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椭圆的定义与标准方程 基础练习(含答案)


椭圆的定义与标准方程
一.选择题(共 19 小题) 1.若 F1(3,0) ,F2(﹣3,0) ,点 P 到 F1,F2 距离之和为 10,则 P 点的轨迹方程是( A. B. )

C.

D. 或

2.一动圆与圆 x +y +6x+5=0 及圆 x +y ﹣6x﹣91=0 都内切,则动圆圆心的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

2

2

2

2

3.椭圆 A.4

上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为( B.5 C .6

) D.10

4.已知坐标平面上的两点 A(﹣1,0)和 B(1,0) ,动点 P 到 A、B 两点距离之和为常数 2,则动点 P 的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段

5.椭圆 A.10

上一动点 P 到两焦点距离之和为( B.8

) C .6 D.不确定 )

6.已知两点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是( A. B. C. D.

7.已知 F1、F2 是椭圆 A.16

=1 的两焦点,经点 F2 的直线交椭圆于点 A、B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|等于( B.11 C .8 D.3



8.设集合 A={1,2,3,4,5},a,b∈A,则方程 A.5 个 9.方程 A. B. B.10 个

表示焦点位于 y 轴上的椭圆( C.20 个 D.25 个 ) D.



=10,化简的结果是( C.

10.平面内有一长度为 2 的线段 AB 和一动点 P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( ) A.[1,4] B.[2,6] C.[3,5] D.[3,6] 11.设定点 F1(0,﹣3) ,F2(0,3) ,满足条件|PF1|+|PF2|=6,则动点 P 的轨迹是( A.椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段或不存在 D.不存在 )

12.已知△ ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,﹣4) ,C (0,4) ,则顶点 A 的轨迹方程是( A. B. (x≠0) C. (x≠0) D. (x≠0) (x≠0)



13.已知 P 是椭圆 A.

上的一点,则 P 到一条准线的距离与 P 到相应焦点的距离之比为( B. C. D.



14.平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点 P 的轨迹是以 A.B 为焦点 的椭圆”,那么( ) A.甲是乙成立的充分不必要条件 B. 甲是乙成立的必要不充分条件 C. 甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件

15.如果方程 A.3<m<4

表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( B. C.

) D.

16.“mn>0”是“mx +ny =mn 为椭圆”的( A.必要不充分 C. 充要

2

2

)条件. B. 充分不必要 D.既不充分又不必要

17.已知动点 P(x、y)满足 10 A.椭圆 B.双曲线

=|3x+4y+2|,则动点 P 的轨迹是( C.抛物线



D.无法确定 =( )

18.已知 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,若点 C(x,y)满足 A.6 B.4 C .2

D.与 x,y 取值有关

19.在椭圆 ( )

中,F1,F2 分别是其左右焦点,若|PF1|=2|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是

A.

B.

C.

D.

二.填空题(共 7 小题) 20.方程 + =1 表示椭圆,则 k 的取值范围是 _________ .

21.已知 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,点 C(x,y)满足:

,则|AC|+|BC|=

_________ .

22.设 P 是椭圆

上的点.若 F1、F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1+PF2=

_________ .

23.若 k∈Z,则椭圆

的离心率是 _________ .

24.P 为椭圆 是 _________ .

=1 上一点,M、N 分别是圆(x+3) +y =4 和(x﹣3) +y =1 上的点,则|PM|+|PN|的取值范围

2

2

2

2

25.在椭圆

+

=1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标是 _________ .

26.已知⊙Q: (x﹣1) +y =16,动⊙M 过定点 P(﹣1,0)且与⊙Q 相切,则 M 点的轨迹方程是: _________ . 三.解答题(共 4 小题) 27.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 (1)求 f(1)的值 (2)判断 f(x)的单调性 (3)若 f(3)=﹣1,解不等式 f(|x|)<2 28.已知对任意 x.y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)﹣t(t 为常数)并且当 x>0 时,f(x)<t (1)求证:f(x)是 R 上的减函数; 2 (2)若 f(4)=﹣t﹣4,解关于 m 的不等式 f(m ﹣m)+2>0. 29.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,对任意 x、x′∈R 均有 f(x+x′)=f(x)+f(x′) ,且对任意 x>0,都有 f(x) <0,f(3)=﹣3. (1)试证明:函数 y=f(x)是 R 上的单调减函数; (2)试证明:函数 y=f(x)是奇函数; (3)试求函数 y=f(x)在[m,n](m、n∈Z,且 mn<0)上的值域. ,且当 x>1 时 f(x)<0.

