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最新人教版高中数学选修4《生活中的优化问题举例》ppt课件


1.4 生活中的优化问题举例 新课引入: 导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数 求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问 题. 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些 问题通常称为 . 优化问题 1.几何方面的应用 (面积和体积等的最值) 2.物理方面的应用. 3.经济学方面的应用 (功和功率等最值) (利润方面最值) ? [例1] 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的 正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底 箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容 积是多少? ? [分析] 根据所给几何体的体积公式建模. ? [ 解析 ] 设箱高为 xcm ,则箱底边长为 (60 - 2x)cm,则得 箱子容积V是x的函数, ? V(x)=(60-2x)2·x(0<x<30) ? =4x3-240x2+3600x. ? ∴V′(x)=12x2-480x+3600, ? 令V′(x)=0,得x=10,或x=30(舍去) ? 当0<x<10时,V′(x)>0, ? 当10<x<30时,V′(x)<0. ? ∴当x=10时,V(x)取极大值,这个极大值就是V(x)的最大 值. ? 答:当箱子的高为 10cm,底面边长为40cm时,箱子的体 积最大. ? [点评] 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有 一个极值点,那么只需根据实际意义判定是最大值还是 最小值.不必再与端点的函数值进行比较. 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现 让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报,要求版 心面积 128 为, dm 上、下两边各空2dm,左、 右两边各空1dm。如何设计海报的 尺寸,才能使四周空心面积最小? 解:设版心的高为xdm,则版心的宽为 , 128 dm 此时四周空白面积为 。 x 2 例2.海报版面尺寸的设计 128 512 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 ? 2 x ? ? 8, x ? 0 x x 512 S ( x) ? 2 ? 2 求导数,得 x 512 ' S ( x ) ? 2 ? ? 0 解得 x ? 16( x 令 2 x ' ? ?16 舍去)。 于是宽为 当 128 128 ? ?8 x 16 x ? (0,16) 时, S ( x) ' <0;当 x ? (16, ??) 时, S ( x) >0. ' 因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。 所以,当版心高为16dm, 宽为8dm时,能使四周空白面积最小。 答:当版心高为16dm,宽为8dm时, 海报四周空白面积最小。 解法二:由解法(一)得 512 512 ? 8 ? 64 ? 8 ? 72 S ( x) ? 2 x ? ? 8 ? 2 2x ? x x 512 当且仅当2x ? , x 即x ? 16( x ? 0)时S取最小值 128 此时y= ?8 16 答:应使用版心宽为8dm ,长为 16dm ,四周空白面积最小 ? 已知圆柱的表面积为定值 S,求当圆柱的容积 V最大时圆 柱的高h的值. ? [解析] 设圆柱的底面半径为r,高为h, ? 则S圆柱底=2πr2,S圆柱侧=2πrh, 2 S - 2π r ∴圆柱的表面积 S=2πr2+2πrh.∴h= 2πr , 3 2 rS - 2π r S - 6π r 又圆柱的体积 V=πr2h= ,V′= , 2 2 令 V′=0 得 S=6π


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