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创新设计浙江专用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第4讲幂函数与二次函数课件


第4讲

幂函数与二次函数

最新考纲
1

1.了解幂函数的概念;掌握幂函数 y=x,y=x2,y= 1 x 的图象和性质;2.理解二次函数的图象和性质,

x

3

,y=x2,y=

能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

知识梳理
1.幂函数 (1)幂函数的定义 y=xα 的函数称为幂函数,其中x是自变量, 一般地,形如_______ α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 [0,+∞) {x|x∈R, ——————————— 且x≠0}

y=x

y=x2

y=x3

y=x

y=x-1

定义域

R

R

R

值域

R [0,+∞) R [0,+ ∞) 偶 奇 非奇非偶

{y|y∈R,且y≠0} ________________ 奇

奇偶性 奇 2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式:
ax2+bx+c(a≠0) 一般式:f(x)=________________. (m,n) 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为_______. 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域

(-∞,+∞)

(-∞,+∞)

值域

?4ac-b2 ? ? ? ,+∞? ? 4 a ? ? ______________
? b? 在?-∞,-2a?上单调递 ? ?

? 4ac-b2? ? ? ?-∞, ? 4 a ? ? _______________

? b? ?-∞,- ? 2a? 上单调 ? 在_____________

减; 单调性
? ? b ?- ,+∞? ? 2a ? 上单调递 在____________

递增;
? ? b 在?-2a,+∞?上单调递 ? ?

增 对称性

减 b 函数的图象关于 x=-2a对称

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数 y=2x3是幂函数.(
1

) ) )

(2)当 n>0 时,幂函数 y=xn 在(0,+∞)上是增函数.( (3)二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.(

(4) 二 次 函 数 y = ax2 + bx + c(x∈[a , b]) 的 最 值 一 定 是 4ac-b2 4a .( )

解析 (1)由于幂函数的解析式为 f(x)=x , 故 y=2x3不是幂函数, (1)错. (3)由于当 b=0 时,y=ax2+bx+c=ax2+c 为偶函数,故(3)错. 4ac-b b b (4)对称轴 x=-2a, 当-2a小于 a 或大于 b 时, 最值不是 4a , 故(4)错.
2

α

1

答案

(1)×

(2)√ (3)×

(4)×

2.(2016· 全国Ⅲ卷)已知 a=23, b=33, c=253, 则( A.b<a<c C.b<c<a
4 2 2

4

2

1

)

B.a<b<c D.c<a<b
2 2

解析 因为 a=23=43,b=33,c=53又 y=x3在(0, +∞)上是增函数,所以 c>a>b.

答案 A

3.已知f(x)=x2+px+q满足f(1)=f(2)=0,则f(-1)的值是( A.5 C.6 B.-5 D.-6

)

解析

由f(1)=f(2)=0知方程x2+px+q=0的两根分别为1,

2,则p=-3,q=2,∴f(x)=x2-3x+2,∴f(-1)=6. 答案 C

4.(2017· 杭州测试)若函数 f(x)是幂函数,则 f(1)=________,若满 足 f(4)=8f(2),则
?1? f ?3?=________. ? ?

解析
α

由题意可设 f(x)=xα,则 f(1)=1,由 f(4)=8f(2)得 4α=
3

8×2 ,解得 α=3,所以 f(x)=x ,故

?1? ?1?3 1 ? ? ? ? f 3 = 3 =27. ? ? ? ?

1 答案 1 27

5.若幂函数 y=(m2-3m+3)xm2-m -2的图象不经过原点,则 实数m的值为________.
解析
2 ? ?m -3m+3=1, 由? 2 解得 ? ?m -m-2≤0,

m=1 或 2.

经检验 m=1 或 2 都适合.

答案 1或2

6.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数, 则实数a的取值范围是________.

