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高中三角函数难题集


一、选择题(题型注释) 1.已知 ?ABC 外接圆 O 的半径为 1 ,且 OA ? OB ? ?

? 1 . ?C ? ,从圆 O 内随机取一个 3 2
) D.等腰直角三

点 M ,若点 M 取自内的概率恰为 A.直角三角形 角形 【答案】B 【解析】 试题分析:依题意, B.等边三角形

3 3 ,判断 ?ABC 的形状. ( 4?
C.钝角三角形

1 OA OB ? OA OB cos ?AOB ? cos ?AOB ? ? ,又 2 ? 2? ?C ? ,??AOB ? , 3 3

在内易知 AB ? 3 ,在 ?ABC 内由余弦定理得

3 ? AC ? BC ? 2 AC BC cos

2

2

2

?
3

,则 3 ? AC ? BC ? AC BC ? AC BC

2

2

(当且仅当 AC ? BC 时,等号成立) ,又有几何概率可知

S?ABC

?

?

1 ? 3 3 3 3 3 3 3 ,即 S?ABC ? ,? S?ABC ? AC BC sin ? , AC BC ? 2 3 4 4? 4 4

即 AC BC ? 3 ,此时当且仅当 AC ? BC ? 3 ,所以 ?ABC 为等边三角形. 考点:正弦定理和余弦定理、基本不等式、几何概率. 2.若 ?PQR 的三个顶点坐标分别为 P (cos A, sin A) , Q (cos B, sin B ) ,

R (cos C , sin C ) ,其中 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角且满足 A ? B ? C ,则 ?PQR 的形状
是( ) B.钝角或直角三角形 D.钝角三角形 A.锐角或直角三角形 C.锐角三角形 【答案】D

【解析】解:因为 ?PQR 的三个顶点坐标分别为 P (cos A, sin A) , Q (cos B, sin B ) ,

R (cos C , sin C ) ,其中 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角且满足 A ? B ? C ,则 ?PQR 的形状
是则利用余弦定理可知判定为钝角三角形选 D 3. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b 的图像如图,则 f ( x ) 的解析式与 s ? f (0) ? f (1) ? f (2) +…… f (2010) 的值分别为

1 sin 2? x ? 1, s ? 2010 2 1 ? 1 B. f ( x) ? sin x ? 1, s ? 2011 2 2 2 1 ? 1 C. f ( x) ? sin x ? 1, s= 2010 2 2 2 1 ? D. f ( x) ? sin x ? 1, s=2011 2 2
A. f ( x) ? 【答案】B 【解析】周期为 4,2011 除以 4 得商 502 余数 3.或 2010 除以 4 得商 502 余数 2,但应单独 记 f(0). 4.图 1 是函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图像,A(x,y)是图像上任意一点,过点 A 作 x 轴的平 行线,交其图像于另一点 B(A,B 可重合) 。设线段 AB 的长为 f(x),则函数 f(x)的图像是 ( )

【答案】A 【解析】

y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) M N OM ? ON A ? ?

? 6

2? 6

7? 6

7? 12

【答案】C 【解析】 易知 T ? ? , ? ? 2 , M (

7 7 , A) , N ( ? , ? A) , A ? ? 12 12 12

?

6.已知函数 f ( x) ? cos x sin x( x ? R ) ,给出下列四个命题: ①若 f ( x1 ) ? ? f ( x 2 ), 则x1 ? ? x 2 ; ② f ( x ) 的最小正周期是 2? ;

③ f ( x ) 在区间 [ ?

, ] 上是增函数; 4 4 3? ④ f ( x ) 的图象关于直线 x ? 对称; 4
⑤当 x ? ??

? ?

[来源:学科网]

? 3 3? ? ? ?? , ? 时, f ( x) 的值域为 ?? , ?. ? 6 3? ? 4 4 ?

