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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:3-2-5 利用向量知识求距离


成才之路· 数学
人教A版 · 选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
空间向量与立体几何

第三章

空间向量与立体几何

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第三章
3.2 立体几何中的向量方法

第三章

空间向量与立体几何

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第三章
第 5 课时 利用向量知识求距离

第三章

空间向量与立体几何

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课前自主预习 课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业 方法规律总结

第三章

3.2

第5课时

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课程目标解读

第三章

3.2

第5课时

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1.理解空间中各种距离的概念. 2.掌握运用向量方法求各种空间距离.

第三章

3.2

第5课时

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课前自主预习

第三章

3.2

第5课时

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1.空间中的距离主要包括点点距、点线距、点面距、线线距、 线面距和面面距. 2.新教材提倡在立体几何中使用向量方法,而向量法求距离 能有效地简化运算,下面讨论如何用向量法求距离. 注:新课程标准中,对距离问题没有提到,可见要求很低, 但有关体积的运算要求会求,且在教材 105 页涉及距离的讨论问 题.高考也有距离问题,故加上这一节讨论,供学生学习参考, 重点放在点面距、两点距上,只了解向量法求距离的基本思路即 可.

第三章

3.2

第5课时

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(1)两点间的距离(即线段的长度). 求 A、B 两点间的距离一般用|AB|= (2)求点到平面的距离 →2 |AB| = → → AB· 求解. AB

第三章

3.2

第5课时

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如图所示,已知点 B(x0,y0,z0),平面 α 内一点 A(x1,y1,z1), 平面 α 的一个法向量 n, 直线 AB 与平面 α 所成的角为 φ, 〈n, θ= → → → AB〉 ,则 sinφ=|cos〈n,AB〉|=|cosθ|.由数量积的定义知,n· = AB → → → |n||AB|cosθ,∴点 B 到平面 α 的距离 d=|AB|· sinφ=|AB|· |cosθ|= → |n· | AB . |n|

第三章

3.2

第5课时

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(3)求异面直线间的距离 如图,若 CD 是异面直线 a、b 的公垂线,A、B 分别为 a、b → → → 上的任意两点,令向量 n⊥a,n⊥b,则 n∥CD.则由AB=AC+CD → → → → → → → +DB得,AB· n=AC· n+CD· n+DB· n,∴AB· n=CD· n.

第三章

3.2

第5课时

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→ |AB· n| → → → ∴|AB· n|=|CD|· |n|,∴|CD|= |n| . → |AB· n| ∴两异面直线 a、b 间的距离为 d= |n| .

第三章

3.2

第5课时

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(4)求直线到平面的距离 设直线 a∥平面 α,A∈a,B∈α,n 是平面 α 的法向量,过 A → 作 AC⊥α,垂足为 C,则AC∥n, → → → → ∵AB· n=(AC+CB)· n=AC· n, → → ∴|AB· n|=|AC|· |n|. → n| → |AB· ∴直线 a 到平面 α 的距离 d=|AC|= |n| .

第三章

3.2

第5课时

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(5)求两平行平面间的距离

→ |AB· n| ①用公式 d= |n| 求,n 为两平行平面的一个法向量,A、B 分别为两平面上的任意两点. ②转化为点面距或线面距求解.

第三章

3.2

第5课时

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重点难点展示

第三章

3.2

第5课时

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重点:距离的基本概念,用向量法求两点间的距离和点到平 面的距离. 难点:点到平面的距离.

第三章

3.2

第5课时

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学习要点点拨

第三章

3.2

第5课时

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1.在几何学中,我们经常遇到要计算两个图形之间的距 离.一般地,我们把一个图形内的任一点与另一图形内的任一 点的距离中的最小值,叫做图形与图形的距离. 计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的 课题.计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距 离.