2

2

30.已知函数

是奇函数.

(1)求 a 的值; (2)求证 f(x)是 R 上的增函数; (3)求证 xf(x)≥0 恒成立.

参考答案与试题解析
一.选择题(共 19 小题) 1.若 F1(3,0) ,F2(﹣3,0) ,点 P 到 F1,F2 距离之和为 10,则 P 点的轨迹方程是( A. B. )

C.

D. 或

考点: 椭圆的定义。 专题: 计算题。 分析: 由题意可知点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的椭圆,其中
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,由此能够推导出点

P 的轨迹方程. 解答: 解:设点 P 的坐标为(x,y) , ∵|PF1|+|PF2|=10>|F1F2|=6, ∴点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的椭圆, 其中 ,

故点 M 的轨迹方程为



故选 A. 点评: 本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系,难度较大,解题时要认真审题,仔细解答, 避免出现不必要的错误. 2.一动圆与圆 x +y +6x+5=0 及圆 x +y ﹣6x﹣91=0 都内切,则动圆圆心的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 考点: 椭圆的定义;轨迹方程;圆与圆的位置关系及其判定。 专题: 计算题。 分析: 设动圆的半径为 r,由相切关系建立圆心距与 r 的关系,进而得到关于圆心距的等式,结合椭圆的定义即可 解决问题. 2 2 2 2 2 2 2 2 解答: 解:x +y +6x+5=0 配方得: (x+3) +y =4;x +y ﹣6x﹣91=0 配方得: (x﹣3) +y =100; 设动圆的半径为 r,动圆圆心为 P(x,y) , 2 2 2 2 因为动圆与圆 A:x +y +6x+5=0 及圆 B:x +y ﹣6x﹣91=0 都内切, 则 PA=r﹣2,PB=10﹣r. ∴PA+PB=8>AB=6 因此点的轨迹是焦点为 A、B,中心在( 0,0)的椭圆. 故选 A. 点评: 本题主要考查了轨迹方程.当动点的轨迹满足某种曲线的定义时,就可由曲线的定义直接写出轨迹方程.
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2

2

2

2

3.椭圆 A.4

上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为( B.5 C .6

) D.10

考点: 椭圆的定义。 专题: 计算题。 分析: 由椭圆方程求出 a 的值,再由椭圆的定义即|PF1|+|PF2|=2a 进行求值. 解答:
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解:∵

,∴a=5,

由于点 P 到一个焦点的距离为 5,由椭圆的定义知,P 到另一个焦点的距离为 2a﹣5=5. 故选 B. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程和定义的应用,属于基础题,比较简单. 4.已知坐标平面上的两点 A(﹣1,0)和 B(1,0) ,动点 P 到 A、B 两点距离之和为常数 2,则动点 P 的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段 考点: 椭圆的定义。 专题: 转化思想。 分析: 计算出 A、B 两点的距离结合题中动点 P 到 A、B 两点距离之和为常数 2,由椭圆的定义进而得到动点 P 的 轨迹是线段. 解答: 解:由题意可得:A(﹣1,0) 、B(1,0)两点之间的距离为 2, 又因为动点 P 到 A、B 两点距离之和为常数 2, 所以|AB|=|AP|+|AP|,即动点 P 在线段 AB 上运动, 所以动点 P 的轨迹是线段. 故选 D. 点评: 解决此类问题的轨迹收视率掌握椭圆的定义,以及椭圆定义运用的条件|AB|<|AP|+|AP|,A、B 为两个定点, P 为动点.
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5.椭圆 A.10 考点: 专题: 分析: 解答:

上一动点 P 到两焦点距离之和为( B.8

) C .6 D.不确定

椭圆的定义。 计算题。 由于点 P 在椭圆上,故其到两焦点距离之和为 2a,从而得解. 解:根据椭圆的定义,可知动点 P 到两焦点距离之和为 2a=8, 故选 B. 点评: 本题主要考查椭圆定义的运用,属于基础题.
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6.已知两点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是( A. B. C. D.