其中正确的命题为 ( ) A.①②④ B.③④⑤ C.②③ D.③④ 【答案】D 【解析】略 7.已知长方形的四个项点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1)和 D(0,1) ,一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 ? 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4(入射解等于反射角) ,设 P4 坐标为( x4 , 0), 若1 ? x 4 ? 2, 则tan? 的取值范围 是( )

(A) ( ,1) 【答案】 C 【解析】

1 3

(B) ( , )

1 2 3 3

(C) ( , )

2 1 5 2

(D) ( , )

2 2 5 3

考虑由 P0 射到 BC 的中点上,这样依次反射最终回到 P0,此时容易求出 tan ? = 条件知,1<x4<2,则 tan ? ≠

1 ,由题设 2

1 ,排除 A、B、D,故选 C. 2

8. ?ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆于 A1 、 B1 、

C1 。则

AA1 ? cos

A.2 【答案】A 【解析】如图,

A B C ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos 2 2 2 的值为( sin A ? sin B ? sin C B.4 C.6 D.8



连 BA1 ,则 AA1 ? 2sin( B ?

A B C A? B ?C B C ) ? 2sin( ? ? ) ? 2 cos( ? ). 2 2 2 2 2 2

? AA1 cos

A B C A A? B ?C A?C ? B ? ? ? 2 cos( ? ) cos ? cos ? cos ? cos( ? C ) ? cos( ? B) 2 2 2 2 2 2 2 2 B C A ? sin C ? sin B,同理BB1 cos ? sin A ? sin C , CC1 cos ? sin A ? sin B,? AA1 cos ? BB1 ? 2 2 2 B C 2(sin A ? sin B ? sin C ) cos ? CC1 cos ? 2(sin A ? sin B ? sin C ),? 原式 ? ? 2.选A. 2 2 sin A ? sin B ? sin C

9.设 f1 ( x) ?

2 , f 2 ( x) ? sin x ? cos 2 x , f3 ( x) ? sin

x ? cos 2 x , 2
()

f 4 ( x) ? sin x 2 ,上述函数中,周期函数的个数是
(A) 【答案】B 【解析】 f 1 ( x) ? 1 (B) 2 (C) 3 (D)

4

2 是以任何正实数为周期的周期函数; f 2 ( x) 不是周期函数。 因为
2? 2
为周期的周期函数, 而 T1

sin x 是以 T1 ? 2? 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2 ?

与 T 2 之比不是有理数,故 f 2 ( x ) 不是周期函数。 f 3 ( x ) 不是周期函数。因为 sin

x 2

是以

T1 ? 2 2? 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2 ?
2

2? 2

为周期的周期函数, 而

T1 ? 2, T2

故 f 3 ( x ) 是周期函数. f 4 ( x ) ? sin x 不是周期函数.因此共有 2 个周期函数. ? 选 【 B 】 10.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c(b≠1),且
b

C sin B , 都是方程 log A sin A

x=logb(4x-4)的根,则△ABC





A.是等腰三角形,但不是直角三角形 C.是等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由 log
2

B.是直角三角形,但不是等腰三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

b

x=logb(4x-4)得:x -4x+4=0,所以 x1=x2=2,故 C=2A,sinB=2sinA,因
3

A+B+C=180 ,所以 3A+B=180°,因此 sinB=sin3A,∴3sinA-4sin A=2sinA,∵sinA(14sin A)=0,又 sinA≠0,所以 sin A= A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。 11.已知 ? , ? 为锐角且 ? ? ? ?
2 2

1 1 ,而 sinA>0,∴sinA= 。因此 4 2

?
2

, x ? R, f ( x ) ? (

cos ? ?x? cos ? ? x? ) ?( ) sin ? sin ?

则下列说法正确的是 (

)

A. f ( x ) 在定义域上为递增函数 B. f ( x ) 在定义域上为递减函数 C. f ( x ) 在 ???, 0? 上为增函数,在 (0, ?? ) 上为减函数 D. f ( x ) 在 ???, 0? 上为减函数,在 (0, ?? ) 上为增函数 【答案】C 【解析】

??? ?

?