第三章

3.2

第5课时

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2.空间两几何元素(点、直线、平面)之间的距离,除两点 → |AB· n| 间距离及点线距外都具有相同的表达形式,即 d= |n| .其中 A、B 是分别在两个几何元素上的点,n 是平面的法向量(几何 元素中含平面时),或与两异面直线都垂直的向量(几何元素为 两异面直线时),明确了原理,求距离问题就很容易掌握. 3. 求距离还常采用等积变换法或归结为解直角三角形. 既 然分别在两几何元素上的点是任意的, 实际取点时, 要取方便, 容易计算的.

第三章

3.2

第5课时

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课堂典例讲练

第三章

3.2

第5课时

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思路方法技巧

命题方向

两点间的距离(线段的长度)

[例 1]

已知平行六面体 ABCD-A′B′C′D′,AB=

4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90° ,∠BAA′=∠DAA′= 60° AC′的长. .求

第三章

3.2

第5课时

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[解析]

→ → → → 因为AC′=AB+AD+AA′,所以

→ → → → → → → |AC′|2=(AB+AD+AA′)· +AD+AA′) (AB →2 →2 → 2 → → → → → → =|AB| +|AD| +|AA′| +2(AB· +AB· AD AA′+AD· AA′) =42+32+52+2(0+10+7.5)=85. → 因此|AC′|= 85.

第三章

3.2

第5课时

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正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、 ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< 2). (1)求 MN 的长; (2)求当 a 为何值时,MN 的长最小.

第三章

3.2

第5课时

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[解析]

建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz,

则 F(1,0,0),B(0,1,0),C(0,1,1).

第三章

3.2

第5课时

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2-a a → → AM=(1- )AC= (0,1,1). 2 2 2-a a a a → a → → → → BN= BF=( ,- ,0),AN=AB+BN=( , , 2 2 2 2 2 0), 1 → → → MN=AN-AM= (a,0,a- 2), 2 → ∴|MN|= 22 1 ?a- 2 ? +2(0<a< 2).

第三章

3.2

第5课时

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→ (2)由|MN|=

22 1 ?a- ? + , 2 2

2 2 → ∴当 a= 时,|MN|min= . 2 2

第三章

3.2

第5课时

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命题方向

异面直线间的距离

[例 2]

正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,求异面直

线 A1C1 与 AB1 间的距离.

第三章

3.2

第5课时

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[解析]

如图建立坐标系,

第三章

3.2

第5课时

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则 A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1). → ∴AB1=(0,1,1), → A1C1=(-1,1,0). → → 设 MN 是直线 A1C1 与 AB1 的公垂线, 且AN=λAB1=(0, λ, → → λ),A1M=uA1C1=(-u,u,0), → → → → 则MN=MA1+A1A+AN=-(-u, u,0)+(0,0, -1)+(0, λ, λ) =(u,λ-u,λ-1).
第三章 3.2 第5课时

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?→ → ?MN· 1C1=0 A 所以? → → ?MN· 1=0 AB ?

? 2 ?λ-2u=0 ?λ=3 ? ,即? ,解得? ?2λ-u-1=0 ? ?u=1 ? 3

.

1 1 1 3 → → ∴MN=(3,3,-3),|MN|= 3 .

第三章

3.2

第5课时

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[点评]

求异面直线 l 与 m 之间的距离. (一)可以找出其公

垂线转化为求公垂线段的长度.(二)可以设与异面直线都垂直 的向量为 n,l、m 的方向向量
?n· =0 ? e1 e1,e2,则由? ?n·2=0 ? e

,可求出

→ |AB· n| n,然后在 l、m 上各取一个已知点 A、B,则距离 d= , |n| 一般后一种方法比前一种方法要简便.

第三章

3.2

第5课时

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在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 棱 A1B1、 1 的中点, BB 则异面直线 AM 与 CN 的距离为________.

