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泉州市2014届普通中学高中毕业班质量检查文科数学_图文

泉州市 2014 届普通中学高中毕业班质量检测 文科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考 生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如 果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.A 7.D 2.C 8.B 3.A 9.A 4.C 10.B 5.B 11.D 6.C 12.C

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13. 2i 14.2 15.5 16. ?

4 3 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数 与方程思想、转化与化归思想等. 满分 12 分. 解:(Ⅰ)因为数列 ?an ? 是等差数列,所以 a3 ? a1 ? 2d , a7 ? a1 ? 6d . ………2 分

因为 a1 , a3 , a7 成等比,所以 a32 ? a1a7 ,

…………4 分

(a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 6d ) ,即 2d (a1 ? 2d ) ? 0 .
因为 d ? 0 ,所以 a1 ? 2d ? 0 . 又因为 a1 ? 2 ,所以 d ? 1 , 所以 an ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ?
…………5 分 …………6 分 …………9 分

1 1 1 , ? ? (n ? 1)( n ? 2) n ? 1 n ? 2

所以 Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (
? 1 1 n ? ? . 2 n ? 2 2(n ? 2)

1 2

1 3

1 3

1 4

1 1 ? ) n ?1 n ? 2

…………12 分

18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,圆锥曲线的性质及柱体体积等基础知 识,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程 思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)连结 DO , 依题意,可得 O1 D / / BO 且 O1 D ? BO , ∴四边形 O1 BOD 为平行四边形 , ∴ O1 B / / DO , …………2 分
A O1 D

……………………3 分
P B O Q C

又∵ O1 B ? 平面DPQ, DO ? 平面DPQ , ∴ O1 B / / 平面 DPQ . ……………5 分

(Ⅱ)设椭圆的长半轴长为 a ,短半轴长为 b ,半焦距为 c ,

? 椭圆的离心率等于
∵a ? b ?c ? b ?
2 2 2 2

3 c 3 ,所以 ? , 2 a 2

……………………6 分 ……………………7 分 ……………………8 分

3 2 a , 4

?

b 1 ? , a 2
OQ 1 ? , OD 2

又? a ? OD , b ? OQ , ?

? 直径 PQ ? 2 , ? OC ? OQ ? 1 ,

? OD ? 2 ,

……………………9 分

在 Rt ?DCO 中,可求得母线 DC 长为 3 ,即圆柱 OO1 的高 h ? 3 . …10 分 因此,圆柱 OO1 的体积 V ? Sh ? 3? . …………………12 分

19.本小题主要考查基本事件、古典概型、独立性检验等概率与统计的基础知识,考查数据处理 能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)从 A,B,C,D,E 中任选 2 名有以下 10 种可能,分别为: ( A, B ) , ( A, C ) , ( A, D ) ,

( A, E ) , ( B, C ) , ( B, D ) , ( B, E ) , (C , D ) , (C , E ) , ( D, E ) .………………2 分
从 A, B, C, D, E 中任选 2 名, 其中观众 A 恰好被选中有以下 4 种可能, 分别为:( A, B ) ,

( A, C ) , ( A, D ) , ( A, E ) .
所以从这 5 人中随机抽取 2 人,观众 A 恰好被抽中的概率为

………………3 分

4 2 ? . 10 5

…………5 分

(Ⅱ)由图表可知,最喜欢歌舞类的男性观众共有 50 人,女性观众共有 150 人,且女性观众的 150 人占女性观众总人数的 25% ,故女性观众总人数为 600 人,从而男性观众总人数为 400 人.根据这些信息可完成 2 ? 2 列联表的如下填写: 最喜欢歌 舞类节目 男 女 合计 50 150 200 不是最喜欢 歌舞类节目 350 450 800 合计 400 600 1000

…………………………………………8 分 假设是否最喜欢歌舞类节目和性别无关, 因为 K 的观测值 k ?
2

1000(50 ? 450 ? 150 ? 350) 2 ? 23.44 ? 10.828 ,…………10 分 200 ? 800 ? 400 ? 600
……………………………12 分

所以通过查阅临界值表可知,有 99.9% 以上的把握认为:是否最喜欢歌舞类节目与性别 有关.

