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2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案:1.3函数的基本性质互动课堂学案(含答案)

1.3 函数的基本性质 互动课堂 疏导引导 1.3.1 单调性与最大(小)值? 1.函数的单调性? 单调性和单调区间的定义? 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有? f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数. 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有? f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数. 如果函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 疑难疏引 (1)函数是增函数还是减函数,是对定义域内的某一个区间而言的,有的函数 在整个定义域里是增函数(减函数) ,也有的函数在定义域的某个区间上是增函数,而在另 外区间上又是减函数,也存在一些函数,根本就没有单调区间 . 如函数: f(x)=5x,(x ∈ {1,2,3}) .再者,因为一个固定点的函数值不会发生变化,所以函数的单调性不在某一个点 去讨论,即使在定义域内,也不可以随便把单调区间写成闭区间(比如一些函数的区间端点 正好是不连续的点). (2)函数的单调性与单调区间的关系 函数的单调性是对区间而言的,它是“局部”性质,对某一函数 y=f(x) ,它在某区间 上可能有单调性,也可能没有单调性;即使是同一个函数它在某区间上可能单调增,而在另 外一区间上可能单调减;对某一函数 y=f(x) ,它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增 (减)函数,不能说 y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增(减)函数.即函数的 单调性是针对定义域内的某个区间而言的,而有些函数在整个定义域内具有单调性.而有些 函数在定义域内某个区间上是增函数,在另一些区间上是减函数.? (3)函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势,是函数在 区间上的整体性质,函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数,它的 图象是沿 x 轴正方向逐渐上升的; 在单调区间上的减函数, 它的图象是沿 x 轴正方向逐渐下 降的. ●案例 1 如何证明函数 y=x+ 1 在(1,+∞)上为增函数? x 【探究】 证明函数的增减性,先在定义域上取 x1<x2,然后作差 f(x1)-f(x2) ,判断这 个差的符号即可.? 设 x1、x2 是(1,+∞)上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+ 1 1 -(x2+ ) x1 x2 =x1-x2+( x ? x2 x x ?1 1 1 - )=x1-x2- 1 =(x1-x2) ( 1 2 ). x1 x2 x1 x2 x1 x 2 ∵x1-x2<0,x1x2-1>0,x1x2>0,? ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).? ∴函数 y=x+ 1 在(1,+∞)上为增函数.? x 【溯源】 证明函数的单调性主要是利用定义来证明,其步骤为:? (1)取值:设 x1、x2 为该区间内任意的两个值,且 x1<x2; (2)作差变形:作差 f(x1)-f(x2) ,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于 判断差值符号的方向变形;? (3)定号:确定差值的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论;? (4)判断:根据定义作出结论.? 疑难疏引 讨论函数 y=f[φ (x)]的单调性时要注意两点: (1)若 u=φ (x),y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则 y=f[φ (x)]为增函数;? (2)若 u=φ (x),y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则 y=f [φ (x)]为减函数. 若函数 f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性,利用增(减)函数的定义容易证得,在 这个区间上: (1)函数 f(x)与 f(x)+C(C 为常数)具有相同的单调性. (2)C>0 时,函数 f(x)与 C·f(x)具有相同的单调性;C<0 时,函数 f(x)与 C·f(x)具有相 反的单调性. (3)若 f(x)≠0,则函数 f(x)与 1 具有相反的单调性. F ( x) (4)若函数 f(x)、g(x)都是增(减)函数,则 f(x)+g(x)仍是增(减)函数. (5)若 f(x)>0,g(x)>0,且 f(x)与 g(x)都是增(减)函数,则 f(x)·g(x)也是增(减)函数; 若 f(x)<0,g(x)<0,且 f(x)与 g(x)都是增(减)函数,则 f(x)·g(x)是减(增)函数. ●案例 2 求下列函数的单调增区间:? 2 (1)y=-x +2|x|+3;? (2)y=x- 5 ; x 2 (3)已知函数 f(x)在其定义域[-4,4]上是增函数,求 f(x -2x)的增区间. 【探究】 (1)可画图判断, (2)和(3)都不能画图, (2)可看成两个基本函数 g(x)=x 和 t(x)=- 5 2 相加得到, (3)是复合函数 f[u(x)]的形式,其中 u(x)=x -2x. x (1)如图.? 可判断函数的单调增区间是(-∞,-1),(0,1).? (2) g(x)=x 在 R 上是增函数, t(x)=的增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 5 5 在区间 (-∞,0) , (0, +∞) 上是增函数, 所以 y=xx x 2 (3)由函数定义域知-4≤x -2x≤4,所以 1- 5 ≤x≤1+ 5 ,二次函数 y=x -2x 的单调增 2 区间为(1,+∞) ,所以原函数的增区间为(1,1+ 5 ). 【溯源】 判断复合函数单调性的步骤:? (1)分解函数成简单函数的形式; (2)求出函数的定义域; (3)利用同增异减判断. (4)找出区间和定义域取交集. 2.函数的最值? 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在


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