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北京大学数学物理方法经典课件第三章——幂级数展开_图文

f

(z)

?

1
2?

i

?

l

f
(?

(? )
? z)

d?

设 l 表示正向圆周 x 2 ? y2 ? 3,

? f (z) ? 3? 2 ? 7? ?1d? ,求
l (? ? z)

f ?(1 ? i).

解 f(ξ)=2πi(3ξ2+7ξ+1), 根据柯西积分公式知,

当 z 在 l 内时,
f (z) ? 2πi ? (3? 2 ? 7? ?1) ? 2? i(3z2 ? 7z ?1), ? ?z

故 f ?(z) ? 2? i(6z ? 7), 而 1? i 在 l 内,

所以 f ?(1? i) ? 2? (?6 ?13i).

1

学习要求与内容提要
目的与要求:掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤 立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。
重点: 函数展开成泰勒级数与洛朗级数 难点: 函数展开成洛朗级数
3

无穷级数:一无穷多个数构成的数列w1,w2,w3,? wn, ?写成w1+w2+w3+? wn+ ?就称为无穷级数。这仅是一种形 式上的相加。这种加法是不是具有‘和数’呢?这个‘和数’ 的确切意义是什么?
为什么要研究级数? (1) 级数可作为函数的表达式,是研究函数的工具; (2) 常微分方程的级数解。
研究级数需关心的问题: (1) 级数的敛散性,收敛的定义、条件、判据; (2) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。
4

3.1 复数项级数
本节内容与实数项级数类似,只作扼要介绍。
(一)复数项级数

1 定义 设{wn}(n=1,2,…)为一复数列,表达式

?
? wk ? w0 ? w1 ? ? wk ? ,

(3.1)

k ?0

的称为复数项级数,其中 wk ? uk ? ivk是复数。

2 部分和 级数前面n项的和

n

n

n

? ? ? sn ? wk ? uk ? i vk

k ?0

k ?0

k ?0

若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)有复数极限s

即若

lim
n??

sn

?

s(?

?)

5

则称复数项级数(3.1)收敛于s,且称s为(3.1)的和,写



?

s ? ? wn

n?1

若复数列{sn}(n=1,2,…,)没有极限,则称级数(3.1) 为发散.

说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是:

利用极限

lim
n??

sn

?

s.

6

?
例1 分析级数 ? zn 的敛散性.

n?0

sn

? 1 ? z ? z2 ? ?? zn-1

? 1? zn 1? z

(z ? 1),

由于当 z ? 1时,

lim
n??

sn

?

lim 1 ? zn n?? 1 ? z

?

1 1?

, z

所以当 z ? 1时级数收敛.

7

3.复数项级数收敛的条件

?

?

? ? (1) 定理 级数 wn ? (un ? ivn ) 收敛的充要条件

n?1

n?1

?

?

? un 和 ? vn 都收敛.

n?1

n?1

证 因为 sn ? w1 ? w2 ? ? wn

? (u1 ? u2 ?
? ? n ? i? n ,

? un ) ? i(v1 ? v2 ?

? vn)

8

根据 {sn } 极限存在的充要条件 :

{? n } 和 {? n }的极限存在,

?

?

于是 级数 ? un 和 ? vn 都收敛.

n?1

n?1

说明 复数项级数的审敛问题

? (定理)
实数项级数的审敛问题

9

(2) 柯西判据:对于任一小的正数 ? ,必存在一 N

使得 n>N 时有
sp?1 ? wn?1 ? wn?2 ?
式中 p 为任意正整数.

n? p
? wn? p ? wk ? ? k ?n?1

(3) 绝对收敛定义

?

?

?

若 ? wk ? ?

? u2 k

?

v2 k

收敛,则称

wk 绝对收敛

k ?0

k ?0

k ?0

注1: 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不

改变其绝对收敛性,亦不改变其和. ?
注2: 级数 ? wk 绝对收敛的充分必要条件是实数项级数

? ? ?

k ?0 ?

uk 与 vk 都绝对收敛。

10

k ?0

k ?0

注3:两个绝对收敛级数的和,积,仍绝对收敛。

? 例1?1?级数 ? 1 (1 ? i ) 是否收敛?

n n?1

n

? ? 解

因为

?
un
n?1

?

? n?1

1 n

发散;

所以原级数发散.

? ? ?
vn ?
n?1

?1 n2
n?1

收敛.

? (2)级数

?1 n2
n?1

(1 ? i ) 是否收敛? n

? ? 因为

?
un
n?1

?

?1 n2
n?1

收敛;

所以原级数收敛.

? ? ? vn
n?1

?

?1 n3
n?1

收敛.

11

(二)复变函数项(简称函数项)级数:
设复变函数列wk(z)定义在区域B上,则由wk(z)构 成的级数称函数项级数
?
? wk (z) ? w1(z) ? w2 (z) ? ? wk (z) ? ,
k ?0
当选定z的一个确定值时,函数项级数变成一个 复数项级数。
由于函数项级数定义在区域 B(或曲线l)上,所
以它的收敛的概念是相对于定义域B(或曲线l)而言的。
12

1.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件

定义:任给ε > 0,存在一个与z无关的自然数N (ε),当
n? p
n > N (ε)时,对B(或l)上所有z,均有: ? wk (z) ? ? k ?n?1
(p为任意自然数),则称在B(或l)一致收敛。

一致收敛级数的性质

?
性质1: 若wk(z) 在B内连续,函数级数? wk (z)在B内一致收
敛,则和函数w(z)也是B内的连续函数。 k?0

这个性质说明:如果级数的每一项都是连续函数,则一致收 敛级数可以逐项求极限。

?

?

? ? lim
z ? z0

k ?0

wk

(z)

?

k ?0

lim
z ?z0

wk

(z)

13

?
性质2: 若级数 ? wk (z)在区域B内的分段光滑曲线l上一致收 k ?0
敛,且wk(z)为l上的连续函数,则级数可沿l逐项积分:

?