考点: 椭圆的定义。

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专题: 计算题。 分析: 根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,得到 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,得到点 P 在以 F1,F2 为焦点 的椭圆上,已知 a,c 的值,做出 b 的值,写出椭圆的方程. 解答: 解:∵F1(﹣1,0) 、F2(1,0) , ∴|F1F2|=2, ∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, ∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, 即|PF1|+|PF2|=4, ∴点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆上, ∵2a=4,a=2 c=1 ∴b =3, ∴椭圆的方程是 故选 C. 点评: 本题考查椭圆的方程,解题的关键是看清点所满足的条件,本题是用定义法来求得轨迹,还有直接法和相 关点法可以应用.
2

7.已知 F1、F2 是椭圆 A.16

=1 的两焦点,经点 F2 的直线交椭圆于点 A、B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|等于( B.11 C .8 D.3



考点: 椭圆的定义。 专题: 计算题。 分析: 根据 A,B 两点是椭圆上的两点,写出这两点与椭圆的焦点连线的线段之和等于 4 倍的 a,根据 AB 的长度 写出要求的结果. 解答: 解:∵直线交椭圆于点 A、B,
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∴由椭圆的定义可知:|AF1|+|BF1|+|AB|=4a, ∴|AF1|+|BF1|=16﹣5=11, 故选 B 点评: 本题考查椭圆的定义,是一个基础题,这里出现的三角形是一种特殊的三角形,叫焦三角形,它的周长是 一个定值二倍的长轴长.

8.设集合 A={1,2,3,4,5},a,b∈A,则方程 A.5 个 考点: 专题: 分析: 解答: B.10 个

表示焦点位于 y 轴上的椭圆( C.20 个 D.25 个



椭圆的定义。 计算题。 根据 a<b,对 A 中元素进行分析可得到答案. 解:焦点位于 y 轴上的椭圆则,a<b, 当 b=2 时,a=1; 当 b=3 时,a=1,2; 当 b=4 时,a=1,2,3; 当 b=5 时,a=1,2,3,4; 共 10 个
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故选 B. 点评: 本题主要考查椭圆的标准形式,此题的关键是根据条件得出 a<b.属基础题. 9.方程 A. B. =10,化简的结果是( C. ) D.

考点: 专题: 分析: 解答:

椭圆的定义。 计算题;转化思想。 首先对等式进行化简,进而由椭圆的定义得到点 P 的轨迹是椭圆,再计算出 a,b,c 即可得到答案. 解:根据两点间的距离公式可得:
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表示点 P(x,y)与点 F1(2,0)的距离, (﹣2,0)的距离, 所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10, 因为|F1F2|=2<10, 所以由椭圆的定义可得:点 P 的轨迹是椭圆,并且 a=5,c=2, 所以 b =21. 所以椭圆的方程为: 故选 D. .
2

表示点 P(x,y)与点 F2

点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的定义,以及掌握形成椭圆的条件是|PF1|+|PF2|>|F1F2|. 10.平面内有一长度为 2 的线段 AB 和一动点 P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( ) A.[1,4] B.[2,6] C.[3,5] D.[3,6] 考点: 椭圆的定义;椭圆的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 根据|PA|+|PB|=8,利用椭圆的定义,可知动点 P 的轨迹是以 A,B 为左,右焦点,定长 2a=8 的椭圆,利用 P 为椭圆长轴端点时,|PA|分别取最大,最小值,即可求出|PA|的最大值和最小值. 解答: 解:动点 P 的轨迹是以 A,B 为左,右焦点,定长 2a=8 的椭圆 ∵2c=2,∴c=1, ∴2a=8,∴a=4 ∵P 为椭圆长轴端点时,|PA|分别取最大,最小值 ∴|PA|≥a﹣c=4﹣1=3,|PA|≤a+c=4+1=5 ∴|PA|的取值范围是:3≤|PA|≤5 故选 C. 点评: 本题的考点是椭圆的定义,考查椭圆定义的运用,解题的关键是理解椭圆的定义.
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11.设定点 F1(0,﹣3) ,F2(0,3) ,满足条件|PF1|+|PF2|=6,则动点 P 的轨迹是( A.椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段或不存在 D.不存在