? cos ? cos ? ? cos ? ? cos( ? ? ) ? sin ? ? ? 1,同理: ?1 2 2 sin ? sin ?
? ?? ? 时,下面四个函数中最大的是( ? 4?
B. sin(sin x) C. cos(sin x) )

12.当 x ? ? 0,

A. sin(cos x) 【答案】C

D. cos(cos x)

【解析】因为 x ? ? 0,

2 ? ?? ? cos x ? 1 。于是有 ? ,所以 0 ? sin x ? 2 ? 4?

cos(sin x) ? cos(cos x) , sin(sin x) ? sin(cos x) 。又因为

sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ? 2 ? ,即 cos x ? ? sin x ,所以有 2 4 2

?

?

?

sin(cos x) ? sin( ? sin x) ? cos(sin x) 。因此, cos(sin x) 最大。 2
13.若 ?、? 均为锐角,且 2 sin ? ? sin(? ? ? ) ,则 ?与? 的大小关系为 ( A. ? ? ? 【答案】B 【解析】 2 sin ? ? sin(? ? ? ) ? 2 sin( B. ? ? ? C. ? ? ? D. 不确定 )

?

? ??
2

) cos(

? ??
2

) ? sin ? ? sin(

? ??
2

)

14.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则

sin A cot C ? cos A 的取值范围是() sin B cot C ? cos B
A. (0, ?? ) C. ( B. (0,

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

5 ?1 ) 2 5 ?1 D. ( , ??) 2

【答案】C 【解析】设 a, b, c 的公比为 q ,则 b ? aq, c ? aq 2 ,而

sin A cot C ? cos A sin A cos C ? cos A sin C ? sin B cot C ? cos B sin B cos C ? cos B sin C sin( A ? C ) sin(? ? B) sin B b ? ? ? ? ?q. sin( B ? C ) sin(? ? A) sin A a 因此,只需求 q 的取值范围.
因 a, b, c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a, b, c 要构成三角形的三边,必需且只需

a ? b ? c 且 b ? c ? a .即有不等式组
2 2 ? ?a ? aq ? aq , ? ?q ? q ? 1 ? 0, 即? ? 2 2 ? ?aq ? aq ? a ? ?q ? q ? 1 ? 0.

?1 ? 5 5 ?1 ?q? , ? ? 2 2 解得 ? ? q ? 5 ? 1 或q ? ? 5 ? 1 . ? ? 2 2
从而

5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,因此所求的取值范围是 ( ?q? , ). 2 2 2 2

15.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对边的边长,若

cos A ? sin A ?
A.1 【答案】B

a?b 2 的值是( ?0则 c cos B ? sin B
B. 2 C. 3

) D.2

【解析】? cos A ? sin A ?

2 ? 0 ,∴ (cos A ? sin A)(cos B ? sin B) ? 2 cos B ? sin B

∴ cos A cos B ? cos A sin B ? sin A cos B ? sin A sin B ? 2 即 cos( A ? B ) ? sin( A ? B ) ? 2 ∴ cos( A ? B ) ? 1, sin( A ? B ) ? 1 ∴ A ? B, A ? B ? 90 ? ,∴ a ? b ,

a?b ? 2 ,故选 B c

二、填空题(题型注释) 16.设集合 A ? R ,如果 x0 ? R 满足:对任意 a ? 0 ,都存在 x ? A ,使得
? 0 ?| x ? x0 |? a ,那么称 x0 为集合 A 的一个聚点,则在下列集合中: (1 ) z

z? ; (2 )

R?

1 n ? ? ? ? R ? ;(3) ? x | x ? , n ? N *? ;(4) ? x | x ? , n ? N *? ,以 0 为聚点的集合有 n ?1 n ? ? ? ?

(写出所有你认为正确的结论的序号) . 【答案】 (2) (3) 【解析】 试题分析: (1)对于某个 a<1,比如 a=0.5,此时对任意的 x∈Z ∪Z ,都有|x-0|=0 或者 + |x-0|≥1,也就是说不可能 0<|x-0|<0.5,从而 0 不是 Z ∪Z 的聚点; (2)集合{x|x∈ R,x≠0},对任意的 a,都存在 x=
+ -

a a (实际上任意比 a 小得数都可以) ,使得 0<|x|= 2 2
? ? 1 ? , n ? N *? 中的元素是极限为 n ?