?

?l ?wk (z)dz ? ??l wk (z)dz

k ?0

k ?0

?

? 性质 3: 若 wk ?z? 在闭区域 B 内单值解析,且 wk (z) 在 B

?

k ?0

? 内一致收敛,则级数和 w ? z ? ? wk (z) 也是 B 内的单值解析函

?k ?0
? 数, w ? z? 的各阶导数可以由 wk (z) 逐项求导得出,即

?

k ?0

? w(n) (z) ? wk(n) (z) (z ? B,n ? 0,1, 2,???) ,

?

k ?0

? 而且 wk(n) (z) 在 B 内一致收敛。

k ?0

14

绝对一致收敛
对于复函数序列 {wk (z)} ,存在正数列{mk} ,使对区域 B
?
? 内的一切 z,有| wk (z) |? mk (k ? 0,1, 2,???) ,而正项级数 mk k ?0
?
? 收敛,则复函数项级数 wk (z) 绝对一致收敛. k ?0

3.2 幂级数 (一) 定义

幂级数:通项为幂函数的级数:

?
?ak (z ? z0 )k ? a0 ? a1(z ? z0 ) ? a2 (z ? z0 )2 ?
k ?0

这是一种特殊形式的常用函数项级数。

15

(二)幂级数的敛散性

由于发散的幂级数没有多大用处,故重点研究幂级数的敛 散性。

1. 阿贝尔定理
?
如果级数?ak ?z ? a?k 在z0点收敛,那么在以a点为圆心,z0 ? a k ?0
为半径的圆内绝对收敛,而 z ? a ? z0 ? a 上一致收敛。

?

如果级数?ak ?z ? a?在k z1点发散,则在 z ? a ? z1 ? a 内处处

发散。

k ?0

2.求收敛圆半径R的公式

?

?

? ? ak (z ? z0 )k绝对收敛是指 ak (z ? z0 )k 收敛,后者为正项

级k?0数,因此可用正项级数k的?0 比值判别法和根式判别法确

16

定收敛半径 R。

(1) 比值判别法

lim
k ??

ak?1(z ? z0 )k?1 ak (z ? z0 )k

?

z ? z0

lim
k ??

ak ?1 ak

?r ?1 ? r ??r ? 1

z ? z0

lim
k ??

ak ?1 ak

? 1 即有: z ? z0

? lim k ??

ak ak ?1

z ? z0

lim
k ??

ak ?1 ak

? 1 即有:

z ? z0

? lim ak a k ??
k ?1

? 引入收敛半径 R ? lim ak

则若: z ? z0 ? R

a k ?? k ?1

绝对收敛 发散 绝对收敛
发散

?

n? p

级数 ?ak ? z ? z0 ?k在圆内满足n ? N (z)时 , ? wk (z) ? ? ,

k ?0

k ?n?1

的柯西判据,所以 z ? z0 ? R 绝对收敛 .

17

(2)当 z ? z0 ? R 时,

由于 z1 ? z0 ? R ,

lim ak?1 a k ??
k

z1 ? z0 z1 ? z0

k ?1 k

?

z1 ? z0 R

? 1.

n? p
不满足柯西判据. ? wk (z) ? ? ,

k ?n?1

?

? 故 ak ? z ? z0 ?k 在圆 z ? z0 ? R 外发散, k ?0

CR

所以收敛半径为 R.

z0· R

注意: 幂级数在收敛圆上的敛散性需具体分析!

18

(2) 根式判别法

lim k
k ??

ak (z ? z0 )k

?

所以

z ? z0

z ? z0

lim k
k ??

? lim 1

a k?? k k

ak

?r ? 1 绝对收敛 ? r ??r ? 1 发散
绝对收敛

z ? z0

? lim k ??

k

1 ak

发散

则若:

? R ? lim 1 a k?? k
k

z ? z0 ? R 对应级数绝对收敛

19

如果:
?
? 1. R ? ?, 则级数 ak ? z ? z0 ?k 在复平面内处处收敛, k ?0
2. R ? 0 (极限不存在), ?
? 则级数 ak ? z ? z0 ?k 对于复平面内除 z ? 0 以外的一切 k ?0
z 均发散,

4. 复变幂级数在收敛圆内的性质

?

? 设幂级数 ak (z ? z0 )k 的收敛半径为 R,

那么

k?0

?

? (1) 它的和函数 w(z) ? ak (z ? z0)k 是收敛圆

k?0

z ? z0 ? R 内的解析函数。

20

21

证明: 记 CR1上点为?, CR1内任一点为 z,则圆上的幂级
数可写为

w(? ) ? a0 ? a1(? ? z0 ) ? a2 (? ? z0 )2 ?

z

CR1

z0

用有界函数

11
2? i ? ? z

相乘后,在CR1上一致收敛

利用柯西公式

? 1 w(? )d?
2? i CR1 ? ? z

? ? ? 1

a0 d? ? 1

a1(? ? z0 )d?

2? i CR1 ? ? z

2? i CR1 ? ? z

? ? 1

a2 (? ? z0 )2 d? ?

2? i CR1 ? ? z

? a0 ? a1(z ? z0 ) ? a2 (z ? z0 )2 ?

? w(z)

22

(3) w(z) 在收敛圆 z ? z0 ? R 内的导数可将其幂

级数逐项求导得到,

?
? 即 w?(z) ? kak (z ? z0)k?1.

k ?1

且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导

C

证明:幂级数w(? ) ? a0 ? a1(? ? z0 ) ? a2 (? ? z0 )2 ? z

CR1

乘以 n! 1

z0

2? i (? ? z)n?1

n! w(? )d?
? 2? i CR1 (? ? z)n?1

? ? ? ? n!
2? i

CR1

(?

a0 ? z)n?1

d?

?

n! 2? i

CR1

a1(? (? ?

z?)zn0?1)d?

