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高三二轮复习立体几何专题(经典题型汇总)Microsoft Word 文档


立 体 几 何 专 题
一.考纲解读
1.空间几何体:该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征,通过对各种空间几何体结构特征 的了解,认识各种空间几何体的三视图和直观图,通过三视图和直观图判断空间几何体的结构, 在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法. 2.空间点、直线、平面的位置关系:该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系, 重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质, 面面平行和垂直关系的判定和性质. 在复习中要 牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用,重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法. 3.空间向量与立体几何:由于有平面向量的基础,空间向量部分重点掌握好空间向量基本定理和 共面向量定理,在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法, 并注重运算能力的训练.

二.2012 年高考命题趋向
1.以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算.对空间几何体 的三视图的考查有难度加大的趋势, 通过这个试题考查考生的空间想象能力; 空间几何体的表面 积和体积计算以三视图为基本载体,交汇考查三视图的知识和面积、体积计算,试题难度中等. 2.以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明,在解答题中的一部分考查使用空间向量方法求 解空间的角和距离,以求解空间角为主,特别是二面角.

三.高频考点解读 考点一 三视图的辨别与应用
例 1[2011· 课标卷] 在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图所示,则相应的侧视图可以为

例 2[2011· 山东卷] 右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:① 存在三棱柱,其 正(主)视图、俯视图如右图;② 存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③ 存在 圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是( A.3 B.2 C.1 D. 0 ).

考点二

求几何体的体积表面积

例 4[2011· 陕西卷] 某几何体的三视图如图 1-2 所示, 则它的体积是( ) 2π π 2π A. 8- B. 8- C. 8-2π D. 3 3 3 例 5 [2011· 课标全国卷] 已知两个圆锥有公共底面, 且两 圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底 3 面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较 16 小者的高与体积较大者的高的比值为________. 例 6 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上, 其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上, 则该正三棱锥的体积是( ) A.
3 3 4

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

例 7.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积为 (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2 (D)36+24 2 例 8.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 ?ADE 、?BCF 均为正三角形, EF ∥ AB , EF=2,则该多面体的体积为( ) (A)
E

M

N

F

D

C
H
B

2 3

(B)

3 3

(C)

4 3

(D)

3 2

A

例 9.已知三棱柱 若 例 10已知三棱柱 为 3 , AB=2,AC=1 , ,

的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上, ,则此球的表面积等于______ 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积 ,则此球的表面积等于______

例 11 如图 一圆柱被一平面所截,截口是一个椭圆.已知椭圆的 长轴长为 5,短轴长为 4,被截后几何体的最短侧面母 线长为 1,则该几何体的体积等于 .

例 12[2011· 辽宁卷] 已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点, AB= 3,∠ASC=∠BSC=30° ,则棱锥 S-ABC 的体积为( ) A.3 3 B.2 3 C. 3 D .1

考点三 平行与垂直
例 11[2011· 辽宁卷] 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥ 底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是( ) ... A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 例 12.平面 ? 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在平面 ? 内的射影分别是 m1 和 n1 ,给出下列 四个命题: ① m1 ⊥ n1 ? m ⊥ n ; ② m ⊥ n ? m1 ⊥ n1 ; ③ m1 与 n1 相交 ? m 与 n 相交或重合; ④ m1 与 n1 平行 ? m 与 n 平行或重合; 其中不正确的命题个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 例 13. 已知 α 、 β 是不同的两个平面,直线 a ? ? , 直线b ? ? ,命题 p : a与 b 无公共点;命题 q : ? // ? . 则 p是q 的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例 14 已知α ,β 是两个不同的平面,m , n 是平面α 及β 之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m⊥n; ②α ⊥β ;③n⊥β ; ④m⊥α ,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为 结论,写出你认为正确的一个命题 . P ? ? PB ? ? 例 15..如图,定点 A 和 B 都在平面 ? 内,定点 , , C 是 ? 内异于 A 和 B 的动点, 且 PC ? AC 。 那么, 动点 C 在平面 ? 内 的轨迹是( ) A. 一条线段,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点 例 16 若 P 是两条异面直线 l, m 外的任意一点,则( ) A 过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都平行 B 过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都垂直 C 过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都相交 D 过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都异面
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考点四

空间角

例 17[2011· 天津卷] 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1= 2 2,C1H⊥平面 AA1B1B,且 C1H= 5. (1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥平 面 A1B1C1,求线段 BM 的长.

例 18[2011· 天津卷] 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45° ,AD =AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点. (1)证明 PB∥平面 ACM; (2)证明 AD⊥平面 PAC; (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.

例 19[2011· 课标全国卷] 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60° , AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

例 20[2011· 广东卷] 如图,在锥体 P-ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的菱形,且∠DAB=60° ,PA =PD= 2,PB=2,E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1)证明:AD⊥平面 DEF; (2)求二面角 P-AD-B 的余弦值.

.

例 21 如图,在三棱柱 ,平面

中,Δ ABC 为正三角形, 平面 ABC,

N 为 BC 的中点.点 M 在棱 AC 1 1 上,且 A 1M ? ? AC 1 1

?????

???? ?