考点: 椭圆的定义。 专题: 计算题。 分析: 根据题意可得|PF1|+|PF2|=6,由于|F1F2|=6,所以可得点 P 在线段 F1F2 上运动,进而得到答案.
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解答: 解:由题意可得:动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=6, 又因为|F1F2|=6, 所以点 P 的轨迹是线段 F1F2. 故选 B. 点评: 本题考查椭圆的定义,在判断是否是椭圆时要注意前提条件.考查计算能力. 12.已知△ ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,﹣4) ,C (0,4) ,则顶点 A 的轨迹方程是( A. B. (x≠0) C. (x≠0) D. (x≠0) (x≠0) )

考点: 椭圆的定义。 专题: 计算题。 分析: 根据三角形的周长和定点,得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值,得到点 A 的轨迹是椭圆,椭圆的焦 点在 y 轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点. 解答: 解:∵△ABC 的周长为 20,顶点 B (0,﹣4) ,C (0,4) , ∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12, ∵12>8 ∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值, ∴点 A 的轨迹是椭圆, ∵a=6,c=4 2 ∴b =20,
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∴椭圆的方程是 故选 B. 点评: 本题考查椭圆的定义,注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小,看能不能构成椭圆,本题是一个易错题, 容易忽略掉不合题意的点.

13.已知 P 是椭圆 A.

上的一点,则 P 到一条准线的距离与 P 到相应焦点的距离之比为( B. C. D.



考点: 椭圆的定义。 专题: 计算题。 分析: 先根据椭圆的方程可知 a 和 b,进而求得 c,则椭圆的离心率可得.最后根据椭圆的第二定义可知 P 到焦点 的距离与 P 到一条准线的距离之比为离心率,求得答案. 解答: 解:根据椭圆方程可知 a=4,b=3,c= =
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∴e= = 由椭圆的定义可知 P 到焦点的距离与 P 到一条准线的距离之比为离心率 故 P 到一条准线的距离与 P 到相应焦点的距离之比为 =

故选 D. 点评: 本题主要考查了椭圆的第二定义的应用.考查了考生对椭圆的基础知识的理解和灵活运用.属基础题. 14.平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点 P 的轨迹是以 A.B 为焦点 的椭圆”,那么( ) A.甲是乙成立的充分不必要条件 B. 甲是乙成立的必要不充分条件 C. 甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件 考点: 椭圆的定义。 专题: 阅读型。 分析: 当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时,再加上这个和大于两个定点之间的距离,可以得到动点的轨 迹是椭圆,没有加上的条件不一定推出,而点 P 的轨迹是以 A.B 为焦点的椭圆,一定能够推出|PA|+|PB| 是定值. 解答: 解:命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”, 命题乙是:“点 P 的轨迹是以 A.B 为焦点的椭圆 ∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时, 再加上这个和大于两个定点之间的距离, 可以得到动点的轨迹是椭圆,没有加上的条件不一定推出, 而点 P 的轨迹是以 A.B 为焦点的椭圆,一定能够推出|PA|+|PB|是定值, ∴甲是乙成立的必要不充分条件 故选 B. 点评: 本题考查椭圆的定义,解题的关键是注意在椭圆的定义中,一定要注意两个定点之间的距离小于两个距离 之和.
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15.如果方程 A.3<m<4

表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( B. C.

) D.

考点: 椭圆的定义。 专题: 计算题。 分析: 进而根据焦点在 y 轴推断出 4﹣m>0,m﹣3>0 并且 m﹣3>4﹣m,求得 m 的范围. 解答: 解:由题意可得:方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆,
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所以 4﹣m>0,m﹣3>0 并且 m﹣3>4﹣m, 解得: .