?

n! 2? i

CR1

a2 (? ? z0 )2 (? ? z)n?1

d?

?

? [a0 ](n) ? [a1(z ? z0 )](n) ?[a2 (z ? z0 )2 ](n) ? ? w(n) (z)

23

?
例1 求幂级数?(cos ik)zk 的收敛半径 k ?0



因为

ak

?

cos ik

?

cosh k

?

1 2

(ek

? e?k ),

所以 R= lim ak ? lim ek ? e?k ? e?1,

a k ?? k ?1

e ? e k?? k?1

? k ?1

故收敛半径 R ? 1 . e

24

?
? 例2 求 (1? i)n zn 的收敛半径. n?0

解 因为 1? i ? 2(cos ? ? i sin ? ) ?

4

4

an ? (1? i)n? (

2

)n

e

n? 4

i

;

?i
2e 4 ,

R ? lim an ? lim ( 2)n ? 1 .

a ( 2) n??

n??

n?1

n?1

2

25

? ? 例3 计算 ( ? zn )dz, 其中l为 z ? 1 .

l n??1

2

?
解:和函数 w(z) ? ? zn ,(z ? 1) n??1

? ? 1 ? ? zn ? 1 ? 1 ,

z n?0

z 1? z

? 所以

I?

1 ( lz

? 1 )dz? 1? z

?c

1 z

dz

?

?l

1 1? z

dz

? 2? i ? 0 ? 2?i.

26

5.幂级数的运算与性质

在收敛半径R?=min(r1,r2)内:

?

? ? (1)设 f (z) ? anzn , R ? r1, g(z) ? bnzn , R ? r2 .

n?0

?

?

n??0

? ? ? f (z) ? g(z) ? anzn ? bnzn ? (an ? bn )zn ,

n?0

n?0

n?0

?

?

? ? f (z) ? g(z) ? ( anzn ) ? ( bnzn ),

n?0

n?0

?

? ? (anb0 ? an?1b1 ? ?? a0bn )zn , z ? R

n?0

(2)幂级数的代换(复合)运算

?

? 如果当 z ? r 时, f (z) ? anzn , 又设在

z ? R 内 g(z) 解析且满足 g(z) n??0r, 那末当 z ? R

?

? 时, f [g(z)] ? an[g(z)]n.

27

n?0

思考

?

?

如果复数项级数 ??k和? ?k均发散,问:

k ?0

k ?0

?

? 级数 (?k ? ?k )也发散吗?

k ?0

思考题答案 不一定。

幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?
思考题答案
由于在收敛圆周上 z 确定, 可以依复数项级
数敛散性讨论。
28

? §3.2 ? 3. (1)(4)(5) ? 4. (1)(3)
29

3.3 泰勒级数展开
上节证明了:幂级数在其收敛圆内解析 本节证明其逆定理:解析函数可以展开成幂级数,且这种
展开式是唯一的。 ——解析函数与幂级数的密切关系

(一)解析函数的泰勒展开定理

如图:设 f (z)在区域B内解析,z0为B内任一点,R为z0到

B区边界的最短距离,则当| z–z0 | < R 时, f (z)可展开为泰勒

级数

?

? f (z) ? ak (z ? z0 )k

k ?0

其中展开系数 ak 称为泰勒级数

? 1
ak ? 2? i

f (? ) d? ? f ?k? (z0 )

CR1 (? ? z0 )k?1

k!

?

B

z0 z

CR1

CR1为半径为R的圆。

30

证明: 1. 设f(z)在B内解析, 在图示的CR1圆上应用柯西公式

? f (z) ? 1

f (? ) d?

2? i CR1 ? ? z

其中z为圆CR1内某一点,| z–z0 |=r,CR1为包含z的圆,| ζ –z0 | = R,(0 < r< R) ,ζ 为CR1上的点。

如图:

.z

r
z0 . R

CR1
.?

CR1 内任意点

B
31

2. 将被积函数变成级数

? 利用 1 1?t

?

?
tk
k ?0

(t

? 1)

将 ?

1 ?

z

展开成以z0为中心的级数

? ? 1 ?

1

?1

1

? ? z (? ? z0 ) ? (z ? z0 ) ? ? z0 1? z ? z0

?

?

1 ? z0

? ( z ? z0 )k
k?0 ? ? z0

?

? k ?0

(z ? z0 )k
(? ? z0 )k?1

被积函数写成:

? ? z0

? f
?

(? )
?z

?

? k ?0

f

(?

)

(z ? z0 )k
(? ? z0 )k?1

3. 将上式沿CR1积分

? 级数

? k ?0

(z ? z0 )k
(? ? z0 )k?1

在CR1上一致收敛



f

(ζ)

在CR1上有界

32

? ?

级数

? k ?0

f

(?

)

(z ? z0 )k
(? ? z0 )k?1



B内一致收敛

于是

? 逐项积分

? ? ? ? f (z) ? 1
2? i

? f (? ) (z ? z0 )k d? ? 1 ?

CR1 k ?0

(? ? z0 )k?1

2? i k?0

(z ?
CR1

z0 )k

(?

f (?
? z0

) )k

?1

d?

? ? ?

?
(z ? z0 )k
k ?0

1
2?

i

f (? ) d? CR1 (? ? z0 )k ?1

?
? ? ak (z ? z0 )k k ?0

其中

? 1
ak ? 2? i

?( CR1

f (?
? z0

) )k

?1

d?

?

1 k!

f (k) (z0 )

4. 展开式是唯一的

33

若 f (z)能展开成另一种形式:

f (z) ? C0 ? C1(z ? z0 ) ? C2 (z ? z0 )2 ?

(1) 那么当 z = z0: f (z0 ) ? C0 ? C0 ? f (z0 ) ? a0

(2)

对z求导:
f '(z0

)

?

C1

?

2C2

(z

?

z0

)

?

