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2011年复旦千分考数学试题及答案


2011 年复旦千分考(数学部分)
(金桥中心李华光订正,资源中心版本) 若对一切实数 x 都有 x ? 5 ? x ? 7 ? a 则实数 a 的取值范围是 A. a ? 12 B. a ? 7 C. a ? 5 D. a ? 2

1.

.

2.

设有集合 S ? x log x (3x 2 ? 4 x) ? 2, x ? 0 , T ? x log x (2 x 2 ? k 2 x) ? 2, x ? 0 ,满足 S ? T 的 数 k 的取值范围是 A. k 2 ? 2 B. k 2 ? 2 . C. k ? 2 D. k ? 2 .

?

?

?

?

3.

设正整数 n 可以等于 4 个不同的正整数的倒数之和,则这样的 n 个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 函数 sin(x 2 ) , cos(x 2 ) , x sin x , xcos x 中为周期函数的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 .

4.

5.

3(1 ? xn ) , n ? 1,2,3? 那么 3 ? xn A. 数列 ?x n ?是单调增加的; B. 数列 ?x n ?是单调减的;
设 xn ? 0, xn?1 ?

.

C. 数列 ?x n ?或是单调增加的,或是单调减的; D. 数列 ?x n ?既非单调增加的,也非单调减的 6.

将复数 Z ? (cos75? ? i sin 75?) 3 所对应的向量按顺时针方向旋转 15? 则所得向量所对应的 复数是 . 1 3 1 3 3 1 3 1 i i ? i ? i A. ? B. ? C. ? D. ? 2 2 2 2 2 2 2 2 以 复 数 Z1 , Z 2 , Z 3和W1 , W2 ,W3 为 对 应 顶 点 的 复 平 面 上 的 两 个 三 角 形 相 似 是 等 式

7.

Z 2 ? Z1 W2 ? W1 ? 成立的 . Z 3 ? Z 2 W3 ? W2 A. 必要但不充分 B. 充分但不必要
8. 9.

C. 充分必要

D. 既不充分也不必要 .

从 1 到 100 这 100 个正整数中任取两个不同的整数,要求其和大于 100,则取法总数为 A. 2450 B. 2500 C. 2525 D. 5050 在半径为 1 的圆周上随机取 3 点,它们构成一个锐角三角形的概率是 1 1 1 1 A. B. C. D. 8 3 2 4 .

1

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10. 设 n 是一个正整数,则函数 y ? x ? A.

n ?1 n

B.

n?2 n ?1

1 在正半轴上的最小值是 nx n n ?1 n C. D. n n ?1

.

11. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到圆 x 2 ? ( y ? 6) 2 ? 1的点的距离的最大值是 25 16 A. 11 B. 74 C. 5 5 D. 9

.

12. 极坐标表示的下列曲线中不是圆的是 . 2 2 A . ? ? 2? (cos? ? 3 sin ? ) ? 5 B. ? ? 6? cos? ? 4? sin ? ? 0 C. ? 2 ? ? cos? ? 1 D. ? 2 cos 2? ? 2? (cos? ? sin ? ) ? 1 13. 设有直线族和椭圆族分别为 x ? t , y ? m t ? b (其中 m、 b 为实数, t 为参数)
( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ( a 为非零实数),若对于所有 m ,直线族和椭圆总相交, a2 则 a、b 应当满足 . 2 2 A. a (1 ? b ) ? 1 B. a 2 (1 ? b 2 ) ? 1



C. a 2 (1 ? b 2 ) ? 1

D. a 2 (1 ? b 2 ) ? 1

14. 已知一个直圆柱体的底面的半径为 R ,一斜面与其圆周相交且只交于一点,且与底面 ? 成夹角 ? (0 ? ? ? ) ,则直圆柱的面和被所截的有界部分组成的几何体的体积是 . 2 A. 2?R 3 cos? B. 2? R3 tan ? C. ?R 3 cos? D. ?R 3 tan?

? a n?1 ? b n?1 ? 15. 已知 a、b 是两个不相等的正数,若 ? n 数列总有极限是 5,则下面关系式 n ? ? a ?b ? 成立的是 . A. 0 ? a ? b ? 10 B. 0 ? a ? b ? 10 C. a ? b ? 10 D. a ? b ? 10
16. 设 n 为一个正整数,记 P (n) ? ? k 4 则 P(n) 是 n 的一个多项式,下面结论中正确的是
k ?1 n

.

A. P(n) 最高次项系数为 1 C. P(n) 是一个 4 次的多项式

B. P(n) 的常数项系数是 ? 3 D. P(n) 的第 3 次项系数是

1 3
.

3 4 17. 设 a ? ( ) x , b ? ( ) x?1 , c ? log 3 x ,若 x ? 1 则 a, b, c 之间的大小关系为 4 3 4 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. c ? b ? a

18. 设 a 为正数, f ( x) ? x 3 ? 2ax2 ? a 2 ,若 f (x) 在区间 (0, a ) 上大于 0,则 a 的取值范围是 A. (0,1] B. (0,1) C. (1,??) D. (1,??]