故选 D. 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程,解题时注意看焦点在 x 轴还是在 y 轴. 16.“mn>0”是“mx +ny =mn 为椭圆”的( A.必要不充分 C. 充要
2 2

)条件. B. 充分不必要 D.既不充分又不必要

考点: 椭圆的定义;必要条件、充分条件与充要条件的判断。 专题: 计算题。 分析: 先看 mn>0 时,当 n<0,m<0 时方程不是椭圆的方程判断出条件的非充分性;再看当 mx2+ny2=mn 为椭
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圆时利用椭圆的定义可知 m>0,n>0,从而可知 mn>0 成立,判断出条件的必要性. 解答: 解:当 mn>0 时.方程 mx +ny =mn 可化为 是“mx +ny =mn 为椭圆”的不充分条件; 当 mx +ny =mn 为椭圆时,方程可化为
2 2 2 2 2 2 2 2

=1,当 n<0,m<0 时方程不是椭圆的方程,故“mn>0”

=1,则 m>0,n>0,故 mn>0 成立,

综合可知“mn>0”是“mx +ny =mn 为椭圆”的必要不充分条件. 故选 A 点评: 本题主要考查了椭圆的定义,必要条件,充分条件与充要条件的判断.考查了学生分析推理能力和分类讨 论的思想.

17.已知动点 P(x、y)满足 10 A.椭圆 B.双曲线

=|3x+4y+2|,则动点 P 的轨迹是( C.抛物线



D.无法确定

考点: 椭圆的定义;圆锥曲线的共同特征。 专题: 数形结合。 分析: 将动点 M 的方程进行等价转化,即

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,等式左边为点 M 到定

点的距离,等式右边为点 M 到定直线的距离的 ,由椭圆定义即可判断 M 点的轨迹曲线为椭圆. 解答: 解:∵10 =|3x+4y+2|, ,即 ,

其几何意义为点 M(x,y)到定点(1,2)的距离等于到定直线 3x+4y+2=0 的距离的 , 由椭圆的定义,点 M 的轨迹为以(1,2)为焦点,以直线 3x+4y+2=0 为准线的椭圆, 故选 A. 点评: 本题考察了椭圆的定义,解题时要能从形式上辨别两点间的距离公式和点到直线的距离公式.

18.已知 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,若点 C(x,y)满足 A.6 考点: 椭圆的定义。 专题: 计算题;证明题。 分析:
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=( C .2 D.与 x,y 取值有关



B.4

将点 C(x,y)满足的方程两边平方,得 4(x﹣1) +4y =(x﹣4) ,整理得: 轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆,满足 a =4,b =3,得 c= 根据椭圆的定义,得|AC|+|BC|= 2a=4.因此得到正确选项. 解答: 解:∵点 C(x,y)满足
2 2 2 2 2

2

2

2

.可得点 C 的

.可知点 A、B 恰好此椭圆的左右焦点,


2 2

∴两边平方,得 4(x﹣1) +4y =(x﹣4) ,整理得:3x +4y =12.

∴点 C(x,y)满足的方程可化为:


2 2

所以点 C 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆,满足 a =4,b =3,得 c=



因此该椭圆的焦点坐标为 A(﹣1,0) ,B(1,0) , 根据椭圆的定义,得|AC|+|BC|=2a=4. 故选 B 点评: 本题给出一个含有根式和绝对值的方程,将其化简得到圆锥曲线的标准方程,从而得到距离和为定值.着 重考查了椭圆的定义和曲线与方程的知识,属于基础题.

19.在椭圆 ( A. ) B.

中,F1,F2 分别是其左右焦点,若|PF1|=2|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是

C.

D.

考点: 椭圆的定义;椭圆的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 先根据椭圆的定义求得|PF1|+|PF2|=2a,进而根据|PF1|=2|PF2|求得|PF2|利用椭圆的几何性质可知|PF2|≥a﹣c, 求得 a 和 c 的不等式关系,进而求得 e 的范围,最后根据 e<1,综合可求得椭圆离心率的取值范围. 解答: 解:根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,将设|PF1|=2|PF2|代入得 ,
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根据椭圆的几何性质,|PF2|≥a﹣c,故 ,故 ,即 ,又 e<1, .