解析 二次函数f(x)图象的对称轴是x=1-a,由题意知1-
a≥3,∴a≤-2. 答案 (-∞,-2]

考点一 幂函数的图象和性质
【例 1】 (1)(2017· 济南诊断测试 )已知幂函数 f(x)=k· xα 的图象过点
?1 ? , ?2

2? ?,则 k+α 等于( 2? B.1
1 2 1

) 3 C. 2 D.2 )

1 A. 2

(2)若(2m+1)2>(m +m-1)2,则实数 m 的取值范围是(
? - ? A.?-∞, ?

5-1? ? ? 2 ?

? B.? ? ? ? D.? ? ?

? 5-1 ? ,+∞ ? 2 ? ? 5-1 ? ,2? 2 ?

C.(-1,2)

解析

(1)由幂函数的定义知 k=1.又 f

?1? ? ?= ?2?

?1?α 2 2 ? ? 2 ,所以?2? = 2 ,

1 3 解得 α=2,从而 k+α=2. (2)因为函数 y=x2的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所 1 ? m ≥ - , ? 2 ?2m+1≥0, ? ? 2 - 5-1 5-1 以不等式等价于?m +m-1≥0, 解得? 或m≥ , ?2m+1>m2+m-1. ?m≤ 2 2 ? ? ?-1<m<2, 5-1 即 2 ≤m<2.
1

答案 (1)C (2)D

规律方法

(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、

单调性;
(2)α的正负:当α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限 的图象上升;当α<0时,图象不过原点,过(1,1),在第一 象限的图象下降. (3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当

的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的
图象和性质是解题的关键.

【训练1】 (1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)

的图象是(

)

(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于y轴 对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为( A.-3 B.1 )

C.2

D.1或2

解析

(1)设 f(x)=xα(α∈R),则 4α=2,

1 1 ∴α=2,因此 f(x)=x2,根据图象的特征,C 正确.

(2)∵幂函数 f(x)=(n +2n-2)x
2 ? ?n +2n-2=1, ∴? 2 ∴n=1, ? ?n -3n<0,

2

n

2

-3n

在(0,+∞)上是减函数,

又 n=1 时,f(x)=x-2 的图象关于 y 轴对称,故 n=1. 答案 (1)C (2)B

考点二 二次函数的图象与性质 【例2】 (2017· 湖州调研)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值;

(2) 求实数 a 的取值范围,使 y = f(x) 在区间 [ - 4 , 6] 上是单调函
数; (3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间. 解 (1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 由于x∈[-4,6],∴f(x)在[-4,2]上单调递减, 在[2,6]上单调递增,∴f(x)的最小值是f(2)=-1,

又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35.

(2)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a, 所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4 或-a≥6, 即 a≤-6 或 a≥4,故 a 的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞). (3)当 a=-1 时,
2 2 ? x + 2 x + 3 =( x + 1 ) +2,x≤0, ? 2 f(|x|)=x -2|x|+3=? 2 2 ? ?x -2x+3=(x-1) +2,x>0,

其图象如图所示,

又∵x∈[- 4 ,6],∴ f(|x|) 在区间 [- 4,-1) 和 [0 , 1) 上为减 函数,在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数. 规律方法 解决二次函数图象与性质问题时要注意: (1) 抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约,常

见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论;
(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函 数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解), 事半功倍.

【训练2】 (1)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能
是( )

(2)(2017· 武汉模拟 ) 若函数 f(x) = (x + a)(bx + 2a)( 常数 a , b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解 析式f(x)=________.

解析

(1)由 A,C,D 知,f(0)=c<0,从而由 abc>0,所以 ab<0,

b 所以对称轴 x=-2a>0,知 A,C 错误,D 满足要求;由 B 知 f(0) b =c>0,所以 ab>0,所以 x=-2a<0,B 错误. (2)由 f(x)是偶函数知 f(x)图象关于 y 轴对称, ∴b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,又 f(x)的值域为(-∞,4], ∴2a2=4,故 f(x)=-2x2+4.

答案 (1)D (2)-2x2+4

考点三 二次函数的应用(多维探究)

命题角度一 二次函数的恒成立问题
【例3-1】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单 调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,试求

k的取值范围.



b ? ? ?- =-1, ?a=1, 2 a (1)由题意知? 解得? ? ?b=2. ? f (- 1 )= a - b + 1 = 0 , ?