20.本小题主要考查三角函数、三角恒等变形、解三角形、不等式等基础知识,考查运算求解能 力、推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想等. 满分 12 分. 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由余弦定理得:

AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos ?ACB ? AB 2 .
因为 ?MCN ?
2 2

…………2 分

2 ? , AB ? 3 , AC ? x , BC ? y , 3
…………………3 分

所以 x ? y ? xy ? 3(0 ? x, y ? 3) .

(Ⅱ)在 ?ABC 中,由正弦定理得:

AC BC AB , ? ? sin ?ABC sin ?BAC sin ?ACB
所以,

………4 分

AC ? sin ?

BC 3 ? ? 2, ? ? ? sin 2? sin ? ? ? ? 3 ?3 ?

所以 AC ? 2sin ? , BC ? 2sin ? 因为 ?ABC 的面积 f ? ? ? ? 所以 f ? ? ? ?

?? ? ? ?? . ?3 ?
………………5 分

1 AC ? BC sin ?ACB , 2

?? ? 3 sin ? ? sin ? ? ? ? ?3 ?

……………6 分

? 3 ? 1 ? 3 sin ? ? ? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? ? ? ?
? 3 2

?

3 sin ? ? cos ? ? sin 2 ?

?

?

3 ? 3 1 1? ?? sin 2? ? cos 2? ? ? ? 2 ? 2 2 2? ?

?

3 ?? 3 ? ? ?? ( ? ? ? 0, ? ). ? sin ? 2? ? ? ? 2 6? 4 ? ? 3?
2 2

…………………8 分

(Ⅲ)选用(Ⅰ)中的结论: x ? y ? xy ? 3 .

?ABC 的面积 S ?
2 2

1 2? 3 xy ? sin ? xy . 4 2 3

……………………………………9 分

因为 x ? y ? xy ? 3 ? 2 xy ? xy ? 3 xy , 所以 xy ? 1 (当且仅当 x ? y 时取等号) ,所以 S ? 当 x ? y 时,由 x ? y ? xy ? 3 解得 x ? y ? 1 .
2 2

3 . 4

……10 分

……11 分

所以当且仅当 x ? y ? 1 时, ?ABC 的面积取得最大值

3 . …………………12 分 4

选用(Ⅱ)中的结论: f ? ? ? ?

3 ?? 3 ? ? ?? ( ? ? ? 0, ? ). ? sin ? 2? ? ? ? 2 6? 4 ? ? 3?
………………………………………………9 分

因为 ? ? ? 0, 所以

? ?

?? ?, 3?

?
6

? 2? ?

?
6

?

所以当 ? ?

? 时, 6

5? , 6

………………………………………………10 分 ………………………………………………11 分

?ABC 的面积取得最大值

3 . 4

……………………………12 分

21.本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能 力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)如图,以线段 F1 F2 所在直线为 x 轴,线段 F1 F2 的中点 O 为原点建立直角坐标系.1 分 设椭圆 ? 的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

…2 分

y

依题意得: 2a ? 4 ,所以 a ? 2 , 又因为 F1 F2 ? 2 , c ? 1 , 所以 b ? 3 ,
2

P

…………3 分
F1 O F2 x

所以 所求轨迹?的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

………4 分

(Ⅱ)因为 P 为椭圆 ? 上满足 PF2 ? F1 F2 的点,所以 P ?1,

3 ? 3? ? , kOP ? . ……5 分 2 ? 2?

假设存在满足题意的直线 l , 则这样的直线 l 必须同时满足下列条件: ①直线 l 与椭圆相交; ②直线 l / / OP ;③ | AB |?| OP | . 由②知直线 l 的斜率 k ? kOP ? 将y?

3 3 ,故可设直线 l 的方程为 y ? x ? m . ………6 分 2 2

3 m2 x ? m 代入 椭圆? 的方程,得 x 2 ? mx ? ? 1 ? 0 . ………………7 分 2 3

由①知 ? ? 4 ?

m2 ? 0 ,得 ?2 3 ? m ? 2 3 . 3

………8 分

设( A x1 , y1),B (x2 , y2) ,由根与系数的关系得: x1 ? x2 ? ? m ,x1 x2 ? m2 ?1 . 3
13 , 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = ? m2 ? 13 13 , m2 ? 4 ? ? 1? ? 2 2 ? 3 ?
…………………………10 分

由③知, | AB |?| OP |?