<a,∴0 是集合{x|x∈R,x≠0}的聚点; (3)集合 ? x | x ? 0 的数列,对于任意的 a>0,存在 n>

1 1 ,使 0<|x|= <a,∴0 是集合 a n

1 n ? ? ? ? (4)集合 ? x | x ? , n ? N *? 中的元素是极 限为 1 的 数 ? x | x ? , n ? N *? 的聚点; n ?1 n ? ? ? ?
列,除了第一项 0 之外,其余的都至少比 0 大 |x|<a 的 x,∴0 不是集合 ? x | x ?

1 1 ,∴在 a< 的时候,不存在满足得 0< 2 2

? ?

n ? (3) . , n ? N *? 的聚点.故答案为(2) n ?1 ?
1 ? a ? b ? a ? b ? .如果函数 2

考点:新定义问题,集合元素的性质,数列 的性质. 17.对任意实数 a, b ,函数 F (a, b) ?

f ( x) ? sin x, g ( x) ? cos x ,那么对于函数 G ( x) ? F ? f ( x), g ( x) ? .对于下列五种说法:
(1) 函数 G ( x ) 的值域是 ? ? 2, 2 ? ;

?

?

(2) 当且仅当 2k? ?

?
2

? x ? 2 ? k +1? ? (k ? Z ) 时, G ( x ) ? 0 ;

(3) 当且仅当 x ? 2k? ? (4) 函数 G ( x ) 图象在 ? 倍;

?
2

(k ? Z ) 时,该函数取最大值 1;

? ? 9? ? 上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的 4 , ?4 4 ? ?

(5) 对任意实数 x 有 G ? 其中正确结论的序号是 【答案】(2)(4)(5) 【解析】 试题分析:由已知得,

? 5? ? ? 5? ? ? x? ? G? ? x ? 恒成立. ? 4 ? ? 4 ?


G ( x) ? F ? f ( x), g ( x) ? ? F ? sin x, cos x ? ?

1 ?sin x ? cos x ? sin x ? cos x ? 2

? ? 5? ? ? ? 2 cos x, x ? ? 2k? ? 4 , 2k? ? 4 ? ? 5? ? ? ? ? ? ?? .当 x ? ? 2k? ? , 2k? ? 时, 4 4 ? ? ? ? 2sinx, x ? ? 2k? ? 3? , 2k? ? ? ? ? ? 4 4? ? ? ?
3? ?? ? ? G ? x ? ? 2 cos x ? ? 2k? ? , 2k? ? ? 时, ? ?2, 2 ? ;当 x ? ? 4 4? ?

? G ? x ? ? 2sinx ? ? ? ?2, 2 ? .
函数 G ( x ) 的值域是 ? ?2, 2 ? ,所以(1)错误;

?

?

(2)当 x ? ? 2k? ?

? ?

?
2

, 2 k? ?

5? ? 4 ? ?

5? ? ? ? ? ? 2 k? ? , 2k? ? 2? ? ? ? 2k? ? , 2k? ? 2? ? 时, ? 4 2 ? ? ? ?

G ( x ) ? 0 ,所以(2)正确;
(3)该函数的最大值是 2 ,所以(3)错误; (4)在区间 ?

9? ? ? ? 9? ? 和 x ? ,最低点对应的横坐标是 , ? 上,最高点对应的横坐标是 x ? 4 4 ?4 4 ?

x ?? 和 x ?
象在 ?

? 3? ,所以最高点间的距离是 2? ,最低点间的距离是 ,所以“函数 G ( x ) 图 2 2

? ? 9? ? 上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的 4 倍”是正确的; , ?4 4 ? ?

(5) 因为 G ? x ? ?

1 ?? ?? ? ? [ 2 sin ? x ? ? ? 2 sin ? x ? ? ] ,所以 2 4? 4? ? ?
2 sin ?? ? x ? ] ? 2 sin ?? ? x ? ] ? 1 ? 2 cos x ? 2

? 5? ? 1 ? 3? ? G? ? x ? ? [ 2 sin ? ? x? ? ? 4 ? 2 ? 2 ? ? 5? ? 1 ? 3? ? G? ? x ? ? [ 2 sin ? ? x? ? ? 4 ? 2 ? 2 ?