.

19. 小于 1000 的正整数中不能被 3 和 5 整除的整数的个数是
2

.
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A. 530 B. 531 C. 532 D. 533 20. 下列函数中,在其定义域上不是奇函数的是 . 1 1 ? ) A. y ? ln( x ? x2 ?1) B. y ? x( x 2 ?1 2 C. y ? ln

1? x ? x 1? x ? x
1 3

1 3

2 3 2 3

D. y ? ln(sec x ? tan x)

21. 设有 4 个数的数列为 a1 , a2 , a3 , a4 ,前 3 个数构成一个等比数列,其和为 k ,后 3 个数构 成一个等差数列,其和为 9,且公差非零,对于任意给定的 k ,若满足条件的数列的个 数大于 1,则应满足 . A. 12k ? 27 B. 12k ? 27 C. 12k ? 27 D. 其他条件 22. 平面上有 100 条直线,其中无两条直线互相平行,无三条直线交于一点,则这些直线将 平面分成 个互异的区域. A. 5050 B. 5051 C. 5025 D. 5053
1 3 2 2 23. 设有复数 ?1 ? ? ? i, ? 2 ? cos ? ? i sin ? ,令 ? ? ?1 ? ? 2 , 2 2 5 5 2 3 2011 则复数 ?? ? ? ? ? L ? ? = . 3 2 A. ? B. ? C. ? D. ? 4

24. 用字母 a, b, c 组成 5 个字母的码字,要求每个码字中 a 至多出现 2 次, b 至多出现 1 次, . c 至多出现 3 次,则这种码字的个数 A. 50 B. 52 C. 60 D. 62 25. 设 S 是由任意 n ? 5 个人组成的集合,如果 S 中任意 4 个人当中都有至少 1 个人和其余 3 个人相互认识,那么下面的判断中正确的是 . A. S 中没有人认识 S 中的所有人 B. S 中至少有 1 人认识 S 中所有的人 C. S 中至多有 2 人不认识 S 中所有的人 D. S 中至多有 2 人认识 S 中所有的人 26. 设直线 L 过点 M (2,1) ,且与抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A、B 两点, M 是连接线段的中点, 则直线 L 的方程是 . A. y ? x ? 1 B. y ? ? x ? 3 C. 2 y ? 3x ? 4 D. 3 y ? ? x ? 5 27. 设 a、b ? (??,??), b ? 0, ?、?、? 是 三 次 方 程 x 3 ? ax ? b ? 0 的 3 个 根 , 则 总 可 以 以 1 1 1 1 1 1 ? , ? , ? 为根的三次方程是 . ? ? ? ? ? ? A. a 2 x 3 ? 2abx2 ? b 2 x ? a ? 0 B. b 2 x 3 ? 2abx2 ? a 2 x ? b ? 0 C. a 2 x 3 ? 2ab2 x 2 ? bx ? a ? 0 D. b 2 x 3 ? 2a 2 bx2 ? ax ? b ? 0

3

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4 sin ? 的准线方程是 . cos 2 ? A. ? sin ? ? 1 B. ? cos? ? ?1 C. ? cos? ? 1 D. ? sin ? ? ?1 29. 设椭圆的长短半轴分别为 a和b ,从椭圆的中心 O 依次引 n ? 3 条射线交椭圆 n 2? ?2 与 A1 , A2 ,L , An ,且相邻两条射线的夹角都等于 ,则 ?k ?1 OA k ? , n 其中 OAk 表示线段 OAk 的长度.

28. 圆锥曲线 ? ?

A.

n ?2 n (a ? b ?2 ) B. (a ?2 ? b ?2 ) 2 2

C.

n 2 n (a ? b 2 ) D. (a 2 ? b 2 ) 2 2

30. S 是 3 维空间中的一个任意点集, S 的任意 4 个不同的点都不在一个平面上,则下面的 结论中一定不对的是 A. S 的元素个数有限 B. S 的元素个数无穷 C. S 的任意 3 个不同的点都不在一条直线上 D. S 的任意 3 对点所在的直线都不共面 31. 平面 ? 与球体 V 的表面相交于一个圆,圆上三个点构成一个等边三角形,边长为 s , 1 球心到平面 ? 的距离等于球半径的 ,则球的半径是 . 3 1 1 1 A. 3s B. s C. D. 6s 3s 3 4 2 32. 给定三个向量 v1 ? (1,0,1), v2 ? (1,1,0), v3 ? (1,1, k 2 ? k ? 1) ,其中 k 是一个实数, 若存在非零向量同时垂直于这三个向量,则 k 的取值为 . 1? 5 1? 5 ?1? 5 ?1? 5 , , A. B. 2 2 2 2 ?1? 5 1? 5 1? 5 ?1? 5 , , C. D. 2 2 2 2

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参考答案: ABBA DBAB DCAD ADBD CADB ABAC BABD ADCB

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