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2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编2:函数教师版


2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 2:函数
一、选择题 1 . (2013 年高考重庆卷(文) 函数 y )

?

1 的定义域为 log 2 ( x ? 2)
C. (2,3) ? (3, ??) D. (2, 4) ? (4, ??) 已 知 函 数





A. (??, 2)
【答案】C 2 . ( 2013

B. (2, ??)

















) )

f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ?
A. ?5
【答案】C





B. ?1

C. 3

D. 4

3 . (2013 年高考大纲卷(文) 函数 )

? 1? f ? x ? ? log 2 ?1 ? ? ? x ? 0 ?的反函数f -1 ? x ? = ? x?
C. 2x ?1? x ? R?
宁 卷 ( 文





A.

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

B.

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

D. 2x ?1? x ? 0?
) )

【答案】A 4 . ( 2013 年 高 考 辽







数 ( )

f ? x ? ? ln
A. ?1
【答案】D

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ? 2?
B. 0 C. 1 D. 2

?

5 . (2013 年高考天津卷(文) 设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x 2 ? 3 . 若实数 a, b 满 )

足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 , 则 A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b)
【答案】A

( B. f (b) ? 0 ? g (a) D. f (b) ? g (a) ? 0



6 . (2013 年高考陕西卷(文) 设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为 M, 则 CR M 为 )





A.(-∞,1)
【答案】B

B.(1, + ∞)

C. (??,1]

D. [1, ??)

7 . (2013 年上海高考数学试题(文科) 函数 )

f ? x ? ? x2 ?1? x ? 1? 的反函数为 f ?1 ? x ? ,则
( )

f ?1 ? 2? 的值是
A. 3 B. ? 3 C. 1 ? 2 D. 1 ? 2

【答案】A 8 . (2013 年高考湖北卷 (文) x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 )

R 上为 A.奇函数 【答案】D

( B.偶函数 C.增函数 D.周期函数



9 . (2013 年高考四川卷(文) 设函数 )

f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).
( D. [0,1] )

若存在 b ? [0,1] 使 f ( f (b)) ? b 成立,则 a 的取值范围是 A. [1, e]
【答案】A 10. (2013 年高考辽宁卷(文) 已知函数 )

B. [1,1 ? e]

C. [e,1 ? e]

f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 , g ? x ? ? ?x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 ? 8. 设 H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ??, H2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ??, ? max ? p, q?? 表示 p, q 中
的较大值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值 为 B ,则 A ? B ? A. a ? 2a ? 16
2

( B. a ? 2a ? 16
2



C. ?16

D. 16 ( )

【答案】C 11. (2013 年高考北京卷(文) 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 )

A. y ?

1 x

B. y ? e

?x

C y ? ?x ?1


2

D. y ? lg | x |

【答案】C 12. (2013 年高考福建卷(文) 函数 )

f ( x) ? ln( x 2 ? 1) 的图象大致是

( A.
【答案】A 13. (2013 年高考浙江卷(文) 已知 a.b.c∈R,函数 f(x)=ax +bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则 )
2



B.

C.

D. ( )

A.a>0,4a+b=0 【答案】A

B.a<0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0

D.a<0,2a+b=0

14. (2013 年高考山东卷(文) 已知函数 f (x) 为奇函数,且当 x )

? 0 时, f ( x) ? x 2 ?

1 ,则 x
( )

f (?1) ?
A.2
【答案】D

B.1

C.0

D.-2

15. (2013 年高考广东卷(文) 函数 f ( x ) ? )

lg( x ? 1) 的定义域是 x ?1
C. (?1,1) ? (1, ??) D. [?1,1) ? (1, ??)





A. (?1, ??)
【答案】C

B. [?1, ??)

16. (2013 年高考陕西卷(文) 设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的 )


log A. loga b· c b ? logc a log B. loga b· a a ? loga b





C. loga (bc) ? loga b oga c
【答案】B 17. (2013 年高考山东卷(文) 函数 )

D. loga (b ? c) ? loga b ? loga c

f ( x) ? 1 ? 2 x ?

