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2019高中数学 2.1第15课时 指数函数及其性质的应用课时作业 新人教A版必修1



课时作业(十五)

指数函数及其性质的应用

A 组 基础巩固 1 1 ? ?a ? ?b 1.已知? ? >? ? ,则 a,b 的大小关系是( ) ?π ? ?π ? A.1>a>b>0 B.a<b C.a>b D.1>b>a>0 1 ? 1 ?x ? 1 ?a ? 1 ?b 解析:∵0< <1,故 y=? ? 在 R 上是减函数,又? ? >? ? ,故 a<b. π π ? ? ? π ? ?π ? 答案:B 天津高一检测 已知 f(x)=3x-b(2≤x≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1), 2. 则 f(x)的值域是( ) A.[9,81] B.[3,9] C.[1,9] D.[1,+∞) 2-b 解析:由题意可知 f(2)=1,即 3 =1,解得 b=2. x-2 ∴f(x)=3 . 又 2≤x≤4,故 0≤x-2≤2,∴f(x)∈[1,9],故 f(x)的值域为[1,9]. 答案:C ?1? x 2 3.不等式 2 >? ?x-x 的解集为( ) ?2? A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(-∞,0)∪(0,+∞) C.(0,2) D.[0,2] ?1? 2 2 x 解析:∵? ?x-x =2x -x 且 y=2 在 R 上单调递增, ?2? 2 2 ∴原不等式转化为 x>x -x 即 x -2x<0, ∴解集为(0,2). 答案:C 天水高一检测 函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 4.

a
2

,则 a=( A.

)

1 3 B. 2 2 1 3 1 2 C. 或 D. 或 2 2 2 3 解析:(1)若 a>1,则 f(x)在[1,2]上是增函数, ∴f(x)在[1,2]上的最大值为 f(2),最小值为 f(1). a a 3 2 ∴f(2)-f(1)= ,即 a -a= ,解得 a= . 2 2 2 (2)若 0<a<1,则 f(x)在[1,2]上是减函数, ∴f(x)在[1,2]上的最大值为 f(1),最小值为 f(2), ∴f(1)-f(2)= ,即 a-a = , 2 2 1 解得 a= . 2 1 3 综上所述,a= 或 a= . 2 2 答案:C -x 5.若不等式 2 +a+1>0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

a

2

a

)

A.a<-1 B.a≤-1 C.a>-1 D.a≥-1

?1?x ?1?x 解析:原不等式可化为? ? >-a-1,由于? ? >0,所以要使原不等式对 x∈R 恒成立, 2 ? ? ?2? 只需-a-1≤0,即 a≥-1. 答案:D -|x| 6.设函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1),f(2)=4,则( ) A.f(-1)>f(-2) B.f(1)>f(2) C.f(2)<f(-2) D.f(-3)>f(-2) -2 解析:由 f(2)=4 得 a =4, 又∵a>0, 1 |x| ∴a= ,f(x)=2 , 2 ∴函数 f(x)为偶函数,在(-∞,0)上单调递减, 在(0,+∞)上单调递增,故选 D. 答案:D x 7.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图象如下图所示,则函数 g(x)=a +b 的图象是( )

A

B

C

D

解析: 由函数 f(x)的图象可知 0<a<1, b<-1, 从而函数 g(x)的图象可由函数 y=a (0<a<1) 图象向下平移|b|个单位得到,故选 A.

x

答案:A ?1?x 3x+1 8.若? ? <2 ,则 x 的取值范围是________. ?4? ?1?x -2x 3x+1 解析:∵? ? =2 <2 , ?4? 1 ∴3x+1>-2x,x>- . 5 1 答案:x>- 5 3 9.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的 ,要使存留污垢不超过原来的 1%,则至少 4 要漂洗______次. 1 解析:设原来污垢为 1 个单位,则经过第一次漂洗,存留量为原来的 ;经过第二次漂 4 1 1 ? ?2 ?1? 洗,存留量为第一次漂洗后的 ,也就是原来的? ? ;经过第三次漂洗,存留量为原来的? ? 4 ?4? ?4? 1 1 1 ? ?x ? ?x ? ?x 1 3 ,……,经过第 x 次漂洗,存留量为原来的? ? ,故解析式为 y=? ? ,由题意,? ? ≤ , ?4? ?4? ?4? 100 x x 4 ≥100,2 ≥10, ∴x≥4,即至少漂洗 4 次. 答案:4 ?1? 2 10.已知函数 f(x)=? ?ax -4x+3. ?3? (1)若 a=-1 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)如果函数 f(x)有最大值 3,求实数 a 的值. ?1? 2 解析:(1)当 a=-1 时,f(x)=? ?-x -4x+3 ?3? 2 2 令 g(x)=-x -4x+3=-(x+2) +7, ?1?x ∵g(x)在(-2,+∞)上递减,y=? ? 在 R 上是减函数, ?3? ∴f(x)在(-2,+∞)上是增函数, ∴f(x)的单调递增区间是(-2,+∞). ?1?h(x) 2 (2)令 h(x)=ax -4x+3,f(x)=? ? , ?3? ∵f(x)有最大值 3,∴h(x)应有最小值-1,