3C3 ( z

?

z0

)2

?

? C1 ? f '(z0 ) ? a1
f ''(z) ? 2C2 ? 3? 2C3(z ? z0 ) ?

1

? C2 ……

?

2

f

''(z0 ) ?

a2

?

Ck

?

1 k!

f

(k) (z0 ) ? ak

——展开式唯一

34

由展开式的唯一性,可以用任何方便的办法来求解一个 解析函数的泰勒展开式,不必一定要用积分表达式

来求 ak 。

? ak

?

1
2?

i

C R1

(?

f (? ) d?
? z0 )k?1

说明:

(1) 解析函数与泰勒级数之间存在密切关系:

a. 幂级数在其收敛圆内解析;

b. 解析函数可以展开成幂级数,且这种展开式是唯一的。 (2) 如果f(z)在B内有一阶导数存在,则f(z)可在B内每一点的

邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说,f (x) 的一

阶导数存在,它的二阶或高阶导数可能不存在,因此 f(x)

就不可能展开成泰勒级数。

35

说明:

当 z0 ? 0 时, 级数称为麦克劳林级数;

?

? f (z) ? ak zk

注意:

k ?0

因为 f (z)解析,可以保证无限阶导数 的连续性;
所以复变函数展为泰勒级数的实用范围

就要比实变函数广阔的多。

36

(三)将函数展开成泰勒级数

常用方法: 直接法和间接法.

1.直接法:

由泰勒展开定理计算系数

ak

?

1 k!

f

(k)

(z0 )

,

k ? 0,1, 2,

将函数 f (z) 在 z0 展开成幂级数.

例1, 求 ez 在 z ? 0的泰勒展开式.

(ez )(k ) ? ez ,

(ez )(k) z?0 ? 1, (k ? 0,1, 2, )

? 故有 ez ? 1? z ? z2 ? ? zk ? ? ? zk

2!

k!

k?0 k !

37

因为 ez 在复平面内处处解析, 所以级数的收敛半径 R ? ? 。 2. 间接展开法 :
借助于一些已知函数的展开式 , 结合解 析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数 的泰勒展开式。 间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比 直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛。
38

例2 利用间接展开法求 sin z 在 z ? 0的泰勒展开式.

? ? sin z

?

1 (eiz 2i

? e?iz )

?

1 2i

?? ?? k?0

(iz)k k!

?

? k ?0

(?iz)k k!

? ??

?

1 2i

??????1 ?

iz

?

(iz)2 2!

?

(iz)3 3!

?

(iz)k k!

?

?? ????

?

1 2i

??????1 ?

iz

?

(?iz)2 2!

?

(?iz)3 3!

?

(?iz)k k!

?

?? ????

1 ??

( iz )3

? 2i ???? 2iz ? 2 3! ?

( iz )k k!

? (?1)k?1

( iz )k k!

?

?? ????

? ?

?? ??????

z

?

z3 3!

?

?

? (?1)k

? ? ?1 k (z)2k?1 ??

?2k ?1?!
z 2k?1

? ??????

k ?0

(2k ?1)!

39

附: 常见函数的泰勒展开式

? 1) ez ? 1? z ? z2 ?

? zk ?

?

?

zk ,

( z ? ?)

2!

k!

k?0 k !

? 2) 1 ? 1? z ? z2 ?

? zk ?

?
? zk , ( z ? 1)

1? z

k ?0

? 3) 1 ?1? z ? z2 ?

? (?1)k zk ?

?
? (?1)k zk ,

1? z

k ?0

( z ? 1)

4) sin z ? z ? z3 ? z5 ? ? (?1)k z2k?1 ? ,

3! 5!

(2k ?1)!( z ? ?)

40

5) cos z ? 1? z2 ? z4 ? ? (?1)k z2k ? ,

2! 4!

(2k )!

( z ? ?)

6) ln(1? z) ? z ? z2 ? z3 ? ? (?1)k zk?1 ? ,

23

k ?1

? ? ? (?1)k zk?1

k ?0

k ?1

( z ? 1)

7)(1 ? z)? ? 1 ? ?z ? ? (? ? 1) z2 ? ? (? ? 1)(? ? 2) z3 ?

2!

3!

? ? (? ?1) (? ? k ?1) zk ? , ( z ? 1)
k!
41

例3



函数

(1

1 ? z)2

展开成

z

的幂级数.



由于

(1

1 ?z

)2



z

?

1上有一奇点 z

?

?1,

即在 z ? 1 区域内解析, 故可在其解析区域内展开成 ,

z 的幂级数

1 ? 1? z ? z2 ? ? (?1)k zk ? 1? z
上式两边逐项求导,

z ?1

1 (1 ? z)2

?

??? ?

1

1 ?

z

??? ?

? 1? 2z ? 3z2 ? ? (?1)k?1 kzk?1 ? , z ? 1. 42

例4* 求对数函数的主值ln(1 ? z) 在 z ? 0 处的 泰勒展开式.
分析 ln(1 ? z) 在从 ? 1向左沿负实轴剪开的 平面内是解析的, ? 1 是它的一个奇点,
所以它在 z ? 1内可以展开成 z 的幂级数.
y
如图,

?1 O

x

43

解 [ln(1 ? z)]? ? 1 1? z
? 1? z ? z2 ? ? (?1)k zk ?

?
? ? (?1)k zk k ?0

设 l 为收敛圆 z ? 1内从 0 到 z 的曲线,

( z ? 1)

将展开式两端沿 l 逐项积分, 得

? ? ? z 1 dz ? z ? (?1)k zkdz

0 1? z

0 k ?0

即 ln(1? z) ? z ? z2 ? z3 ? ? (?1)k zk?1 ?

