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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第1节空间几何体的结构三视图和直观图课件理


第八篇 立体几何与空间向量

(必修2、选修2-1)

六年新课标全国卷试题分析 高考考点、示例分布图 命题特点 1.高考在本篇一般命制2道小题、 1道大题,分值占22分左右. 2.三视图、简单几何体的表面积 与体积,点、线、面位置关系的 判定主要以选择题、填空题的形 式出现,空间向量和空间角主要 以解答题的形式出现. 3.本篇重点考查推理论证能力和 空间想象能力,而且对数学运算 的要求有加强的趋势,转化与化 归思想贯穿整个立体几何始终.

第1节 空间几何体的结构、三视图和

直观图

最新考纲 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合 体的结构特征,并能运用这些特征描 述现实生活中简单物体的结构. 圆柱、圆锥、棱柱等的简易

组合)的三视图,能识别上述三 视图所表示的立体模型,会用斜 二测法画出它们的直观图. 3.会用平行投影方法画出简单 解空间图形的不同表示形式.

2.能画出简单空间图形(长方体、球、 空间图形的三视图与直观图,了

知识链条完善
考点专项突破 易混易错辨析

知识链条完善
【教材导读】

把散落的知识连起来

1.平行投影和中心投影的区别和联系?
提示:中心投影与人们感官的视觉效果是一致的,它常用来进行绘画; 平行投影中,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形 的形状和大小完全相同.
2.两面平行,其余各面都是平行四边形的几何体就是棱柱吗?

提示:不是,其余各面中相邻两面的公共边不一定都平行,如图几何体就不 是棱柱.

3.几何体三视图中的实线与虚线如何区分?

提示:看得见的轮廓线和棱为实线,看不见的为虚线.
4.怎样画物体的三视图和直观图? 提示:三视图是利用物体的三个正投影来表示空间几何体的方法,利 用平行投影画三视图;利用斜二测画法画几何体的直观图.

知识梳理
1.多面体的结构特征 多面体 棱柱 棱锥 棱台 结构特征 有两个面互相 平行 ,其余各面都是四边形且每相邻两 个四边形的交线都 平行且相等 . 有一个面是 多边形 ,而其余各面都是有一个公共顶点 的 三角形 棱锥被平行于 底面 的平面所截, 截面 和底面之间的 部分叫做棱台

2.旋转体的形成 几何体 圆柱 旋转图形 矩形 旋转轴 矩形一边 所在的直线 一直角边 所在的直线 直角腰 所在的直线

圆锥
圆台 球

直角三角形
直角梯形 半圆

直径 所在的直线

3.空间几何体的三视图 (1)三视图的形成与名称

①形成:空间几何体的三视图是用平行投影得到的,在这种投影之下, 与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的 形状和 大小 是
完全相同的;

②名称:三视图包括 正视图 、 侧视图 、 俯视图 .
(2)三视图的画法 ①在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成 虚线 ; ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前 方、 左前 方、 正上 方观察几何体画出的轮廓线.

4.空间几何体的直观图的画法 空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画,基本步骤是 (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把 它们画成对应的x′轴、y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′ = 45°(或135°) ,已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观图中

平行于x′轴、y′轴.已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长 度 保持不变,平行于y轴的线段,长度变为 原来的一半 .
(2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的z′轴,也 垂直于x′O′y′平面,已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平 行于z′轴且长度 不变 .

【重要结论】 1.几何体的三视图中,正视图和侧视图的高相等,正视图和俯视图的 长相等,侧视图与俯视图的宽相等,简记为正侧等高,正俯等长,侧俯 等宽.
2.平面图形的直观图与原图形面积的关系: S 直观图=
2 S 原图形, 4

S 原图形=2 2 S 直观图.

夯基自测
1.下列结论正确的是(

D )

(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥
(B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥 (C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 (D)圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析:A 错误,如图(1),由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体, 各面都是三角形,但它不是三棱锥.

B 错误,如图(2)(3),若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是 直角边所在直线,所得的几何体都不是圆锥. C 错误,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形 知,若以正六边形为底面,则侧棱长必然要大于底面边长. D 正确.

2.如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分,其中EH∥A′D′. 剩下的几何体是( C (A)棱台 )

(B)四棱柱

(C)五棱柱 (D)简单组合体

3.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( D )

解析:A中正视图、俯视图不对,故A错; B中正视图、侧视图不对,故B错;

C中侧视图、俯视图不对,故C错误.故选D.

4.(2015东北三校第一次联考)利用斜二测画法可以得到: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形;

④菱形的直观图是菱形.
以上结论正确的是 答案:①② .

5.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体 中的 (填入所有可能的几何体的编号).

①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.

解析:四棱柱与圆柱的正视图不可能为三角形,三棱锥、四棱锥、三棱柱、

圆锥的正视图都有可能是三角形.
答案:①②③⑤

考点专项突破

在讲练中理解知识

考点一 空间几何体的结构特征

【例1】 以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:①错误.当以斜边为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几 何体不是圆锥; ②以直角梯形中垂直底的腰为轴旋转一周所得旋转体是圆台,否则不是, 故②错误; ③正确; ④一个平行于底面的平面截圆锥,才得到一个圆锥和一个圆台,故④错 误.故选B.

