2018-2019学年高中数学(人教B版)必修1课件：3.2 3.2.2 第二课时 对数函数及其性质的应用(习题课)_图文

第二课时 对数函数及其性质的应用(习题课) 比较对数值的大小 比较下列各组数中两个值的大小： [例 1] (1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且 a≠1)． [解](1)考察对数函数 y＝ log2x，因为它的底数 2＞1，所 以它在 (0，＋ ∞)上是增函数，于是 log23.4＜ log28.5. (2)考察对数函数 y＝log0.3x，因为它的底数 0＜ 0.3＜ 1， 所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是 log0.31.8＞ log0.32.7. (3)当 a＞1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数， 于是 loga5.1＜loga5.9； 当 0＜ a＜ 1 时，y＝ logax 在(0，＋∞)上是减函数， 于是 loga5.1＞loga5.9. 比较对数值大小时常用的 4 种方法 (1)同底的利用对数函数的单调性． (2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调 性的影响，对底数进行分类讨论． [活学活用] 比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8； (3)log 1 2 与 log 1 2; 3 5 (2)log0.56，log0.54； (4)log23 与 log54. 解：(1)因为函数 y＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且 6 ＜8，所以 lg 6＜lg 8. (2)因为函数 y＝log0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且 6 ＞4，所以 log0.56＜log 0.54. (3)由于 log 1 2＝ ， log 1 2＝ . 1 1 3 5 log2 log2 3 5 1 1 又∵对数函数 y＝log2x 在(0，＋∞)上是增函数，且 ＞ ， 3 5 1 1 1 1 ∴ 0＞ log2 ＞log2 ，∴ ＜ . 3 5 1 1 log2 log2 3 5 ∴ log 1 2＜log 1 2. 3 5 1 1 (4)取中间值 1， ∵ log23＞log22＝1＝log55＞ log54，∴ log23＞log54. 对数函数的单调性及应用 [典例] 范围． (1)已知 log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求 x 的取值 1 (2)求函数 y＝log (1－x2)的单调增区间，并求函数的 2 最小值． [解] (1)∵函数 y＝ log0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由 log0.7(2x)＜log0.7(x－ 1)， ?2x＞0， ? 得?x－ 1＞ 0， ?2x＞x－ 1， ? 解得 x＞ 1. ∴ x 的取值范围是 (1，＋∞ )． 1 (2)要使 y＝ log (1－ x2)有意义，则 1－ x2＞ 0， 2 ∴ x2＜ 1，则－ 1＜ x＜ 1，因此函数的定义域为(－1,1)． 令 t＝ 1－ x2， x∈ (－ 1,1)． 1 当 x∈ (－ 1,0]时， x 增大，t 增大， y＝ log t 减小， 2 1 ∴ x∈ (－ 1,0]时， y＝ log (1－ x2)是减函数； 2 1 同理当 x∈[0,1)时， y＝log (1－ x2)是增函数． 2 1 故函数 y＝ log (1 － x2)的单调增区间为 [0,1)，且 ymin＝ 2 1 log (1－ 02)＝ 0. 2 1．常见对数不等式的 2 种解法 (1)形如 logax＞ logab 的不等式，借助 y＝ logax 的单调性求 解， 如果 a 的取值不确定， 需分 a＞ 1 与 0＜ a＜ 1 两种情况讨论． (2)形如 logax＞ b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数 式的形式，再借助 y＝logax 的单调性求解． 2．求形如 y＝ logaf(x)的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域； (2)研究函数 t＝ f(x)和函数 y＝ logat 在定义域上的单调性； (3)判断出函数的增减性求出单调区间． [活学活用] 1．函数 y＝log2|x－1|的单调减区间为________． 解析： y＝ log2|x－ 1|的图象是 y＝ log2|x|向右平移 1 个 单位得到，而 y＝ log2|x |的单调减区间为(－ ∞， 0)， ∴ y＝ log2|x－ 1|的单调减区间为 (－∞， 1)． 答案： (－∞， 1) 2．已知 loga(3a－1)恒为正，则 a 的取值范围为________． 解析： 由题意知 loga(3a－ 1)＞ 0＝ loga1. 当 a＞ 1 时， y＝ logax 是增函数， ?3a－ 1＞ 1， ? ∴? ? ?3a－ 1＞ 0， 2 解得 a＞ ， 3 ∴ a＞ 1； 当 0＜ a＜ 1 时， y＝ logax 是减函数， ?3a－ 1＜ 1， ? ∴? ? ?3a－ 1＞ 0， 1 2 解得 ＜ a＜ . 3 3 1 2 ∴ ＜ a＜ . 3 3 ?1 2? 答案：? ， ?∪ (1，＋∞) ?3 3? 对数函数性质的综合应用 [典例] 已知函数 f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其 中(a＞0 且 a≠1)，设 h(x)＝f(x)－g(x)． 求函数 h(x)的定义域，判断 h(x)的奇偶性，并说明理由． [解] ∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}， g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x＜1}， ∴h(x)＝f(x)－ g(x)的定义域为{x|x＞－1}∩{x|x＜1}＝{x| －1＜x＜1}． ∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)， ∴ h( － x) ＝ loga(1 － x) － loga(1 ＋ x) ＝ － [ loga