,即 a≤3c

故该椭圆离心率的取值范围是

故选 B. 点评: 本题主要考查了椭圆的定义,考查了学生对基础知识的理解和掌握. 二.填空题(共 7 小题) 20.方程 + =1 表示椭圆,则 k 的取值范围是 k>3 .

考点: 椭圆的定义。 专题: 计算题。 分析:

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根据题意,方程

+

=1 表示椭圆,则

,解可得答案.

解答: 解:方程 + =1 表示椭圆,





解可得 k>3, 故答案]为 k>3. 点评: 本题考查椭圆的标准方程,注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同.

21.已知 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,点 C(x,y)满足:

,则|AC|+|BC|=

4 .

考点: 椭圆的定义。 分析: 由题意得

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,即点 C(x,y)到点 B(1,0)的距离比上到 x=4 的距离,等于常数



点 C(x,y)在以点 B 为焦点,以直线 x=4 为准线的椭圆上,求出 a 值,利用|AC|+|BC|=2a 求出它的值. 解答: 解:由条件 ,可得 , ,按照椭圆的第二定义,

即点 C(x,y)到点 B(1,0)的距离比上到 x=4 的距离,等于常数

点 C(x,y)在以点 B 为焦点,以直线 x=4 为准线的椭圆上,故 c=1, = ,∴a=2, |AC|+|BC|=2a=4, 故答案为:4. 点评: 本题考查椭圆的第二定义,以及椭圆的简单性质.

22.设 P 是椭圆

上的点.若 F1、F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1+PF2=

10 .

考点: 椭圆的定义。 专题: 计算题。 分析: 先确定椭圆中 2a=10,再根据椭圆的定义,可得 PF1+PF2=2a=10,故可解. 解答:
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解:椭圆

中 a =25,a=5,2a=10

2

∵P 是椭圆

上的点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,

∴根据椭圆的定义,PF1+PF2=2a=10 故答案为:10 点评: 本题以椭圆的标准方程为载体,考查椭圆的定义,属于基础题.

23.若 k∈Z,则椭圆

的离心率是



考点: 椭圆的定义;椭圆的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 先根据椭圆方程中分母均大于 0 且二者不相等求得 k 的范围,进而根据 k 是整数求得 k 的值代入,即可求 得 a 和 c,椭圆的离心率可得. 解答:
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解:依题意可知

解得﹣1<k<

且 k≠ 1

∵k∈Z, ∴k=0 ∴a= ,c= = ,e= =

故答案为 点评: 本题主要考查了椭圆的定义和求椭圆的离心率问题.属基础题.

24.P 为椭圆 是 [7,13] .

=1 上一点,M、N 分别是圆(x+3) +y =4 和(x﹣3) +y =1 上的点,则|PM|+|PN|的取值范围

2

2

2

2

考点: 椭圆的定义。 专题: 计算题。 分析: 由题设知椭圆

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+

=1 的焦点分别是两圆(x+2) +y =1 和(x﹣2) +y =1 的圆心,由此能求出|PM|+|PN|

2

2

2

2

的最小值、最大值. 解答: 解:依题意,椭圆 的焦点分别是两圆(x+3) +y =4 和(x﹣3) +y =1 的圆心,
2 2 2 2

所以(|PM|+|PN|)max=2×5+3=13, (|PM|+|PN|)min=2×5﹣3=7, 则|PM|+|PN|的取值范围是[7,13] 故答案为:[7,13]. 点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.

25.在椭圆

+

=1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标是



考点: 椭圆的定义。 分析:

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利用椭圆第二定义.若在椭圆

+

=1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则该点到左准线

的距离是它到右准线距离的二倍. 解答: 解:由椭圆 + =1 易得

椭圆的左准线方程为:x=

,右准线方程为:x=

∵P 点到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍, 则 P 点到左准线的距离是它到右准线距离的二倍, 即 x+ =2( ﹣x)

解得:x= 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是椭圆的第二定义:平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合(定点 不在定直线上,该常数为小于 1 的正数) (该定点为椭圆的焦点,该直线称为椭圆的准线) .故它到左焦点 的距离是它到右焦点距离的比,等于该点到左准线的距离是它到右准线距离的比. 26.已知⊙Q: (x﹣1) +y =16,动⊙M 过定点 P(﹣1,0)且与⊙Q 相切,则 M 点的轨迹方程是: =1 .
2 2

