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山东省潍坊市2015届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题_图文

高三数学(文)
2015.5 本试卷共 5 页,分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题

共 50 分)

注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填 写在规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位,复数 A.2 B. ?2

2 ? 2i ? 1? i
C.2i D. ? 2i

2.已知集合 A ? x y ? ln x ? x
2

?

?

?? , B ? ?x x

2

? 9 ? 0?,则A ? B ?
C.

A.

0? ??13 , ??3, ?

B.

0? ? ?13 , ??3, ?

1? ? 0,

D.

3? ??3,

3.在 ?ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c, 若a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A, 则cos A 的 值为 A.

6 3

B.

2 6 3

C.

6 6

D.

6 8

4. 设 a ? 0且a ? 1 . 则 “ 函 数 f ? x ? ? loga x是? 0, ? ?? 上 的 增 函 数 ” 是 “ 函 数

g ? x ? ? ?1 ? a ? ? a x ”是 R 上的减函数的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.一个几何体的三视图如图所示,其中左视图为直角三 角形,则该几何体的体积为 A. 16 2 B.

4 2 3 16 2 3

C.

8 2 3

D.

6.运行如图所示的程序框图,若输出的 S 是 254,则①处应为 A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8

7.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? cos x, 则f ? ? , f ? ? , f ? ? ? 的大 小关系是 A. f ? ? ? ? f ? ? ? f ? ?

?3? ?4?

?2? ?3?

? 1? ? 2?

? 1? ? 2?

?3? ? 4?

? 2? ? 3?

B. f ? ? ? ? f ? ? ? f ? ?

? 1? ? 2? ?2? ?3?

?2? ? 3?

? 3? ? 4? ? 3? ? 4?

C. f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ?

?3? ?4?

?2? ?3?

? 1? ? 2?

D. f ? ? ? f ? ? ? ? f ? ?

? 1? ? 2?

2 x 8.当 a ? 0 时,函数 f ? x ? ? x ? 2ax e 的图象大致是

?

?

9.已知抛物线 C1 : y 2 ? 2x 的焦点 F 是双曲线 C2 : 两条曲线的一个交点为 M,若 MF ?

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个顶点, a 2 b2

3 ,则双曲线 C2 的离心率是 2
D.

A.

2

B.

17 3

C.

2 6 3

33 3

10.已知函数 f ? x ? 和 g ? x ? 是两个定义在区间 M 上的函数,若对任意的 x ? M ,存在常 数 x0 ? M ,使得 f ? x ? ? f ? x0 ? , g ? x ? ? g ? x0 ?,且f ? x0 ? ? g ? x0 ? ,则称函数 f ? x ? 和

g ? x ? 在区间 M 上是“相似函数”.若 f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? ? b与g ? x ? ? x 3 ? 3x 2 ? 8 在

?5 ? ?5 ? ,则函数 f ? x ? 在区间 ? ,3? 上的最大值为 ,3? 上是“相似函数” ? ?4 ? ?4 ?
A.4 B.5 C.6

9 2 第 II 卷(非选择题
D.

共 100 分)

注意事项: 将第 II 卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在区间 ? ?3,3? 上随机取一个数 x,使得

3? x ? 0 成立的概率为_________. x ?1
2 2

12.已知圆 C 的圆心是直线 x ? y ? 1 ? 0与x 轴的交点, 且圆 C 与圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 8 相外切,则圆 C 的方程为__________.

?x ? 0 ?y ? 0 ? 13.已知 x, y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z ? x ? my ? m ? 0? 取得最大值时 ?x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ? 4 ? 0
最优解有无数个,则 m 的值为___________. 14.已知数列 ?an ? 是等差数列,Sn .是它的前 n 项和,则数列 ?

? Sn ? ? 是等差数列.由此类比: ?n?

数列 ?bn ? 是各项为正数的等比数列,Tn 是它的前 n 项积, 则数列 ?_______? 为等比数列 (写出一个正确的结论). 15. 已 知 函 数 f ? x ? 对 任 意 x ? R 满 足 f ? x ?1? ? f ? x ?1?,且f ? x ? 是 偶 函 数 , 当

x ?? ?1,0? 时, f ? x ? ? ?x2 ?1 ,若方程 f ? x ? ? a x 至少有 4 个相异实根,则实数 a 的
取值范围是___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 如右图,茎叶图记录了某校甲班 3 名同学在一学年中去社会实 践基地 A 实践的次数和乙班 4 名同学在同一学年中去社会实践 基地 B 实践的次数.乙班记录中有一个数据模糊,无法确认,在 图中用 x 表示. (I)如果 x ? 7 ,求乙班 4 名同学实践基地 B 实践次数的中位数和方差; (II)如果 x ? 9 ,从实践次数大于 8 的同学中任选两名同学,求选出的两名同学分别在

甲、乙两个班级且实践次数的和大于 20 的概率.

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x

?

3 cos ? x ? sin ? x ? x ? R ? 的图象的一条对称轴为 x ? ? ,

?

其中 ? 为常数,且 ? ? ? ,1? . (I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II)在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c, 若f?

?1 ? ?3 ?

?6 ? A ? ? 3, b ? c ? 3 ,求 a 的最小值. ?5 ?

18. (本小题满分 12 分) 如右图,斜三棱柱 ABC ? A 中,A1B1 ? AC 1B 1C1 1 1 , 点 E,F 分别是 B 1C1, A 1B 1的中点,

AA1 ? AB ? BE ? 1, ?A1 AB ? 60 .
(I)求证: AC1 / / 平面 A 1BE ; (II)求证: BF ? 平面 A1B1C1 .

19. (本小题满分 12 分)
? 若? a 已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ?log 2 b n n ?N . n? 为等差数

?

?

列,且 a1 ? 2, b3 ? 64b2 . (I)求 an与bn ; (II)设 cn ? ? an ? n ? 1? ? 2
an ?2

,求数列?cn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 6 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 O 为坐 a b 3
标原点, 椭圆 C 与曲线 y ? x 的交点分别为 A,B (A 在第四象限) , 且 OB ? AB ?

uuu r uuu r

3 . 2

(I)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 (II)定义:以原点 O 为圆心, a ? b 为半径的圆称为椭圆 2 ? 2 ? 1 的“伴随圆”. a b
2 2

若直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,交其“伴随圆”于 P,Q 两点,且以 MN 为直径的圆过原 点 O,证明: PQ 为定值.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? x ? 1? ,g ? x ? ? a ln x, 其中 a ? R .
2

(I)若曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 在x ? 2 处的切线互相垂直,求实数 a 的值; (II)记 F ? x ? ? f ? x ?1? ? g ? x ? ,讨论函数 F ? x ? 的单调性; (III)设函数 G ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 两个极值点分别为 x1 , x2,且x1 ? x2 , 求证: G ? x2 ? ?

1 1 ? ln 2 . 4 2



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