23

k ?1

z ?1
44

3.4 解析延拓 (一)解析延拓

解析延拓:将解析函数定义域加以扩大 例; 幂级数:1? z ? z2 ? z3 ? , 在以z =0为圆心

的单位圆B内代表一个解析函数,令为

级数的收f1敛(z)域?B1即? z解?析z2函?数z3定? 义域? 1半?1径z ,R=1

z? 。

1

在单位圆B内,取一点z0=i/2 为圆心进行将f1(z)

泰勒展开

? ? ? ? ?
f2(z) ?
k ?0

f1(k) (i / 2) k!

z?i/2 k

这级数的收敛域b的半径为

?

? ?z ? i / 2?k ? ? k?0 1? i / 2 k?1 ,

?1? i / 2?k?1

5

R ? lim k??

?1? i / 2?k

? 1?i/2 ? , 2

45

上例说明,收敛域b 跨出原来的收敛域B 之外, 而级数(1)在收敛域B内. b 代表解析函数 f2(z),于 是称 f2(z )为 f1(z) 在 b内的解析延拓。

定义:若f1(z)和f2(z)分别在 B,b内解析,且在B与b重叠的区 域中有f1(z)=f2(z),则称f2(z)为 f1(z)在b中的解析延拓, f1(z)为 f2(z)在B中的解析延拓。

b
? z ?i/2
z?0 B

可以证明,无论采用何种方法,函数 f(z) 的解 析延拓是唯一的。这样,可以采用某些最方便的方法

来进行解析延拓。

46

(二)泰勒级数展开解析延拓的方法

? 首先在B1 内任取一点 z0,将 f 1 (z)在 z0 的邻域展开成泰

勒级数

? ? ?
f2(z) ?
k ?0

f1(

k) (z0 k!

)

(

z

?

z0

)

k

?
? ak (z ? z0 )k
k ?0

? 设级数的收敛区域为B2。如果B2超出了B1的范围。由于在 B1和B2的重叠区域 f1(z)= f2(z),所以 f2(z) 就是 f1(z) 在 B2中的解析延拓。 ? 这样不断作下去,得到一系列的解析{Bn,fn (z)} (n=2,3...)。 ?

? 一个解析元素{Bn,fn (z)} 的全部解析延拓的集合,称为 f1 (z)所产生的完全解析函数 F(z),F(z)的定义域是邻解析元

素给出的定义域的总和。

? f1(z) z ? B1

F

(

z)

?? ?

f2

(

z)

z ? B2

? ?? fn (z) z ? Bn

47

? §3.3 ? (1)(3)(6)(8)
48

3.5 洛朗级数展开
(一)问题的引入
我们已经知道,若函数 f (z) 在圆域 z ? z0 ? R 内解析, 则 f (z) 在 z0 点可展开成幂级数,由此推论可知,当 f (z) 在 z0 处不解析时,则 f (z) 在 z0 处肯定不能展开成幂级数. 那 么,如果我们挖去不解析的点 z0 ,函数 f (z) 在解析的环域: R2 ? z ? z0 ? R1 内是否可展开成幂级数呢?这就是我们下 面要讨论的问题: 函数 f (z) 的罗朗级数展开.
罗朗级数和泰勒级数一起,都是研究复变函数的有力工 具.
49

例1. f (z) ? 1 在z ? 0及z ? 1 都不解析, z(1 ? z)
但在圆环域0 ? z ? 1及0 ? z ?1 ? 1内都是解析的.

在圆环域 0 ? z ? 1内:

f (z) ? 1 ? 1 ? 1 , z(1 ? z) z 1 ? z

而 所以

1 ? 1 ? z ? z2 ? ? ?zk??, z ? 1

1? z

f

(z)

?

1 z(1 ?

z)

?

z ?1

?

1

?

z

?

z2

? ??zk??,

即 f (z)在 0 ? z ? 1 内可以展开成幂级数.

50

在圆环域 0 ? z ? 1 ? 1内,

f

(z)

?

1 z(1?

z)

?

1

1 ?

z

? ??1?

1 (1?

z)

? ? ?

? ? ? 1 1 ? (1 ? z) ? (1 ? z)2 ? ? ? (1 ? z)k ? ? 1? z

? (1 ? z)?1 ? 1 ? (1 ? z) ? (1 ? z)2 ? (1 ? z)k?1 ? ?.

由此推想,若f (z) 在R 2<?z - z0?<R1 内解析,f (z) 可以展开成含有负幂次项的级数,即

f (z) ? ? a?k (z ? z0 )?k ? ? a?1(z ? z0 )?1 ? a0 ?a1(z ? z0 ) ? ? ak (z ? z0 )k ?
51

本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函 数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在 孤立奇点邻域内的性质以及定义留数数和计算留数 的基础。
52

(二)洛朗级数

定理 设 f (z) 在环形域R2 ? z ? z0 ? R1 内处处解析,

那末 f (z) 在 B内可展开成洛朗级数

?

R1

? f (z) ? ak (z ? z0 )k ,

R2 .z0

k ? ??

? 其中

ak

?

1 2πi

f (? ) d? C (? ? z0 )k?1

为洛朗系数.

(n ? 0,? 1,?)

C为圆环域内绕 z0 的任一正向简单闭曲线.

53

? ? 证 f (z) ? 1

f ?? ? d? ? 1

f ?? ? d?

2πi CR1 ? ? z

2πi CR2 ? ? z

对于第一个积分(CR1):

R1

因为 1 ?

1

? ? z (? ? z0) ? (z ? z0)

? ?1 ? 1 ? ? z0 1? z ? z0 ? ? z0

? ? ?

z ?

? ?

z0 z0

? ? 1?
?

C z

C R2

R1

.? z0 . z0CRR22 .z

B

CR1

.?

? ? ?

?

1 ? z0

? k ?0

? ? ?

z
?

? ?

z0 z0

k
? ?? ?

? k ?0

(z ? z0 )k ,
(? ? z0 )k?1

54

所以

? 1

f (? )d?

2πi CR1 ? ? z

? ? ?

? k ?0

?1

? ?