考点: 椭圆的定义;轨迹方程。 专题: 计算题;数形结合。 分析: 根据 P(﹣1,0)在⊙Q 内,可判断出⊙M 与⊙Q 内切,设⊙M 的半径是为 r,则可表示出|MQ|,进而根据 ⊙M 过点 P,求得|MP|=r,利用|MQ|=4|MP|,根据椭圆的定义可知其轨迹为椭圆,且焦点和长轴可知,进而 求得椭圆方程中的 b,则椭圆方程可得. 解答: 解:P(﹣1,0)在⊙Q 内,故⊙M 与⊙Q 内切,记:M(x,y) , ⊙M 的半径是为 r,则:|MQ|=4﹣r,又⊙M 过点 P, ∴|MP|=r, ∴|MQ|=4﹣|MP|,即|MQ|+|MP|=4, 可见 M 点的轨迹是以 P、Q 为焦点(c=1)的椭圆,a=2.
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∴b=

=

∴椭圆方程为:

=1

故答案为:

=1

点评: 本题主要考查了椭圆的定义.考查了学生对数形结合思想的运用和对椭圆基础知识的掌握. 三.解答题(共 4 小题) 27.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 (1)求 f(1)的值 (2)判断 f(x)的单调性 (3)若 f(3)=﹣1,解不等式 f(|x|)<2 考点: 抽象函数及其应用。 分析: (1)令 x1=x2 代入可得 f(1)=0
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,且当 x>1 时 f(x)<0.

(2)设 x1>x2>0





,代入即可得证.

(3)先根据 f(3)=﹣1 将 2 化为 f( ) ,进而由函数的单调性解不等式. 解答: 解: (1)令 x1=x2 得 f(1)=0 (2)设 x1>x2>0 则 , ∴

所以 f(x)在(0,+∞)为减函数; (3)∵f(1)=0,f(3)=﹣1∴ ∴ ∴ 所以原不等式的解集为 ,或 .

点评: 本题主要考查抽象函数求值和单调性的问题.根据函数单调性解不等式是考查的重点. 28.已知对任意 x.y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)﹣t(t 为常数)并且当 x>0 时,f(x)<t (1)求证:f(x)是 R 上的减函数; (2)若 f(4)=﹣t﹣4,解关于 m 的不等式 f(m ﹣m)+2>0. 考点: 抽象函数及其应用。 专题: 计算题;证明题。 分析: (1)设出两个自变量,将一个自变量用另一个自变量表示,利用已知条件,比较出两个函数值的大小,利 用函数单调性的定义得证. (2)将自变量 4 用 2+2 表示,利用已知条件求出 f(2)值,将不等式中的﹣2 用 f(2)代替,利用函数的 单调性将不等式中的法则脱去,解二次不等式求出 m 的范围. 解答: 解: (1)证明:设 x1<x2 则 f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1+x1)﹣f(x1)=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣t﹣f(x1)=f(x2﹣x1)﹣t ∵x2﹣x1>0 ∴f(x2﹣x1)<t ∴f(x2)<f(x1) ∴f(x)是 R 上的减函数 (2)f(4)=f(2)+f(2)﹣t=﹣4﹣t ∴f(2)=﹣2 2 由 f(m ﹣m)>﹣2=f(2) 2 得 m ﹣m<2 解之得:原不等式解集为{m|﹣1<m<2} 点评: 本题考查证明抽象不等式的单调性唯一用的方法是单调性的定义;利用单调性解抽象不等式,先想法将不 等式变为 f(m)>f(n)形式.
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2

29.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,对任意 x、x′∈R 均有 f(x+x′)=f(x)+f(x′) ,且对任意 x>0,都有 f(x) <0,f(3)=﹣3. (1)试证明:函数 y=f(x)是 R 上的单调减函数; (2)试证明:函数 y=f(x)是奇函数;