所以 | AB |? 1 ? ( )

3 2

2

化简得 m ? 4 ?
2

? m2 ? ? 1? ? 1 , m 2 ? 9 ,? m ? ?3 . ? 3 ?

m ? ?3 满足 ?2 3 ? m ? 2 3 即 ? ? 0 的要求.
从上述的解答过程可知,存在方程为 y ?

…………………………11 分

3 x ? 3 的直线 l 能够满足题设要求.……12 分 2

22.本小题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查 化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 14 分. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ax 2 ? x ln x ,所以 f ?( x) ? 2ax ? ln x ? 1 .……………………2 分 因为切线与直线 x ? 3 y ? 0 垂直,所以切线的斜率为 3, 所以 f ?(1) ? 3 ,即 2a ? 1 ? 3 ,故 a ? 1 . …………3 分

…………………………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ? x ln x, x ? (0,??) , f ?( x ) ? 2 x ? ln x ? 1, x ? (0, ??) , 因为 f ?( x ) 在 (0, ??) 上单调递增, 所以当 x ? 1 时,有 f ?( x ) ? f ?(1) ? 3 ? 0 , 所以 f ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增. 因为 n ? m ? 0 , ……6 分 …………5 分

n n ? 1 ,所以 f ( ) ? f (1) ? 1 , ……………………7 分 m m

n 2 n n n n n ) ? ln ? 1 , ln ? 1 ? ( ) 2 , m m m m m m m n 所以 lnn ? lnm ? ? . ……………………………………8 分 n m m n n m n n m n 另法:欲证 lnn ? lnm ? ? ,即证 ln ? ? ,只需证 ln ? ? ? 0 .……5 分 n m m n m m n m 1 令 g ( x) ? ln x ? ? x( x ? 1) , …6 分 x 1 1 则 g ?( x) ? ? 2 ? 1 . x x 1 1 因为 x ? [1, ??) ,所以 g ?( x) ? ? 2 ? 1 ? 0 , x x
即( 故 g ( x ) 在 [1, ??) 上单调递增. 由已知 n ? m ? 0 ,得 所以 g ( …………………………………………………7 分

n ? 1, m

n n m n ) ? g (1) ? 0 ,即证得 ln ? ? ? 0 成立, m m n m
……8 分
2

所以命题得证.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ? x ln x, x ? (0,??) , f ?( x ) ? 2 x ? ln x ? 1, x ? (0, ?? ) . 令 g ( x) ? 2 x ? ln x ? 1, x ? (0,??) ,则 g ?( x) ? 2 ?

1 , x ? (0, ??) . x
……9 分

由 g ?( x ) ? 0 对 x ? (0,??) 恒成立,故 g ( x) 在 (0,??) 上单调递增. 又因为 g (

1 2 2 1 ) ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ,而 g ( ) ? 2 ? ln 2 ? 0 , 2 e e e 2 1 因此存在 x0 ? (0, ) ,使 g ( x 0 ) ? 0 . ……………………10 分 2
因为 g ( x ) 在 (0,??) 上单调递增,所以: 当 x ? (0, x0 ) 时, g ( x ) ? f ?( x ) ? 0 , f ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减; 当 x ? ( x 0 ,??) 时, g ( x ) ? f ?( x ) ? 0 , f ( x) 在 ( x 0 ,??) 上单调递增. 因为 f ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x 0 ,??) 上单调递增, 所以 f ( x) 在 x ? x 0 处取得最小值 f ( x0 ) . 因为 f ( x) ? k 恒成立,所以 k ? f ( x0 ) . ……………………11 分 …………………………12 分

由 g ( x0 ) ? 0 得 2 x0 ? ln x0 ? 1 ? 0 ,所以 ln x0 ? ?1 ? 2 x 0 , 因此 f ( x0 ) ? x0 ? x 0 ln x0 ? x0 ? x0 (?1 ? 2 x 0 ) ? ? x0 ? x0 ? ?( x 0 ? ) ?
2 2 2 2

1 2

1 , 4

又 x0 ? (0, ) ,所以 f ( x0 ) ? (?

1 2

3 ,0) , 4

…………13 分 …………………………14 分

因为 k ? Z ,所以 k 的最大值为 ? 1 .



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