?

2 sin x ,

?

1 ? 2 cos x ? 2 sin x , 2

?

?

所以对任意实数 x 有 G ?

? 5? ? ? 5? ? ? x? ? G? ? x ? 恒成立. ? 4 ? ? 4 ?

考点:1.三角函数的积化和差公式;2.三角函数的最值;3.三角函数的诱导公式;4.三角 函数的图像与性质 18.已知 O 是锐角 ?ABC 的外接圆的圆心,且 ?A ?

?
4

,其外接圆半径为 R ,若

cos B cos C 1 ? AB ? ? AC ? m AO ,则 m ? ____ c b 2R

【答案】 2 【解析】 试题分析: 所以

cos B cos C 1 cos B cos C ? AB ? ? AC ? m AO ? AB ? ? AC ? m AO c b 2R sin C sin B

cos B cos C cos C ? cos B ? AB ? ? AC ? AO ? BO ? BA ? AO ? ? ? 1? AB ? ? AC m sin C m sin B m sin B ? m sin C ?
OA ? OB ,结合正弦定理得
2 2

1 1 cos B ? cos C cos A m sin C ? cos B ? cos C cos A ? 0 ? m ? 2 2 sin C

? sin A ?

2 ?m ? 2 2

考点:解三角形 点评:本题难度较大且计算复杂,求解时主要是正余弦定理的应用及向量的运算,关键是 把握 OA ? OB ? OC 19.设 a, b 是非零实数, x ? R ,若

sin 4 x cos4 x sin 2008 x cos2008 x 1 ? ? ? ? , 则 a2 a 2006 b2 b 2006 a 2 ? b2

【答案】

1 (a ? b2 )1003
2

【解析】已知

sin 4 x cos4 x 1 ? ? 2 , ……………… (1) 2 2 a b a ? b2

将(1)改写成
2

1 ? sin 4 x ? cos 4 x ?
2 2 4

b2 a2 4 sin x ? cos 4 x 。 2 2 a b
4 2 2

而 1 ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x 。

所以有

b2 a2 4 2 2 sin x ? 2 sin x cos x ? cos 4 x ? 0 。 a2 b2
2

a sin 4 x cos 4 x ?b 2 2 ? ? ,将该值记为 C。则由(1)知, 即 ? sin x ? cos x ? ? 0 , 也即 b a4 b4 ?a ?
a 2C ? b 2C ?

1 1 。于是有, C ? 2 . 2 (a ? b 2 ) 2 a ?b
2

sin 2008 x cos 2008 x 1 1 而 。 ? ? a 2 C 502 ? b 2 C 502 ? (a 2 ? b 2 ) 2 ? 2 2006 2006 2 1004 a b (a ? b ) (a ? b 2 )1003
20. cos( 1 ? 【答案】1
2 2 2 【解析】根据题意要求, x ? 5 x ? 6 ? 0 , 0 ? x ? 5 x ? 7 ? 1 。于是有 x ? 5 x ? 7 ? 1 。

x 2 ? 5 x ? 7 ? x 2 ? 5 x ? 6) =



因此

cos( 1 ? x 2 ? 5 x ? 7 ? x 2 ? 5 x ? 6) ? cos 0 ? 1 。因此答案为 1。
21. 设 x ? (0, 【答案】68 【解析】因为 x ? (0,

?
2

) ,则函数 y ?

225 2 的最小值为__________. ? 2 4sin x cos x

?
2

) ,所以 sin x ? 0, cos x ? 0 ,设 k ? 0 ,
(1)

y?