(3)试求函数 y=f(x)在[m,n](m、n∈Z,且 mn<0)上的值域. 考点: 抽象函数及其应用。 分析: (1)可根据函数单调性的定义进行论证,考虑证明过程中如何利用题设条件.
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(2)可根据函数奇偶性的定义进行证明,应由条件先得到 f(0)=0 后,再利用条件 f(x1+x2)=f(x1)+f (x2)中 x1、x2 的任意性,可使结论得证. (3)由(1)的结论可知 f(m) 、f(n)分别是函数 y=f(x)在[m、n]上的最大值与最小值,故求出 f(m) 与 f(n)就可得所求值域. 解答: (1)证明:任取 x1、x2∈R,且 x1<x2,f(x2)=f[x1+(x2﹣x1)], 于是由题设条件 f(x+x′)=f(x)+f(x′)可知 f(x2)=f(x1)+f(x2﹣x1) . ∵x2>x1,∴x2﹣x1>0.∴f(x2﹣x1)<0. ∴f(x2)=f(x1)+f(x2﹣x1)<f(x1) . 故函数 y=f(x)是单调减函数. (2)证明:∵对任意 x、x′∈R 均有 f(x+x′)=f(x)+f(x′) , ∴若令 x=x′=0,则 f(0)=f(0)+f(0) . ∴f(0)=0. 再令 x′=﹣x,则可得 f(0)=f(x)+f(﹣x) . ∵f(0)=0,∴f(﹣x)=﹣f(x) .故 y=f(x)是奇函数. (3)解:由函数 y=f(x)是 R 上的单调减函数, ∴y=f(x)在[m,n]上也为单调减函数. ∴y=f(x)在[m,n]上的最大值为 f(m) ,最小值为 f(n) . ∴f(n)=f[1+(n﹣1)]=f(1)+f(n﹣1)=2f(1)+f(n﹣2)═nf(1) . 同理,f(m)=mf(1) . ∵f(3)=﹣3,∴f(3)=3f(1)=﹣3. ∴f(1)=﹣1.∴f(m)=﹣m,f(n)=﹣n. 因此,函数 y=f(x)在[m,n]上的值域为[﹣n,﹣m]. 点评: (1)满足题设条件 f(x+x′)=f(x)+f(x′)的函数,只要其定义域是关于原点对称的,它就为奇函数. (2)若将题设条件中的 x>0,均有 f(x)<0 改成均有 f(x)>0,则函数 f(x)就是 R 上的单调增函数. (3)若题设条件中的 m、n∈Z 去掉,则我们就无法求出 f(m)与 f(n)的值,故 m、n∈Z 不可少. 30.已知函数 是奇函数.

(1)求 a 的值; (2)求证 f(x)是 R 上的增函数; (3)求证 xf(x)≥0 恒成立. 考点: 奇偶性与单调性的综合。 分析: (1)由函数

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是奇函数,其定义域为 R,根据定义在 R 上奇函数图象必过

原点,可得 f(0)=0,解方程可求出 a 值; (2)根据(1)的结论化简函数的解析式,并任取 R 上两个实数 x1,x2,且 x1<x2,作差判断 f(x1) ,f(x2) 的大小,进而根据函数单调性的定义得到答案. (3)根据 f(0)=0,f(x)是 R 上的增函数,可得当 x<0 时,f(x)<0,当 x=0 时,f(x)=0,当 x>0 时,f(x)>0,综合讨论结果,可得答案. 解答: 解: (1)∵函数 根据定义在 R 上奇函数图象必过原点 故 解得 a=1; =0 的定义域为 R

证明: (2)由(1)可得 任取 R 上两个实数 x1,x2,且 x1<x2, 则 x1﹣x2<0, 则 f(x1)﹣f(x2)= >0, >0,

=



=

=

=

<0

即 f(x1)<f(x2) ∴f(x)是 R 上的增函数; (3)由(1) (2)得, 当 x<0 时,f(x)<0,此时 xf(x)>0 当 x=0 时,f(x)=0,此时 xf(x)=0 当 x>0 时,f(x)>0,此时 xf(x)>0 故 xf(x)≥0 恒成立 点评: 本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合,熟练掌握函数奇偶性的性质及单调性的证明方法步骤是解答 本题的关键.



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