[答案]

21 7

第三章

3.2

第5课时

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[解析]

如图,分别以 AB、AD、AA1 所在直线为 x 轴、y

1 轴、z 轴建立空间直角坐标系, A(0,0,0), 则 C(1,1,0),N(1,0,2), 1 1 1 → → M( ,0,1),∴AM=( ,0,1),CN=(0,-1, ), 2 2 2

第三章

3.2

第5课时

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→ → 设 n=(x,y,z),且 n⊥AM,n⊥CN, 1 → 1 → ∴n· =2x+z=0,n· =-y+2z=0, AM CN 1 ∴x=-2z,y=2z.取 z=2,则 n=(-4,1,2), → |AC· n| 21 ∴AM 与 CN 的距离 d= = . |n| 7

第三章

3.2

第5课时

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建模应用引路

命题方向

点面距

[例 3]

已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F

分别是边 AB、AD 的中点,GC 垂直于正方形 ABCD 所在的 平面,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离.

第三章

3.2

第5课时

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[解析]

以 C 为原点,直线 CD、CB、CG 分别为 x 轴、y

轴、z 轴建立空间直角坐标系如图,则 B(0,4,0),E(2,4,0), → → F(4,2,0),G(0,0,2),所以GE=(2,4,-2),GF=(4,2,-2).设 → n=(x,y,z)是平面 EFG 的一个法向量,则 n· =2x+4y-2z GE → =0,n· =4x+2y-2z=0.令 x=1,得 y=1,z=3,所以 n GF → =(1,1,3),而EB=(-2,0,0), → |n· | 2 11 EB 所以 d= |n| = 11 即为所求.
第三章 3.2 第5课时

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[点评]

求点面距时,(一)可由点 P 向平面作垂线,找出

垂足 P′,转化为求线段长 PP′;(二)可用等积法求解;(三) 设平面 α 的法向量为 n,平面 α 内已知点 A,则点 P 到平面 α → |PA· n| 的距离 d= ;(四)可转化为线面距,利用过已知点与已知 |n| 平面平行的直线上任一点到平面距离都相等求解.

第三章

3.2

第5课时

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在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 A1B1、CD 的中点,则点 B 到平面 AEC1F 的距离为________.

[答案]

6 3

第三章

3.2

第5课时

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[解析]

以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

1 1 则 A(1,0,0),F(0, ,0),E(1, ,1),B(1,1,0). 2 2

第三章

3.2

第5课时

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1 1 → → ∴AE=(0, ,1),AF=(-1, ,0). 2 2 → → 设平面 AEC1F 的法向量为 n=(1, μ), n· =0, AF λ, 则 AE n· =0. ?1 ?2λ+μ=0, ∴? ?-1+1λ=0, 2 ?
?λ=2, ? ∴? ?μ=-1. ?

第三章

3.2

第5课时

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∴n=(1,2,-1). → 又∵AB=(0,1,0), → |AB· n| 2 6 ∴点 B 到平面 AEC1F 的距离 d= = = . |n| 6 3

第三章

3.2

第5课时

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探索延拓创新

命题方向

线面距

[例 4]

已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a, E、 点

1 1 F 分别在 A1B、B1D1 上,且 A1E= A1B,B1F= B1D1. 3 3 (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求 EF 与平面 ABC1D1 的距离 d.

第三章

3.2

第5课时

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[解析]

(1)证明:建立如图空间直角坐标系 B—xyz,易得

?2 ?1 ? 2 ? 1 E?3a,0,3a?,F?3a,3a,a?, ? ? ? ?

第三章

3.2

第5课时

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→ ? 1 1 1 ? 故EF=?-3a,3a,3a?,
? ?

→ → BA=(a,0,0),BC1=(0,a,a). 设 n=(x,y,z)是平面 ABC1D1 的法向量. ? → ?n· =0 BA 由? → ?n· 1=0 ? BC
?ax=0 ? ?? ?ay+az=0 ?



令 z=1,得 n=(0,-1,1).

第三章

3.2

第5课时

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? 1 1 1 ? → ∵EF· ?-3a,3a,3a?· n= (0,-1,1)=0, ? ?

→ ∴EF⊥n,由于 EF?平面 ABC1D1, 故 EF∥平面 ABC1D1.

第三章

3.2

第5课时

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2 ? → ?2 (2)解:由(1)得BE=?3a,0,3a?,
? ? ?2 2 ? 2 → ∴BE· ?3a,0,3a?· n= (0,-1,1)= a. 3 ? ?