a>0, ? ? ∴必有?12a-16 =-1, ? ? 4a

解得 a=1,

即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值为 1. B 组 能力提升 11.

a, x>1 ? ? 商丘高一检测 若函数 f(x)=?? a? ?4- ?x+2,x≤1 ? ?? 2?

x

是 R 上的增函数,

则实数 a 的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)

? a ? 4- >0, 解析:因为 f(x)在 R 上是增函数,故结合图象(图略)知? 2 a ? ?4-2+2≤a,
a>1,
4≤a<8. 答案:D 12. 台州高一检测 已知 a=

解得

5-1 x ,函数 f(x)=a ,若实数 m,n 满足 f(m) 2 >f(n),则 m,n 的大小关系为__________. 5-1 解析:∵0< <1, 2 x ∴f(x)=a 在 R 上是减函数, 又 f(m)>f(n),故 m<n. 答案:m<n 成都高一检测 已知函数 y=a2x+2ax-1(a>0,且 a≠1) ,当 x≥0 时, 13. 求函数 f(x)的值域. 2x x x 解析:y=a +2a -1,令 t=a , 2 2 ∴y=g(t)=t +2t-1=(t+1) -2. 当 a>1 时,∵x≥0,∴t≥1, ∵当 a>1 时,y≥2. 当 0<a<1 时,∵x≥0,∴0<t≤1. ∵g(0)=-1,g(1)=2, ∴当 0<a<1 时,-1<y≤2. 综上所述,当 a>1 时,函数的值域是[2,+∞); 当 0<a<1 时,函数的值域是(-1,2]. 襄阳高一检测 已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x<0 时,f(x)= 14. x 1+2 . (1)求函数 f(x)的解析式. (2)画出函数 f(x)的图象. (3)写出函数 f(x)的单调区间及值域. 解析:(1)因为 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(-0)=-f(0),所以 f(0)=0, x 因为 x<0 时,f(x)=1+2 , -x 设 x>0,则-x<0,∴f(-x)=1+2 , x 又 f(-x)=-f(x),故 f(x)=-1-2 . 1+2 , x<0 ? ? ∴f(x)=?0, x=0, ? ?-1-2x, x>0. (2)f(x)的图象如图所示.
x

(3)根据 f(x)的图象知: f(x)的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞); 值域为{y|1<y<2 或-2<y<-1 或 y=0}.

15. 附加题·选做

b-2x 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)用定义证明 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 2 2 (3)若对于任意 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 解析:(1)∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,b=1. 又 f(-1)=-f(1),得 a=1. (2)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 1-2x1 1-2x2 则 f(x1)-f(x2)= - 2x1+1 2x2+1 -2x1 x2+ - -2x2 x1+ = x1+ x2+ x2-2x1 = . x1+ x2+ ∵x1<x2,∴2x2-2x1>0, 又∵(2x1+1)(2x2+1)>0,∴f(x1)-f(x2)>0 ∴f(x)为 R 上的减函数. 2 2 2 2 (3)∵t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,∴f(t -2t)<-f(2t -k) 2 2 ∵f(x)是奇函数,∴f(t -2t)<f(k-2t ). ∵f(x)为减函数, 2 2 2 ∴t -2t>k-2t ,即 k<3t -2t 恒成立,
1 ? 1?2 1 2 又∵3t -2t=3?t- ? - ≥- , 3 ? 3? 3 1 ∴k<- . 3



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