1 的定义域为 x?3





A.(-3,0]

B.(-3,1]

C. (??, ?3) ? ( ?3, 0]

D. (??, ?3) ? ( ?

【答案】A 18. (2013 年高考天津卷(文) 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调 )

递增. 若实数 a 满足 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是
2





A. [1, 2]
【答案】C

? 1? B. ? 0, ? ? 2?

?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?
2

D. (0, 2]

19. (2013 年高考湖南(文) 函数 f(x)=㏑ x 的图像与函数 g(x)=x -4x+4 的图像的交点个数 )

为______ A.0 【答案】C

( B.1 C.2 D.3



20. (2013年高考课标Ⅰ卷(文) 已知函数 )

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, f ( x) ? ? ,若 | f ( x) |? ax ,则 a ln( x ? 1), x ? 0 ?
( ) C. [?2,1] D. [?2, 0]

的取值范围是 A. (??, 0]
【答案】D; 21. (2013 年高考陕西卷(文) 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 )

B. (??,1]





A.[-x] =
【答案】D

-[x] B.[x +

1 ] = [x] 2

C.[2x] = 2[x]

1 D. [ x] ? [ x ? ] ? [ 2

22. (2013 年高考安徽(文) 函数 y ? f ( x ) 的图像如图所示,在区间 )

? a, b? 上可找到 n(n ? 2)
( )

个不同的数 x1 , x2 ,? , xn ,使得

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 n 的取值范围为 ? ?? ? x1 x2 xn

A. ?2,3?

B. ?2,3, 4?

C. ?3, 4?

D. ?3, 4,5?

【答案】B 23. (2013 年高考湖北卷(文) )

小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段 时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是
距学校的距离 距学校的距离

O A
距学校的距离

时间

O B
距学校的距离

时间

O C
【答案】C

时间

O D

时间

24 .( 2013 年 高 考 湖 南 ( 文 )) 已 知 f(x) 是 奇 函 数 ,g(x) 是 偶 函 数 , 且

f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于____ A. 4 B.3 C.2 【答案】B
二、填空题

( D.1



25. (2013 年高考安徽(文) 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) .若当 0 ? )

x ?1

时. f ( x) ? x(1 ? x) , 则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) =________________.
【答案】 f ( x) ? ?

x( x ? 1) 2

26





2013























f ? x ? 是以2为周期的函数,且当x ??1,3?时,f ? x ? = ____________.
【答案】-1

? log 1 x, x ? 1 ? 2 27. (2013 年高考北京卷(文) 函数 f(x)= ? ) 的值域为_________. ?2 x , x ?1 ?
【答案】(-∞,2) 28. (2013 年高考安徽(文) 函数 y ? ln(1 ? ) 【答案】

1 ) ? 1 ? x 2 的定义域为_____________. x

? 0,1?

29. (2013 年高考浙江卷(文) 已知函数 f(x)= x-1 若 f(a)=3,则实数 a= ____________. ) 【答案】10

?2 x 3 , x ? 0 ? ? 30. (2013 年高考福建卷 (文) 已知函数 f ( x) ? ? ) ? ,则 f ( f ( )) ? ________ 4 ?? tan x,0 ? x ? 2 ?
【答案】 ? 2

.

31. (2013 年高考四川卷(文) lg ) 【答案】1

5 ? lg 20 的值是___________.
9 ? 1 ? 3x 的实数解为_______. 3 ?1
x

32. (2013 年上海高考数学试题(文科) 方程 ) 【答案】 log3 4 三、解答题

?1 ? a x, 0 ? x ? a ? 33. (2013 年高考江西卷(文) 设函数 f ( x) ? ? ) ? 1 (1 ? x), a ? x ? 1 ?1 ? a ?
且 a∈(0,1). (1) 当 a=

a

为 常数

1 1 时,求 f(f( )); 2 3

(2) 若 x0 满足 f(f(x0))= x0,但 f(x0)≠x0,则称 x0 为 f(x)的二阶周期点,证明函数 f ( x ) 有 且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点 x1,x2; 2 (3) 对于(2)中 x1,x2,设 A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a ,0),记△ABC 的面积为 s(a),求 s(a)在区间[