2πi

C R1

(?

f (? )
? z0 )k?1

d?

? ?(z ?

?

z0 )k

?
? ? ak (z ? z0 )k

k ?0

? 对于第二个积分:

1 2πi

f (ζ ) dζ
CR2 ζ - z

R1

C R2

.?

. z0R2 .z

CR1

.?

因为

?

1 ?

z

?

(?

?

1 z0) ? (z

?

? z0 )

z

?1 ? z0

? 1?

1 ??

z0

z ? z0

? ? ?

?
z

? z0 ? z0

? ? 1?
?

55

? ? ? ? 1
(z ? z0 )

? l ?0

(? ? z0 )l
(z ? z0 )l

?? 1 (z ? z0 )l?1

? l ?0

(?

? z0 )l

? 则 ? 1

f (? )d?

2πi CR2 ? ? z

? ? ?
?
l ?0

1 ?1 (z ? z0 )l?1 ?? 2πi

(?
CR2

?

z0 )l

f

(?

)d?

? ??

? ? ?

? k ?1

1 ?1 (z ? z0 )k ?? 2πi

(?
CR2

? z0 )k?1

f (?

)d?

? ??

? ? ?

? k ?1

(

z

?

z0

)?

k

? ? ?

1 2πi

CR2

(?

f (? ) d?
? z0 )?k?1

? ? ?

? a?k

?

1 2πi

f (? ) d?

?( ? z ) CR2

? k ?1 0

56

?
? ? a?k (z ? z0 )?k ,

k ?1



? ? f (z) ? 1

f (? )d? ? 1

f (? )d?

2πi ? CR1 ? z

2πi CR2 ? ? z

?

?

? ? ? ak (z ? z0 )k ? a?k (z ? z0 )?k

k?0

k ?1

?

? ? ak (z ? z0 )k .

k ? ??

对于C为在圆环域内绕 z0 的任何一条正向简单 闭曲线. ak与a?k可用一个式子表示为:

? ak

?

1 2πi

f (? ) d? C (? ? z0 )k?1

(k ? 0, ?1, ? 2,

)

57

说明:
?
? 1) f (z) ? ak (z ? z0 )k
k ? ??
f (z)在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.
函数 f (z)在圆环域内的洛朗展开式
2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负 幂项的级数是唯一的. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数 的一般方法.
58

(三)函数的洛朗展开式

常用方法 : 1.直接法 2.间接法

1. 直接展开法

利用定理公式计算系数 ak

? ak

?

1 2π i

C (?

f (?
? z0

) )k?1

d?

(k
?

?

0,±1,±2,?)

? 然后写出 f (z) ? ak (z ? z0 )k .

k ? ??

2. 间接展开法 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可

用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .
59

例2 解
? ? ? 而

在0 ?

z

?

?内,



f

( z)

?

ez z2

?

由定理知: f (z) ? ak zk ,

k ? ??

ak

?1 2π i

C (?

f (?
? z0

))k?1d?

?

1 2π

展开成洛朗

i

C

e?
? k?

3d?

级数.
z0 ? 0
目标
求ak

如何计算ak?

令f1=eζ,则f1=eζ在闭合回路C内和C上均解析, 故由解析函数的导数公式

即有

? f (k+1) 1

? (k+1)! 2π i

C

e?
? k?

3

d?

ak

?

f 1(k+1)(0) (k ? 1)!

. z0
60
0 ? z ? z0 ? ?

? ak

?

1 2π i

C

e?
? k?

3

d?

?

(k

1 ? 2)!

? dk?2 ?? dz k ? 2

(ez

? )?

?

? z?0

(k

1 ?

2 )!

? 故

f

(z)

?

?
k ? ?2( k

zk ? 2)!

?

1 z2

?

1 z

?

1 2!

?

z 3!

?

z2 4!

?

?

0? z ??

间接法解:直接展开ez

ez z2

?

1 z2

????1 ?

z

?

z2 2!

?

z3 3!

?

z4 4!

? ?????

?

1 z2

?

1 z

?

1 2!

?

z 3!

?

z2 4!

?

?

61

例3 函数 f (z) ?

1

在圆环域 :

(z ? 1)(z ? 2)

1)0 ? z ? 1; 2) 1 ? z ? 2; 3) 2 ? z ? ??.

内是处处解析的,

试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数.



f (z) ? 1 ? 1 ,

(1 ? z) (2 ? z)

1) 在 0 ? z ? 1内,

间接展开 法

62

y

由于 z ? 1, 从而 z ? 1

2

o

1x

则 1 ? 1? z ? z2 ??? zn ??

1? z

1 2?

z

?

1? 1 2 1?

z

?

1 2

????

1

?

z? 2

z2 22

???

zn 2n

? ?????

2

所以

f

(z)

?

(1 ?

z

?

z2

??) ?

1 2

???? 1

?

z 2

?

z2 4

? ?????

? 1 ? 3z ? 7 z2 ?? 24 8

是泰勒级数

63

2) 在 1 ? z ? 2内,

由 z ?1

1 ?1 z

z ?2

z ?1 2

y o 1 2x

1 1?

z

?

?

1 z

?

1

1 ?

1

?

?

1 z

??1 ?

?

1 z

?

1 z2

? ??? ?

z

且仍有

2

1 ?

z

?

1 2

?

1

1 ?

z

?

1 2

???? 1

?

z 2

?

z2 22

?

??

zn 2n

?

?????

2

64

于是

f

(z)?

?

1 z

?? ?

1

?

1 z

?

1 z2

? ??? ? ?

1 2

????

1

?

z 2

?

z2 22

? ?????

?

?

?

1 zn

?

1 z n?1

?

??

1 z

?

1 2

?

z 4

?

z2 8

?

?

3) 在 2 ? z ? ?内,

y

由 z ?2

2 ?1 z

此时

2

1 ?

z

?

?1 z

?1 1?

2

z

o 2x
65

?