反思归纳

解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧

(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观 察实物,提高空间想象能力; (2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件

构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、
面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举 出一个反例即可.

【即时训练】 (1)用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面, 则这个几何体一定是( (A)圆柱 (C)球体 (B)圆锥 (D)圆柱、圆锥、球体的组合体 )

解析:(1)截面是任意的且都是圆面,则该几何体为球体.故选C.

(2)给出下列几个命题: ①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;②对角面是全等矩形 的六面体一定是长方体;③长方体一定是正四棱柱,其中正确的命题 个数是( (A)0 ) (B)1 (C)2 (D)3

解析: (2)①直平行六面体底面是菱形,满足条件但不是正棱柱;②

底面是等腰梯形的直棱柱,满足条件但不是长方体;③显然错误.故
选A.

考点二 空间几何体的三视图(高频考点)
考查角度1:根据几何体的结构特征确认其三视图. 高考扫描:2013高考新课标全国卷Ⅱ

【例2】 (2014高考江西卷)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯
视图中正确的是( )

解析:由直观图可知,该几何体由一个长方体和一个五面体组成.从 上往下看,外层轮廓线是一个矩形,矩形内部有一条线段连接的两个 三角形.故选B.

反思归纳

根据几何体确认三视图的方法

(1)由实物图画三视图或判断选择三视图,按照“正侧一样高,正俯 一样长,俯侧一样宽”的特点确认. (2)对于简单组合体的三视图,首先要确认正视、侧视、俯视的方向, 其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应 注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.

考查角度2:根据三视图还原几何体的直观图. 高考扫描:2014高考新课标全国卷Ⅰ 【例3】 (2014高考新课标全国卷Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,

粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是(

)

(A)三棱锥
故选 B.

(B)三棱柱

(C)四棱锥

(D)四棱柱

解析:由题三视图得直观图如图所示,为三棱柱.

反思归纳

根据三视图还原几何体的策略

(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉;

(2)明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为直观图;
(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.

考查角度3:已知几何体的三视图中的某两视图,确定另外一种视图. 高考扫描:2011高考新课标全国卷 【例4】 如图,一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形,

则这个三棱柱的俯视图为(

)

解析:由正视图和侧视图可知,这是一个水平放置的一个正三棱柱,底面三 角形的高为 3 ,底面边长为 2.故选 D.

反思归纳

三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方 向,注意看到的部分用实线,不能看到的部分用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩余的视图.先根据已知的一部分视图,还

原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分视图的可能形式.当然
作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合. (3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视

图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.

考点三 空间几何体的直观图
【例5】 (2016福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的 直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是( )

解析:由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为 2 ,所以原 图形为平行四边形,位于 y 轴上的对角线长为 2 2 .故选 A.

反思归纳

用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行,原 图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的 曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲 线连接而画出.

【即时训练】 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边 AB 平行于 y 轴,BC,AD 平行于 x 轴.已知四边形 ABCD 的面积为 2 2 cm2,则原平面图形的 面积为( (C)8 cm
2

)
2 (D)8 2 cm

(A)4 cm2 (B)4 2 cm2

解析:法一 依题意可知∠BAD=45°,则原平面图形为直角梯形,上下底面 的长与 BC,AD 相等,高为梯形 ABCD 的高的 2 2 倍,所以原平面图形的面积 为 8 cm2.故选 C. 法二 S 原图形=2 2 S 直观图=2 2 ×2 2 =8(cm2).故选 C.

备选例题
【例题】 一条长为 2 的线段,它的三个视图分别是长为 3 ,a,b 的三条线 段,则 ab 的最大值为( (A) 5 (B) 6 (C) )
5 (D)3 2 解析:构造一个长方体,让长为 2 的线段为体对角线,由题意知

a =y +1,b =x +1,x +y =3,即 a +b =x +y +2=3+2=5,又 5=a +b ≥2ab,所以 ab ≤
5 ,当且仅当 a=b 时取等号,故选 C. 2

2

2

2

2

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2

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2

2

2

2

2

易混易错辨析

用心练就一双慧眼

忽略三视图中的虚实线而致误 【典例】 (2014高考湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个 四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2). 给出编号 为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

(A)①和②

(B)③和①

(C)④和③

(D)④和②

解析:如图所示,A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2),B,C,D 点在面 yOz 上的射影分别为 B1,C1,D1,它们在一条直线上,且 C1 为 B1D1 的中点,从前 往后看时,看不到棱 AC,正视图中,AC1 应为虚线.故正视图应为图④.点 A,D,C 在面 xOy 内的射影分别为 O,B,C2,俯视图为△OC2B,故为图②.故选 D.

易错提醒:

(1)此题在解答时,很容易根据已知正视图是个直角三

角形而选择A,忽略了从前往后看,看不到棱AC,正视图中应该是虚线. (2)俯视图是个钝角三角形,不能凭借感觉去选C,以为俯视图是直角 三角形而出现错误.



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