→ |BE· n| 2 ∴d= |n| = 3 a.

第三章

3.2

第5课时

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[点评]

当直线 l∥平面 α 时,l 上任一点到平面 α 的距离

都相等,故求线面距的一个基本思路就是转化为点面距.

第三章

3.2

第5课时

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已知正方形 ABCD 的边长为 1,PD⊥平面 ABCD,且 PD =1,E、F 分别为 AB、BC 的中点.求 (1)点 D 到平面 PEF 的距离; (2)直线 AC 到平面 PEF 的距离.

第三章

3.2

第5课时

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[解析]

如下图,建立空间直角坐标系,则 P(0,0,1),

? ?1 ? 1 ? A(1,0,0),C(0,1,0),E?1,2,0?,F?2,1,0?. ? ? ? ?

第三章

3.2

第5课时

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→ → → → 设 DH⊥平面 PEF,垂足为 H,则DH=xDE+yDF+zDP(x
? ? 1 1 +y+z=1)=?x+2y,2x+y,z?, ? ? ? → ?1 ? → ? 1 PE=?1,2,-1?,PF=?2,1,-1?. ? ? ? ?

→ → ∵DH⊥PE,
? 1 1?1 5 → → → ∴DH· =x+2y+2?2x+y?-z=4x+y-z=0.同理, PE 由DH ? ?

5 → ⊥PF得,x+4y-z=0.

第三章

3.2

第5课时

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4 9 又∵x+y+z=1,∴可解得 x=y=17,z=17. → 3 → 3 17 ∴DH= (2,2,3),∴|DH|= . 17 17

第三章

3.2

第5课时

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→ → → (2)设 AH′⊥平面 PEF, 垂足为 H′, 则AH′∥DH.设AH′ 1 ? → → → ? =λ(2,2,3)=(2λ, 3λ)(λ≠0), 2λ, 则EH′=EA+AH=?0,-2,0?
? ? ? ? 1 +(2λ,2λ,3λ)=?2λ,2λ-2,3λ?, ? ?

1 → → 2 2 2 ∴AH′· EH′=4λ +4λ -λ+9λ =0,即 λ=17.

第三章

3.2

第5课时

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1 17 → ∴AH′= (2,2,3),|AH′|= . 17 17 而 AC∥平面 PEF, 3 17 因此,点 D 到平面 PEF 的距离为 17 . 17 AC 到平面 PEF 的距离为 17 .

第三章

3.2

第5课时

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名师辨误作答
[例 5] 如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面边长

为 2 2,侧棱长为 4,E、F 分别为棱 AB、BC 的中点,求点 D1 到平面 B1EF 的距离 d.

第三章

3.2

第5课时

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[错解] 以 D 为原点,DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系 D-xyz,则 E(2 2, 2,0),F( 2,2 2, 0),B1(2 2,2 2,4),B(2 2,2 2,0),D1(0,0,4), → → ∴B1E=(0, 2,4),B1F=( 2,0,4), 设 n=(x,y,z)是平面 B1EF 的法向量,

第三章

3.2

第5课时

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→ → 则 n· 1E= 2y+4z=0,n· 1F= 2x+4z=0, B B ∴y=-2 2z,x=-2 2z. 取 z= 2,则 x=y=-4,∴n=(-4,-4, 2), → 又BD1=(2 2,2 2,-4),且直线 BD1 与平面 B1EF 相交, → |BD1· 20 17 n| ∴D1 到平面 B1EF 的距离 d= = . |n| 17

第三章

3.2

第5课时

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[辨析]

上述解法有两类错误:

→ (一)是AB的坐标应是终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标,错 解在计算向量坐标时错误;(二)是求点面距时,应是用平面内 → 一点和该点构成的向量与平面的法向量来求,错解中BD1的点 B?平面 B1EF.

