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2018-2019学年高中数学(人教B版)必修1课件:3.2 3.2.2 第二课时 对数函数及其性质的应用(习题课)_图文

第二课时 对数函数及其性质的应用(习题课) 比较对数值的大小 比较下列各组数中两个值的大小: [例 1] (1)log23.4,log28.5; (2)log0.31.8,log0.32.7; (3)loga5.1,loga5.9(a>0,且 a≠1). [解](1)考察对数函数 y= log2x,因为它的底数 2>1,所 以它在 (0,+ ∞)上是增函数,于是 log23.4< log28.5. (2)考察对数函数 y=log0.3x,因为它的底数 0< 0.3< 1, 所以它在(0,+∞)上是减函数,于是 log0.31.8> log0.32.7. (3)当 a>1 时,y=logax 在(0,+∞)上是增函数, 于是 loga5.1<loga5.9; 当 0< a< 1 时,y= logax 在(0,+∞)上是减函数, 于是 loga5.1>loga5.9. 比较对数值大小时常用的 4 种方法 (1)同底的利用对数函数的单调性. (2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同,找中间量. (4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调 性的影响,对底数进行分类讨论. [活学活用] 比较下列各题中两个值的大小: (1)lg 6,lg 8; (3)log 1 2 与 log 1 2; 3 5 (2)log0.56,log0.54; (4)log23 与 log54. 解:(1)因为函数 y=lg x 在(0,+∞)上是增函数,且 6 <8,所以 lg 6<lg 8. (2)因为函数 y=log0.5x 在(0,+∞)上是减函数,且 6 >4,所以 log0.56<log 0.54. (3)由于 log 1 2= , log 1 2= . 1 1 3 5 log2 log2 3 5 1 1 又∵对数函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,且 > , 3 5 1 1 1 1 ∴ 0> log2 >log2 ,∴ < . 3 5 1 1 log2 log2 3 5 ∴ log 1 2<log 1 2. 3 5 1 1 (4)取中间值 1, ∵ log23>log22=1=log55> log54,∴ log23>log54. 对数函数的单调性及应用 [典例] 范围. (1)已知 log0.7(2x)<log0.7(x-1),求 x 的取值 1 (2)求函数 y=log (1-x2)的单调增区间,并求函数的 2 最小值. [解] (1)∵函数 y= log0.7x 在(0,+∞)上为减函数, ∴由 log0.7(2x)<log0.7(x- 1), ?2x>0, ? 得?x- 1> 0, ?2x>x- 1, ? 解得 x> 1. ∴ x 的取值范围是 (1,+∞ ). 1 (2)要使 y= log (1- x2)有意义,则 1- x2> 0, 2 ∴ x2< 1,则- 1< x< 1,因此函数的定义域为(-1,1). 令 t= 1- x2, x∈ (- 1,1). 1 当 x∈ (- 1,0]时, x 增大,t 增大, y= log t 减小, 2 1 ∴ x∈ (- 1,0]时, y= log (1- x2)是减函数; 2 1 同理当 x∈[0,1)时, y=log (1- x2)是增函数. 2 1 故函数 y= log (1 - x2)的单调增区间为 [0,1),且 ymin= 2 1 log (1- 02)= 0. 2 1.常见对数不等式的 2 种解法 (1)形如 logax> logab 的不等式,借助 y= logax 的单调性求 解, 如果 a 的取值不确定, 需分 a> 1 与 0< a< 1 两种情况讨论. (2)形如 logax> b 的不等式,应将 b 化为以 a 为底数的对数 式的形式,再借助 y=logax 的单调性求解. 2.求形如 y= logaf(x)的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域; (2)研究函数 t= f(x)和函数 y= logat 在定义域上的单调性; (3)判断出函数的增减性求出单调区间. [活学活用] 1.函数 y=log2|x-1|的单调减区间为________. 解析: y= log2|x- 1|的图象是 y= log2|x|向右平移 1 个 单位得到,而 y= log2|x |的单调减区间为(- ∞, 0), ∴ y= log2|x- 1|的单调减区间为 (-∞, 1). 答案: (-∞, 1) 2.已知 loga(3a-1)恒为正,则 a 的取值范围为________. 解析: 由题意知 loga(3a- 1)> 0= loga1. 当 a> 1 时, y= logax 是增函数, ?3a- 1> 1, ? ∴? ? ?3a- 1> 0, 2 解得 a> , 3 ∴ a> 1; 当 0< a< 1 时, y= logax 是减函数, ?3a- 1< 1, ? ∴? ? ?3a- 1> 0, 1 2 解得 < a< . 3 3 1 2 ∴ < a< . 3 3 ?1 2? 答案:? , ?∪ (1,+∞) ?3 3? 对数函数性质的综合应用 [典例] 已知函数 f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其 中(a>0 且 a≠1),设 h(x)=f(x)-g(x). 求函数 h(x)的定义域,判断 h(x)的奇偶性,并说明理由. [解] ∵f(x)=loga(1+x)的定义域为{x|x>-1}, g(x)=loga(1-x)的定义域为{x|x<1}, ∴h(x)=f(x)- g(x)的定义域为{x|x>-1}∩{x|x<1}={x| -1<x<1}. ∵h(x)=f(x)-g(x)=loga(1+x)-loga(1-x), ∴ h( - x) = loga(1 - x) - loga(1 + x) = - [ loga


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