1 1 , ]上的最大值和最小值. 3 2

【答案】解:(1)当 a=

1 1 2 1 2 2 2 时, f ( )= , f ( f ( )) ? f ( ) ? 2(1 ? ) ? 3 3 3 3 3 3 2

?1 2 ? a 2 x, 0 ? x ? a ? ? 1 (a ? x), a 2 ? x ? a ? a(1 ? a ) ? ( 2) f ( f ( x)) ? ? ? 1 2 ( x ? a), a ? x ? a 2 ? a ? 1 ? (1 ? a ) ? ? 1 (1 ? x), a 2 ? a ? 1 ? x ? 1 ? ? a(1 ? a )
当 0 ? x ? a 时,由
2

1 x ? x 解得 x=0,由于 f(0)=0,故 x=0 不是 f(x)的二阶周期点; a2

当 a ? x ? a 时由
2

a 1 (a ? x) ? x 解得 x ? 2 ? (a 2 , a), ?a ? a ? 1 a(1 ? a)

a 1 a 1 a )? ? 2 ? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 a 故x? 是 f( x)的二阶周期点; 2 ?a ? a ? 1
因 f(
2

当 a ? x ? a ? a ? 1 时,由
2

1 1 ( x ? a) ? x 解得 x ? ? (a, a2 ? a ? 1) 2 2?a (1 ? a)

因 f(
2

1 1 1 1 1 )? ? (1 ? )? 故x? 不是 f(x)的二阶周期点; 2 ? a 1? a 2?a 2?a 2?a
1 1 (1 ? x) ? x 解得 x ? 2 ? (a2 ? a ? 1,1) ?a ? a ? 1 a(1 ? a)

当 a ? a ? 1 ? x ? 1时,

1 1 1 a 1 )? ? (1 ? 2 )? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 1 ? a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 1 故x? 是 f(x)的二阶周期点. ?a 2 ? a ? 1 a 1 因此,函数 f ( x ) 有且仅有两个二阶周期点, x1 ? , x2 ? . 2 2 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 a a 1 1 , 2 ), B( 2 , 2 ) (3)由( 2)得 A( 2 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
因 f(
2

1 a 2 (1 ? a) 1 a(a3 ? 2a 2 ? 2a ? 2) ?(a) ? ? 则 s (a) ? ? ,s 2 ?a 2 ? a ? 1 2 (?a 2 ? a ? 1)2
因为 a 在[

1 1 1 1 , ]内,故 s?(a) ? 0 ,则 s (a)在区间[ , ]上单调递增, 3 2 3 2
1 1 3 2 1 3 1 1 1 ,最大值为s( )= 33 2 20

故 s (a)在区间[ , ]上最小值为s( )=

34 . 2013 年 高 考 安 徽 ( 文 ) 设 函 数 ( )

f ( x) ? ax ? (1 ? a 2 ) x 2 , 其 中 a ? 0 , 区 间

I ? ? x | f ( x) ? 0? .
(Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ; (Ⅱ)给定常数 k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值.
【答案】解:(1)令 f ( x) ? x ? a ( ? a )x ? ? 0 ? -1 ?
2

解得 x1 ? 0

x2 ?

a 1 ? a2

a ? ? ? I ? ?x | 0 ? x ? ? 1 ? a2 ? ?
? I 的长度 x2 - x1 ?
(2) k ? ? 0,1? 由 (1) I ?

a 1 ? a2

则 0 ? 1? k ? a ? 1? k ? 2

a 1 ? a2

I'?

1 ? a2 ? 0 ,则 0 ? a ? 1 (1 ? a 2 ) 2

故 I 关于 a 在 (1 ? k ,1) 上单调递增,在 (1,1 ? k ) 上单调递减.



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