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高三数学二轮复习教案:专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用

第2讲 自主学习导引 数列求和及数列的综合应用 真题感悟 ? 1 ? ? ? 1.(· 大纲全国卷)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的 ? n n+1? ? ? 前 100 项和为 100 A.101 99 B.101 99 C.100 101 D.100 解析 利用裂项相消法求和. 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ∵a5=5,S5=15, a +4d=5, ? ?1 ∴? 5×5-1 5 a + d=15, 1 ? ? 2 , ? ?a1=1 ∴? ∴an=a1+(n-1)d=n. ? d = 1 , ? 1 1 1 1 ∴ = =n- , anan+1 n?n+1? n+1 ∴数列{ 答案 A 1 1 1 1 1 1 1 100 }的前 100 项和为 1-2+2-3+…100-101=1-101=101. anan+1 2.(·浙江)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,n∈N+,数列{bn}满足 an=4log2bn +3,n∈N+. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 解析 (1)由 Sn=2n2+n,得 当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1. 所以 an=4n-1,n∈N+. 由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2n-1,n∈N+. (2)由(1)知 anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N+, 所以 Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1, 2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n, 所以 2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5. 故 Tn=(4n-5)2n+5,n∈N+. 考题分析 数列的求和是高考的必考内容,可单独命题,也可与函数、不等式等综合命题,求解的过程 体现了转化与化归的数学思想,解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法,并加以灵活 应用. 网络构建 高频考点突破 考点一:裂项相消法求数列的前 n 项和 【例 1】(· 门头沟一模)数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 (n∈N+),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an· an+1 ? ?S1,n=1, (1)运用公式 an=? 求 an,注意 n=1 时通项公式 an; ? ?Sn-Sn-1,n≥2, [审题导引] (2)裂项法求和. [规范解答] (1)由已知,当 n=1 时,a1=S1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1, ? n=1, ?2, ∴数列{an}的通项公式为 an=? ? ?2n-1, n≥2. (2)由(1)知, ? b =? 1 1? 1 - 1 ? =2? ??2n-1??2n+1? ?2n-1 2n+1??, n 1 6, n=1, n≥2, 1 当 n=1 时,T1=b1=6, 当 n≥2 时,Tn=b1+b2+…+bn 1 1 ? 1 1 1?1 1 1 1 1 - ?= - =6+2?3-5+5-7+…+ , 3 2 n - 1 2 n + 1 ? ? 4n+2 1 ∴{bn}的前 n 项和 Tn=3- 1 4n+2 . 【规律总结】 常用的裂项技巧和方法 用裂项相消法求和是最难把握的求和问题之一,其原因是有时很难找到裂项的方向.突破这 类问题的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧,如: (1) (2) 1 ? 1?1 ?; = k?n- n+k? ? n?n+k? 1 1 n+k+ n 1 =k( n+k- n); m -1=Cm (3)Cm n n+1-Cn ; (4)n· n!=(n+1)!-n!等. [易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题,容易出现的错误有两个方面: 1 1 1 容易误裂为n- ,漏掉前面的系数2; n?n+2? n+2 1 (1)裂项过程中易忽视常数,如 (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题,导致计算结果错误. 【变式训练】 1.(· 大连模拟)已知函数 f(x)= (1)求数列{an}的通项公式 an; 1 (2)若数列{bn}满足 bn=2anan+1· 3n,Sn=b1+b2+…+bn,求 Sn. 解析 (1)由已知,an+1= 1 3 ,∴ =a +1. an+3 an+1 n an x ,数列{an}满足 a1=1,an+1=f(an)(n∈N+). x+3 1 1 1 1 3 ? 1 1? ∴ +2=3?a +2?,并且a +2=2, ? n ? 1 an+1 ?1 1? 3 ∴数列?a +2?为以2为首项,3 为公比的等比数列, ? n ? 1 1 3 n-1 2 ∴a +2=2· 3 ,∴an= n . n 3 -1 (2)bn= 1 1 = - , ?3n-1??3n+1-1? 3n-1 3n+1-1 2· 3n ∴Sn=b1+b2+…+bn = 1 3-1 - 1 1 1 1 +…+ n - n 1 = - n 1 . 2 3 -1 3 -1 3 + -1 3 + -1 2 1 考点二:错位相减法求数列的前 n 项和 【例 2】(·滨州模拟)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 an+1=2Sn+2(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; ?1? (2)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数, 使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列, 求数列?d ?的前 n ? n? 项和 Tn. [审题导引] (1)利用递推式消去 Sn 可求 an; ? n? ?1? (2)利用错位相减法求数列?d ?的前 n 项和. [规范解答] (1)由 an+1=2Sn+2(n


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