S n ?1 = 0(n ≥ 2) , a1 =
(1) 求证 {

1 2

1 } 是等差数列 Sn (2) 求 {an } 的通项公式.


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