225 1 1 ? k sin 2 x ? ? ? k cos 2 x ? k ? 15 k ? 3 3 k ? k 2 4sin x cos x cos x

15 ? 2 225 ? 225 ? 4 2 sin x ? , ? k sin x , sin x ? , ? ? ? 2 k ? 4sin 2 x ? ? 4k ?? ?? 其中等号成立当且仅当 ? 成立, ? 1 ? k cos 2 x ?cos3 x ? 1 ?cos 2 x ? 1 3 2 ? ? ? k ? cos x ? k ?
此时

15 1 1 ? ? 1 ,设 ? t 6 ,则 2t 4 ? 15t 3 ? 2 ? 0 .而 k 2 k 3 k2

2t 4 ? 15t 3 ? 2 ? 2t 4 ? t 3 ? 16t 3 ? 2 ? t 3 (2t ? 1) ? 2(2t ? 1)(4t 2 ? 2t ? 1) ? (2t ? 1)(t 3 ? 8t 2 ? 4t ? 2),

故 (2t ? 1)(t ? 8t ? 4t ? 2) ? 0 ,
3 2

注意到 sin x ?
2

15 1 1 ? 1, cos 2 x ? ? 1 ,判断易知满足限制条件的根只有 t ? . 3 2 2 2 k k

1 1 时, k ? 6 ? 64 ,不等式(1)取得等号. t 2 225 2 所以函数 y ? 的最小值为 15 64 ? 3 3 64 ? 64 ? 68 . ? 2 4sin x cos x
当t ?

a2 ? b2 22.在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 = . c2
【答案】3 【解析】

sin A sin B sin A sin C sin B sin C , ? ? cos A cos B cos A cos C cos B cos C ab cos C sin A sin B cos C sin A sin B sin( A ? B) 亦即 ,即 =1,即 ? ? 1. 2 sin C cos C c2 sin C
切割化弦,已知等式即

所以,

a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ,故 ? 1 ? 3. 2c 2 c2

三、解答题(题型注释) 23.如图,在直角坐标系 xOy 中,锐角△ABC 内接于圆 x ? y ? 1. 已知 BC 平行于 x 轴,
2 2

AB 所在直线方程为 y ? kx ? m( k ? 0) ,记角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.

(1)若 3k ?

2ac A?C , 求 cos 2 ? sin 2 B 的值; 2 2 2 a ?c ?b
2

(2)若 k ? 2, 记?xOA ? ? (0 ? ? ?

?
2

), ?xOB ? ? (? ? ? ?

3? ), 求 sin(? ? ? ) 的值. 2

【答案】 (1) 【解析】

4 9 +2 2 ; (2) - . 5 18

试题分析: (1)先利用余弦定理求 sin B ,再由三角函数诱导公式及二倍角公式求值; (2)法 1:先找出角 a、b 与 AB 所在直线的斜率之间的关系,再利用三角函数公式求解; 法 2:联立 AB 所在直线方程和圆的方程,由韦达定理求得交点 A、B 的坐标关系,再利用 和差化积公式把角 a、b 转化为坐标关系,进而求解. 试题解析: (1)变式得: 3 原式 ? sin 2

sin B 2ac 1 ? 2 , 解得 sin B ? , 2 2 cos B a ? c ? b 3

4分

B 1 ? cos B 9?2 2 ; 3分 ? sin 2 B ? ? 2 sin B cos B ? 2 2 18

(2)解:∠AOB=β—α,作 OD⊥AB 于 D,

??xOD ? ? ?

? ??
2

?

? ??
2

,? tan

? ??
2

? kOD ? ?

1 1 ?? , k 2

4分

sin(? ? ? ) ?

4 2 ?? . ? ?? 5 1 ? tan 2 2

2 tan

? ??
3分

? x2 ? y 2 ? 1 2 法2: ,5 x ? 4mx ? m2 ? 1 ? 0 ? ? y ? 2x ? m
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), x1 ? x2 ? ? 4m m2 ? 1 , x1 x2 ? . 5 5
2分

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? y1 x2 ? x1 y2 ? (2 x1 ? m) x2 ? x1 (2 x2 ? m)

? 4 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? ?

4 5

5分

考点:1、余弦定理及三角函数公式;2、三角函数运算. 24.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? 2 cos x. (1)若 x ? [0, ? ], 求f ( x) 的最大值和最小值;

(2)若 f ( x) ? 0, 求

2 cos 2

x ? sin x ? 1 2 的值。

2 sin( x ?