所以 f(x)=x2+2x+1,由 f(x)=(x+1)2 知,函数 f(x)的单调递增 区间为[-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1].

(2)由题意知,x2+2x+1>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立,即 k<x2 +x+1 在区间[-3,-1]上恒成立,令 g(x)=x2+x+1,x∈[-3, -1],由
? 1?2 3 g(x)=?x+2? + 知 4 ? ?

g(x)在区间[-3,-1]上是减函数,

则 g(x)min=g(-1)=1,所以 k<1,故 k 的取值范围是(-∞,1).

规律方法

(1) 对于函数 y = ax2 +bx + c ,若是二次函数,就

隐含着 a≠0 ,当题目未说明是二次函数时,就要分 a = 0 和 a≠0两种情况讨论.

(2) 由不等式恒成立求参数的取值范围,常用分离参数法,
转 化 为 求 函 数 最 值 问 题 , 其 依 据 是 a≥f(x)?a ≥ f(x)max , a≤f(x)?a≤f(x)min.

【训练3 】 (2016· 九江模拟 ) 已知f(x)= x2+ 2(a- 2)x+ 4 ,如 果对x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围为 ________.

解析 因为f(x)=x2+2(a-2)x+4,
对称轴x=-(a-2), 对x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,

所以讨论对称轴与区间[-3,1]的位置关系得:
? ?-(a-2)<-3, ? ?-3≤-(a-2)≤1, ? 或? ? ? ?f(-3)>0, ?Δ<0, ? ?-(a-2)>1, 或? ? ?f(1)>0,

1 解得 a∈?或 1≤a<4 或-2<a<1, 所以 a
? 1 ? 的取值范围为?-2,4?. ? ?

答案

? 1 ? ?- ,4? ? 2 ?

命题角度二 二次函数的零点问题
【例 3-2】(2016· 全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)=f(2-x), 若函数 y=|x2-2x-3|与 y=f(x)图象的交点为(x1, y1), ( x2 , y2 ) , ?, (xm,ym),则 ?xi=(
i=1 m

) B.m C.2m D.4m

A.0

解析 由f(x)=f(2-x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称. 又y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线x=1对称, 所以这两函数的交点也关于直线x=1对称.

x1+xm 不妨设 x1<x2<?<xm,则 2 =1,即 x1+xm=2, 同理有 x2+xm-1=2,x3+xm-2=2,?,又 ?xi=xm+xm-1+?+xi,
i =1 m

所以 2 ?xi=(x1+xm)+(x2+xm-1)+?+(xm+x1)=2m,
i=1

m

所以 ?xi=m.
i=1

m

答案 B

规律方法

(1) 解本题的关键是抓住两函数的图象关于直

线 x = 1 对称,利用中点公式求解,考查分类讨论、数形 结合思想. (2) 涉及二次函数的零点常与判别式有关,常借助函数的 图象的直观性实施数形转化.

【训练4】 (2017· 丽水一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,
当 x≥0 时, f(x) = x2 - 2x ,如果函数 g(x) = f(x) - m(m∈R) 恰有 4 个零点,则m的取值范围是________. 解析 函数g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有4个零点可化为函数y=f(x)

的图象与直线y=m恰有4个交点,作函数y=f(x)与y=m的图象

如图所示,

故m的取值范围是(-1,0).

答案 (-1,0)

[思想方法] 1.幂函数y=xα(α∈R)图象的特征 α>0时,图象过原点和(1,1)点,在第一象限的部分“上升”; α<0 时,图象不过原点,经过 (1 , 1) 点在第一象限的部分“下

降”,反之也成立.

2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中a, b,c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式,用待定系数法 确定相应字母的值.

3.二次函数与一元二次不等式密切相关,借助二次函数的

图象和性质,可直观地解决与不等式有关的问题.
4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连,二次函数的最值 问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.

[易错防范] 1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在

第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的
奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内; 如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 2.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满 足 a≠0 ,当题目条件中未说明 a≠0 时,就要讨论 a = 0 和

a≠0两种情况.


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