?

1 z

?? ?

1

?

2 z

?

4 z2

?

??? ?

此时 1 ? 2 ? 1, zz

仍有

1 1?

z

?

?1 z

?1 1?

1

?

?

1 z

??1 ?

?

1 z

?

1 z2

? ??? ?

z



f

(z)

?

1 z

?? 1 ?

?

2 z

?

4 z2

? ??? ?

?

1 z

?? ?

1

?

1 z

?

1 z2

? ??? ?

?

1 z2

?

3 z3

?

7 z4

??

.

注意: 本例中圆环域的中心 z ? 0 是各负幂项的

奇点但却不是函数 f (z) ?

1

的奇点 .

(z ? 1)(z ? 2)

66

说明: 1. 函数 f (z)在以 z0为中心的圆环域内的洛朗级
数中尽管含有z ? z0 的负幂项, 而且z0 又是这些 项的奇点, 但是z0可能是函数 f (z)的奇点,也可能 不是 f (z)的奇点. 2. 给定了函数 f (z) 与复平面内的一点 z0 以后, 函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开 式 (包括泰勒展开式作为它的特例).
67

例4

将函数

sin z

z



z0

?

0 的去心邻域内展开成

洛朗级数 .

解:间接法 即通过展开sinz为级数求解:

f (z) ? sin z z

0? z ??

?

1 z

? ??z

?

1 3!

z3

?

1 5!

z5

?

?

?

(?1)n

z 2n?1 (2n ? 1)!

?

????

?? (?1)n z2n

?

.

n?0 (2n ? 1)!

68

3.6 孤立奇点的分类 (一)孤立奇点的概念 定义:若函数f (z)在点z0处不解析(或没有定义),但 在点z0的某个空心邻域 0 ? z ? z0 ? R(0 ? R ? ??) 内解析, 则称点z0为f (z)的孤立奇点。
例1 z=0是函数 e1/z 的孤立奇点.
z ? ?1是函数 1 的孤立奇点.
z?1
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
69

例2 指出函数 f (z) ?

z2 1

在点

z

?

0

的奇点特性.

sin

z

解 函数的奇点是1/z=0和sin(1/z)=0对应的点,即

z ? 0, z ? 1 k?

(k ? ?1,? 2,?)

因为 lim 1 ? 0, k?? k?

即在 z ? 0 的不论怎样小的去心邻域内,总有 f (z)

的奇点存在,所以z ? 0 不是孤立奇点.

70

(二)孤立奇点的分类
定义 设z0是解析函数f (z)的孤立奇点,f (z)在 点z0的某去心邻域 0 ? z ? z0 ? R 内的罗朗展式为
??
? f (z) ? ak (z ? z0 )k k ???
(1)若展式中不含有z-z0的负幂项,则称z0为f (z)的 可去奇点;

(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)项负幂项,则称 z0是f (z)的极点,称m为极点z0的阶,按照m=1或m>1, 称z0是f (z)的单极点或m阶的极点;

(3)若展式中含有z-z0的无穷多个负幂项,则称z0为f

(z)的本性奇点。

71

1.可去奇点 1) 定义 如果洛朗级数中不含 z ? z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z)的可去奇点. 说明: (1) z0若是f (z)的孤立奇点,
f (z) ? a0 ? a1(z ? z0 ) ? ? ? ak (z ? z0 )k ? ? .

( 0 ? z ? z0 ? ? ) 其和函数F(z)为在 z0 解析的函数.

(2) 无论 f (z) 在 z0 是否有定义, 补充定义

f (z0 ) ? a0 , 则函数 f (z) 在 z0 解析.

f

(z0 )

?

lim
z?z0

f

(z)

f

(z)

?

?F(z), ? ? a0 , z

z ? z0 ? z0

72

2) 可去奇点的判定

(1) 定义判断: 如果 f (z)在 z0 的洛朗级数无负 幂项则 z0 为 f (z) 的可去奇点.

(2) 极限判断lim f (z) : 若极限存在且为有限值,



z0 为

z ? z0
f (z) 的可去奇点.

例3 sin z ? 1 ? 1 z2 ? 1 z4 ? ? 中不含负幂项,

z

3! 5!

z ? 0 是 sin z 的可去奇点 . z

如果补充定义: z ? 0 时, sin z ? 1, z

那末 sin z 在 z ? 0 解析.

z

73

例4 说明 z ? 0 为 ez ? 1 的可去奇点. z
解 由定义判断

ez ? 1 ? 1(1 ? z ? 1 z2 ? ? ? 1 zn ? ? ? 1)

zz

2!

n!

? 1 ? 1 z ? ? ? 1 zn?1 ? ?, 0 ? z ? ??

2!

n!

无负幂项

所以 z ? 0 为 ez ? 1 的可去奇点. z

极限判断 因为 lim ez ? 1 ? lim ez ? 1,

z?0 z

z?0

所以 z ? 0 为 e z ? 1 的可去奇点.

z

74

2. 极点 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z ? z0 的
负幂项, 其中关于 (z ? z0 )?1的最高幂为 (z ? z0 )?m ,
即 f (z) ?a?m(z ?z0)?m ???a?2(z?z0)?2 ?a?1(z?z0)?1 ? a0 ? a1(z ? z0 ) ? ? (m ? 1, a?m ? 0)

或写成

f

(z)

?

(z

1 ? z0 )m

g(z)

,

那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的 m 级极点.
75

说明: (1)

g( z) ? a?m ? a?m?1( z ? z0 ) ? a?m?2 ( z ? z0 )2 ? ?

特点:

1. 在 z ? z0 ? ?内是解析函数 2. g(z0 ) ? 0

(2) 如果 z0 为函数 f (z) 的极点 , 则

lim f (z) ? ?.

z?z0

例5

有理分式函数

f

(z)

?

z

3z ? 2 2(z ? 2)

,

z ? 0是二级极点, z ? ?2 是一级极点.