?

4

)

【答案】? f ( x ) max ? 4, f ( x) min ? ?2. , ?

cos x ? sin x 1 ? tan x ? ? cos x ? sin x 1 ? tan x

1? 1?

1 3 ? 2? 3 1 3

【解析】解: (I) f ( x) ? 2 3 sin x ? 2 cos

? 4(

3 1 sin x ? cos x) 2 2

= 4sin( x ? 又

?
6

).

………………3 分

x ? [0, ? ],? ?

?
6

? x?

?
6

?

? ?2 ? 4sin( x ? ) ? 4 , 6
? f ( x) max ? 4, f ( x) min ? ?2.
……………………6 分

?

5? 6

(II)由于 f ( x) ? 0, 所以2 3 sin x ? 2 cos x 解得 tan x ?

1 3

………………8 分

2 cos 2

x ? sin x ? 1 2 ?

cos x ? sin x 2(sin x ? 2 2 ? cos x ? ) 2 2

2 sin( x ?

?

4

)

?

cos x ? sin x 1 ? tan x ? ? cos x ? sin x 1 ? tan x

1? 1?

1 3 ? 2? 3 1 3
………………13 分

25.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a sin ? x ? b cos ? x ( a , b ? R,且 ? ? 0 )的部分图象如 图所示. (1) 求 a , b, ? 的值; (2) 若方程 3? f ( x )? ? f ( x ) ? m ? 0
2

y
2? 3

在 x ? ( ? , ) 内有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 3 3 【答案】(1) a ? , b ?
1 2

? 2?

O

7? 6

x

?1

3 1 , ? ? 1 (2) m 的取值范围是: ?2 ? m ≤ 0 或 m ? 12 2
7 2? ? ? )= 2? ,∴ ? ? 1 . 6 3

【解析】(1) 由图象易知函数 f ( x ) 的周期为 T ? 4 (

? 3 1 a? b?0 ? 1 3 7? 2? ? 2 2 又, f ( ) ? 0 且 f ( ) ? ?1 , 即 ? , 解得: a ? , b ? . 所以, 6 3 2 2 ? ? 1 a ? 3 b ? ?1 ? ? 2 2
f ( x) ? 1 3 ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) . [也可以按以下解释: 上述函数的图象可由 y ? sin x 的 3 2 2

图象沿 x 轴负方向平移

1 3 ? ? 个单位而得到,∴其解析式为 f ( x ) ? sin( x ? ) .∴ a ? , b ? . 3 3 2 2

? ? 2? ? (2) x ? ( ? , ) ∴ x ? ? (0, ? ) ,∴ 0 ? sin( x ? ) ≤ 1 .设 f ( x ) ? t ,
3 3

3

3

问题等价于方程 3t ? t ? m ? 0 在(0,1)仅有一根或有两个相等的根. 2 2 方法一:∵? m = 3t ? t,t ?(0, 1). 作出曲线 C:y = 3t ? t,t ?(0, 1)与直线 l: y = ? m 的图象.
2

∵t = 时,y = ? ∴当 ? m = ?

1 6

1 ;t = 0 时,y = 0;t = 1 时,y = 2. 12

1 或 0≤?m<2 时,直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点. 12

∴m 的取值范围是: ?2 ? m ≤ 0 或 m ?

1 12

方法二:当 3t 2 ? t ? m ? 0 仅有一根在(0, 1)时,令 g (t ) ? 3t 2 ? t ? m 则 g (0) g (1) ? 0 得到
?2 ? m ? 0 ; 或 g (0) ? 0 时 m ? 0 ,或 g (1) ? 0 时 m ? ?2 (舍去)

当两个等根同在(0,1)内时得到 ? ? 1 ? 12m ? 0 , m ? 综上所述,m 的取值范围是: ?2 ? m ≤ 0 或 m ? 26.设计一种方法求 cos 36 的值. 【答案】见解析
1 12

1 12

【解析】解法一:如图,在等腰△ABC 中, ?BAC ? 36 , ?ABC ? ?ACB ? 72 ,

?ABC 的角平分线交 AC 于 D,设 BC=1,AB=x,利用此图来求 cos 36 .
x AB BC 1 ,即 ? ,解得 ? 1 x ?1 BC CD

易知△ABC 与△BCD 相似,故

x?