(1) 当 ? 取什么值时,求直线 MN 与平面 ABC 所成角 ? 最大, 并求此时 ? 的正玄值. (2) 求二面角 C1 ? AN ? C 的余弦值。

考点五

折叠与展开

例 22 如图 1,直角梯形 ABCD 中,∠BAD=∠D=90 ,AD=CD=a,AB=2a, 将△ADC 沿 AC 折起,使点 D 到 D?. (1) 若二面角 D?-AC-B 为直二面角(图 2),求二面角 D?-BC-A 的大小; o (2) 若二面角 D?-AC-B 为 60 (图 3),求三棱锥 D?-ABC 的体积.
D C
D D C A B

o

D D A C B

A

B

图1

图2

图3

例 23 一副三角板拼成一个四边形 ABCD,如图,然后将它沿 BC 折成直二面角 A A (1)求证 平面 ABD⊥平面 ACD; (2)求 AD 与 BC 所成的角; C (3)求二面角 A—BD—C 的大小 B B
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C D

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D

例 24.在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,E 为 DC 的中点,沿 AE 将△ AED 折起,使二面角 D

-AE-B 为 60 . (Ⅰ)求 DE 与平面 AC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 D-EC-B 的大小. D E C D E

C B

A

B 例 24

A

考点六

探索性问题

例 25[2011· 浙江卷] 如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC, 垂足 O 落在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:AP⊥BC; (2)在线段 AP 上是否存在点 M, 使得二面角 A-MC-B 为直二面角? 若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.

SA ⊥平面 ABCD , 例 26 如图: 在四棱锥 S ? ABCD 中,
∠ BAD ? ?ADC ?

?
2

,AB ? AD ? 2a ,CD ? a ,E

S

为 SB 的中点。 (1)求证: CE // 平面 SAD ; (2)当点 E 到平面 SCD 的距离为多少时,平面 SBC 与 平面 SAD 所成的二面角为 45 ? ?

E

A D

C

B

例 27 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, AD∥BC,AD⊥DC,AD=2BC=2CD=2,侧面 APD 为等腰 直角三角形, PA⊥PD,平面 PAD⊥底面 ABCD,E 为侧棱 PC 上不同于端点的一点. (1)证明:PA⊥DE; (2) 试确定点 E 的位置, 使二面角 E-BD-C 的余弦值为

3 . 3

针对训练
一.选择题

1.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面
积为 A. 2 3? C. 4 3 ( )

8? 3 16? D. 3
B.

2.如图,正方体 AC1 的棱长为 1 ,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,
垂足为点 H ,则以下命题中,错误 的命题是( .. )

A.点 H 是 △A1BD 的垂心 B. AH 的延长线经过点 C1 C. AH 垂直平面 CB1D1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45
?

3.四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H,则四面体 EFGH 的表面积与四面体 ABCD 的表面积的比值是( ) A.

1 27

B.

1 16

C.

1 9

D.

1 8

4.已知球 O 的半径为 1,A、B、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为 到平面 ABC 的距离为( ) B.

? ,则球心 O 2

1 A. 3

3 3

C.

2 3

D.

6 3

O 的表面上, E,F 分别是棱 AA1 , 5.棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 8 个顶点都在球

DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为(
A.

) D. 2

2 2

B. 1

C. 1 ?

2 2

6.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时, 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( ) D1 C1 A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 7.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点, A1 B1 P 若 P 到直线 BC 与直线 C1 D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线 是( ). D C A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
A B

二.填空题 1 一个几何体的三视图如右图所示,正视图是一个
边长为 2 的正三角形,侧视图是一个等腰直角三角 形,则该几何体的体积为 正视图 2 4 正视 图 俯视 图 2 3 侧视 图 侧视图

4

俯视图

2 若某几何体的三视图 (单位:cm) 如左上图所示,则此几何体 的体积是 cm3.

3.如图,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得 C 点至 C ? , E 点在线段 AC ? 上,若二面角 A ? BD ? E 与二面角

AE = EC ? 3.已知 ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AD,AB 的中点,GC 垂直于平面 ABCD 所在的平面, 且 GC=2,则点 B 到平面 FEG 的距离 。
E ? BD ? C ? 的大小分别为 30°和 45°,则


G

C F

B

三.解答题

D

E

A

1.在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB ∥ CD ,

P

? ABC

90? , AB = PB = PC = BC = 2CD ,平面 PBC ^ 平
C B D A

面 ABCD . (Ⅰ)求证: AB ^ 平面 PBC ; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 BCP 所成二面角(小于 90° )的大小; (Ⅲ)在棱 PB 上是否存在点 M 使得 CM ∥平面 PAD ?若存在,求 说明理由.

PM 的值;若不存在,请 PB

D ∥ B C , ? A B C ? 9 0 ° 2. 如 图 , 在 底 面 为 直 角 梯 形 的 四 棱 锥 P 中A , PD? 平 面 ? A B C D

B? 3, B A B C D, A C?4. D?1, A
⑴求证: BD ? P C ; ⑵求直线 AB 与平面 PDC 所成的角; ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶设点 E 在棱 P C 上, P , E ? ? P C 若 DE ∥平面 PAB ,求 ? 的值.

3.四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,E 为 AD 的中点,ABCE 为菱形,∠BAD=120° ,PA PF CG =AB,G,F 分别是线段 CE,PB 上的动点,且满足 = =λ∈(0,1). PB CE (Ⅰ) 求证:FG∥平面 PDC; (Ⅱ) 求 λ 的值,使得二面角 F-CD-G 的平面角的 2 正切值为 .

3

4.如图,矩形 ABCD 和 ABEF 中,AF=AD=2AB=2, 二面角 C-AB-E 的大小为 60°, G 为 BC 的中点. (1)求证:AG⊥DE; (2)求二面角 A-ED-G 的余弦值.

5.如图,圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1, 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且 AB 是圆 O 的直径。 (Ⅰ)证明:平面 A1ACC1⊥平面 B1BCC1; (Ⅱ)设 AB=AA1。在圆柱 OO1 内随机选取一点,记该点取自于 三棱柱 ABC-A1B1C1 内的概率为 P。 (i) (ii) 当点 C 在圆周上运动时,求 P 的最大值; 记平面 A1ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 ? (0°< ? ? 90°) 。当 P 取最大值时, 求 cos ? 的值。


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