76

2)极点的判定方法

(1) 定义判别

f (z)的洛朗展开式中含有 z ? z0的负幂项为有限项.

(2) 定义的等价形式判别

在点

z0 的某去心邻域内

f

(z)

?

(z

g(z) ? z0 )m

其中 g(z)在 z0的邻域内解析,且 g(z0 ) ? 0.

(3)极限判断 lim f (z) ? ? . z ? z0

77

3. 本性奇点

如果洛朗级数中含有无穷多个z ? z0 的负幂项,

那末孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.

1
例如, ez

?1?

z ?1

?

1

z?2

???

1

z?n

? ?,

2!

n!

含有无穷多个z的负幂项 (0 ? z ? ?)

1
所以 z ? 0 为本性奇点, 同时 lim e z 不存在. z?0

特点: 在本性奇点的邻域内lim f (z)不存在且不 z ? z0 为 ?.

78

(三)函数在无穷远点的性态

1. 定义 如果函数 f (z) 在无穷远点 z ? ?的去心

邻域 R ? z ? ?? 内解析, 则称点? 为 f (z) 的孤

立奇点.

y

R

o

x

79

作变换 t

?

1 :则 z

f (z) ?

f

?? ?

1 t

?? ?

?

?

(t

),

并且规定此变换将:

z ? ? 映射为 t ? 0,

扩充 z 平面 映射为 扩充 t 平面

映射为 {zn} (zn ? ?)

? ?tn ?

?

1 zn

? ? ?

(tn

?

0)

R ? z ? ?? 映射为 0 ? t ? 1 R

80

2 结论: 在去心邻域 R ? z ? ?? 内对函数 f (z) 的研究
在去心邻域 0 ? t ? 1 内对函数 ? (t)的研究
R
因为 ? (t) 在去心邻域 0 ? t ? 1 内是解析的,
R
所以 t ? 0是 ? (t)的孤立奇点.
3 规定: 如果 t=0 是 ? (t)的可去奇点、m级奇点或
本性奇点, 那末就称点z ? ?是 f (z) 的可去奇点、
m级奇点或本性奇点 .
81

4.判别方法: 判别法1 (利用洛朗级数的特点) 如果 f (z)在 R ? z ? ??内的洛朗级数中: 1)不含正幂项; 2)含有有限多的正幂项且 zm 为最高正幂; 3)含有无穷多的正幂项; 那末 z ? ? 是 f (z) 的 1)可去奇点 ;
2) m 级极点; 3)本性奇点 .
82

例6 (1)函数

f (z)

?

z z?1

在圆环域

1?

z

?

??

内的洛朗展开式为:

f

(z)

?

1

1 ?

1

?

1

?

1 z

?

1 z2

???

(?1)n

1 zn

?

?

z

不含正幂项

所以 z ? ? 是 f (z) 的可去奇点 .

(2)函数f

(z)

?

z

?

1 z

含有正幂项且

z

为最高正

幂项,所以z ? ?是 f (z)的一级极点.

83

(3)函数 sin z 的展开式:

sin z ? z ? z3 ? z5 ? ? ? z2n?1 ? ?

3! 5!

(2n ? 1)!

含有无穷多的正幂项

所以 z ? ? 是 f (z) 的本性奇点.

84

判别法2 : (利用极限特点) 如果极限 lim f (z)
k ??
1)存在且为有限值 ; 2)无穷大; 3)不存在且不为无穷大 ; 那末 z ? ? 是 f (z) 的 1)可去奇点 ;
2)m级极点 ; 3)本性奇点 .
85

例7 函数

f

(z)

?

(z2

? 1)(z ? (sin ?z)3

2)3

在扩充复平面内

有些什么类型的奇点? 如果是极点, 指出它的级. 解 先分析有限区域,再分析无限区域
函数 f (z) 除点 z ? 0,? 1,? 2? 外,在 z ? ?? 内解析 .

(1)分析 sin ?z 的零点情况: 因(sin ?z)? ? cos ?z 在 z ? 0,±1,±2,?处均不为零.

所以这些点都是 sin ?z 的一级零点,

(2)分析分子的零点情况;

因 z2 ? 1 ? (z ? 1)(z ? 1), 则1与 ? 1为一级零点,

? z - 2?3 ,

则2 为三级零点, 86

(3)分析 f (z) 的极点情况: 故在 z ? 0,? 1,? 2? 这些点中除1, -1, 2外, 都是

f (z) 的三级极点.

然而 1与? 1是 f (z)的2级极点.

对于z=2,

因为 lim z?2

f (z)

?

lim
z?2

(z2

? 1)(z ? (sin ?z)3

2)3

?

3 ?3

,

那末 z ? 2 是 f (z) 的可去奇点.

87



z

?

?时,

因为

f

?? ?

1
?

?? ?

?

(1

?? ?

2 )(1 ? 2? 2 sin3 ?

)3

,

?

?

? 0,? n

?

1 n

使分母为零,

?

n

?

1 为 f ?? 1 ??的极点,
n ?? ?

当n ? ?时,? n ? 0,

故?

? 0不是

f

?? ?

1
?

? 的孤立奇点, ?

所以 z ? ? 不是 f (z)的孤立奇点.

88

思考 思考题1
洛朗级数与泰勒级数有何关系?
答:

是一般与特殊的关系.

洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是 一个普通幂级数;

洛朗级数的收敛区域是圆环域 r ? z ? z0 ? R. 当 z0 ? 0, r ? 0, c?n ? 0 时,

洛朗级数就退化为泰勒 级数了.

89

思考题2

确定函数f

(z)

?

1 z 3 (e z3

?

的孤立奇点的类型. 1)

答:

z ? 0是分母的6级零点, 也即是函数 f (z)的6级极点.
90

? §3.5 ? (1)(3)(5) (7)(9) ? §3.6 ? (1)(2)(3)
91

92



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