5 ?1 . 2
x 2 ? x 2 ? 12 5 ?1 ; ? 2 2x 4
2

△ABC 中,由余弦定理, cos36 ?

解法二: (用二倍角公式构造方程,解方程)

cos144 ? 2cos 2 72 ? 1 ? 2 ? 2cos 2 36 ? 1? ? 1 ,即 ? cos36 ? 2 ? 2cos 2 36 ? 1? ? 1 ,
2
4 2 设 cos36 ? x ,则 ? x ? 2 2 x ? 1 ? 1 ,可化为 8 x ? 8 x ? x ? 1 ? 0 ,

?

2

?

2

? x ? 1? ?8 x3 ? 8 x 2 ? 1? ? 0 ,因 x ? 1 ? 0 ,故 8 x3 ? 8 x 2 ? 1 ? 0 ,

? 2 x ? 1? ? 4 x 2 ? 2 x ? 1? ? 0 ,因 x ?
x?

1 2 ,故 4 x ? 2 x ? 1 ? 0 , 2

5 ?1 5 ?1 ? 5 ?1 (x? ,故 cos36 ? . ? 0 舍去) 4 4 4
2 2 2

27.设 f ( x, y, z ) ? sin ( x ? y ) ? sin ( y ? z ) ? sin ( z ? x) , x, y , z ? R ,求 f ( x, y, z ) 的 最大值。 【答案】当 x ?

?
3

,y?

9 2? 3? 时,函数 f ( x, y, z ) 的最大值是 ,z ? 4 3 3
2 2 2

【解析】 f ( x, y, z ) ? sin ( x ? y ) ? sin ( y ? z ) ? sin ( z ? x)

1 …………5 分 ? [1 ? cos 2( x ? y ) ? 1 ? cos 2( y ? z ) ? 1 ? cos 2( z ? x)] 2 3 1 ? ? [(cos 2 x cos 2 y ? sin 2 x sin 2 y) ? (cos 2 y cos 2 z ? sin 2 y sin 2 z )] 2 2

1 ? (cos 2 z cos 2 x ? sin 2 z sin 2 x) 2
?

…………10 分

3 1 ? [(cos 2 x ? cos 2 y ? cos 2 z ) 2 ? (sin 2 x ? sin 2 y ? sin 2 z ) 2 ? 3] 2 4

3 3 9 …………15 分 ? ? , 2 4 4 ? 2? 3? 9 当x? ,y? 时,上式可以取到等号。故函数 f ( x, y, z ) 的最大值是 。 ,z ? 3 3 3 4 ?
…………20 分 28.设 ? 、 ? 、 ? 满足 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,若对于任意 x ? R, cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ?

cos( x ? ? ) ? 0, 求 ? -?
【答案】 ? 【解析】设 f ( x) ? cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ), 由 x ? R , f ( x ) ? 0 知,

4 3

f (?? ) ? 0, f (?? ) ? 0, f (? ? ) ? 0, 即 cos( ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1, cos(? ? ? ) ?
cos(? ? ? ) ? ?1 , cos(? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? ?1. ? cos( ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,

? ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ?{ ?? ? ? ? 4? . 3

2? 4? 2? , }, 又 ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? . 只有 ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 3 3

2? 2? 4? ,? ? ? ? , ?x ? R, 记 x ? ? ? ? ,由 ,有? ?? ? 3 3 3 2? 2? 4? 4? 于三点 (cos? , sin ? ), (cos(? ? ), sin(? ? )), (cos(? ? ), sin(? ? )) 构成单位圆 3 3 3 3
另一方面,当 ? ? ? ? ? ? ? ?

x 2 ? y 2 ? 1 上正三角形的三个顶点.其中心位于原点,显然有
cos? ? cos(? ? 2? 4? ) ? cos(? ? ) ? 0. 即 cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? 0. 3 3



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