第三章

3.2

第5课时

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[正解]

解法一:设 EF∩BD=G,连接 D1G,则三角形

D1GB1 的面积等于正方形 DBB1D1 面积的一半, 1 则 VB1D1EF=3S△D1GB1· EF,

第三章

3.2

第5课时

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1 又 VB1D1EF=3S△B1EF· d 11 =3·EF· 1G· 2 B d, 1 1 ∴ · 1G· B1B· 1B1, B d= D 2 2 B1B· 1B1 16 17 D ∴d=D1H= B G = 17 .
1

第三章

3.2

第5课时

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解法二:以 D 为原点,DA、DC、DD1 分别为 x 轴,y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 则 E(2 2, 2,0),F( 2,2 2,0),B1(2 2,2 2,4), D1(0,0,4). → → ∴EB1=(0, 2,4),FB1=( 2,0,4), → B1D1=(-2 2,-2 2,0). → 设 n=(x,y,z)是平面 B1EF 的一个法向量,则 n⊥EB1,n → ⊥FB1,
第三章 3.2 第5课时

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? ? ∴? ? ?

2y+4z=0, ?x=y=-2 2z. 2x+4z=0.

∴可取 n=(2 2,2 2,-1). ∴D1 到平面 B1EF 的距离 → 2 2 |B1D1· |-?2 2? -?2 2? -1×0| 16 17 n| d= |n| = = 17 . 8+8+1

第三章

3.2

第5课时

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方法规律总结

第三章

3.2

第5课时

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1.求两点间距离可转化为求向量的模. → |AB· n| 2.求异面直线间的距离用 d= |n| (其中 n 是与两异面直 线都垂直的向量,A、B 是分别在两异面直线上的点). → |AB· n| 3.求点面距用 d= |n| (其中 n 是平面的法向量,B 是平 面内一点,A 是已知点). → |AB· n| 4.求两平行平面距离用 d= (其中 A、B 分别为两平 |n| 面内的点,n 为平面的法向量).
第三章 3.2 第5课时

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→ |AB· n| 5. 求直线到平面的距离用 d= |n| (其中 A 是直线上一点, B 是平面内一点,n 是平面的法向量). 6. 求点 A 到直线 l 的距离用勾股定理求解或转化为两点间 距离求解. 7.线面距、面面距都可转化为点面距求解.

第三章

3.2

第5课时

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课堂巩固训练

第三章

3.2

第5课时

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一、选择题 1.已知 AB、BC、CD 为两两垂直的三条线段,且它们的 长都为 2,则 AD 的长为( A.4 B.2 ) C.3 D.2 3

[答案]

D

第三章

3.2

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→ → → → [解析] AD=AB+BC+CD, →2 → → →2 |AD| =|AB+BC+CD| →2 →2 → 2 → → → → → → → =|AB| +|BC| +|CD| +2AB· +2AB· +2BC· =|AB BC CD CD →2 →2 | +|BC| +|CD| =12,
2

→ ∴|AD|=2 3,故选 D.

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二、填空题 2.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,则 BD 到平面 EFD1B1 的距离为______.

1 [答案] 3

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[解析]

以 D 为原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x 轴,y

轴,z 轴建立空间直角坐标系,易求平面 EFD1B1 的法向量 n= 1 1 → (-1,1,2),又DF=(0,2,0), → |DF· 1 n| ∴d= = . |n| 3

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三、解答题 3.在棱长为 2 的正方体 AC1 中,G 为 AA1 的中点,求 BD 与面 GB1D1 的距离.

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3.2

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[解析]

如图所示,建立空间直角坐标系,则 B(2,2,0),

→ → G(2,0,1),B1(2,2,2),D1(0,0,2),D1B1=(2,2,0),D1G=(2,0,- → 1),BB1=(0,0,2). 设平面 GB1D1 的法向量 n=(x,y,z),则 → → n· 1B1=0,n· 1G=0, D D

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∴2x+2y=0,2x-z=0,即 y=-x,z=2x. 取 x=1,则 n=(1,-1,2), ∵BD∥B1D1,∴BD∥平面 GB1D1. → |B1B· 2 6 n| ∴BD 与平面 GB1D1 的距离为 d= |n| = 3 .

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