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高中数学人教a版选修2-2(课时训练):1.1 变化率与导数1.1.1-1.1.2 word版含答案

1.1 1.1.1 1.1.2 变化率与导数 变化率问题 导数的概念 [学习目标] 1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. [知识链接] 很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量 的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢? 答 气球的半径 r(单位: dm)与体积 V(单位: L)之间的函数关系是 r(V)= (1)当 V 从 0 增加到 1 L 时,气球半径增加了 r(1)-r(0)≈0.62 (dm), 气球的平均膨胀率为 r?1?-r?0? ≈0.62(dm/L). 1-0 3 3V 4π , (2)当 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径增加了 r(2)-r(1)≈0.16 (dm), 气球的平均膨胀率为 r?2?-r?1? ≈0.16(dm/L). 2-1 可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了. [预习导引] 1.函数的变化率 定义 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 Δy Δx 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0 +Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限,即Δ lim x→0 f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim . Δx→0 Δx Δx 2.函数 f(x)在 x=x0 处的导数 f?x0+Δx?-f?x0? Δy 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率Δ lim = lim 称为函数 y= x→0 Δx Δx→0 Δx Δy f(x) 在 x = x0 处的导数,记作 f′(x0) 或 y′|x = x0 ,即 f′(x0) = Δ lim =Δ lim x→0 Δx x→0 f?x0+Δx?-f?x0? . Δx f?x2?-f?x1? , 简记作: x2-x1 实例 平均 变化率 ①平均速度;②曲线割线的斜率 瞬时 ①瞬时速度:物体在某一时刻的速度;②切线斜 率 变化率 要点一 求平均变化率 例1 已知函数 h(x)=-4.9x2+6.5x+10. (1)计算从 x=1 到 x=1+Δx 的平均变化率,其中 Δx 的值为①2;②1;③0.1;④ 0.01. (2)根据(1)中的计算,当|Δx|越来越小时,函数 h(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化 率有怎样的变化趋势? Δy 解 (1)∵Δy=h(1+Δx)-h (1)=-4.9 (Δx)2-3.3Δx,∴Δx=-4.9Δx-3.3. Δy ①当 Δx=2 时,Δx=-4.9Δx-3.3=-13.1; Δy ②当 Δx=1 时,Δx=-4.9Δx-3.3=-8.2; Δy ③当 Δx=0.1 时,Δx=-4.9Δx-3.3=-3.79; Δy ④当 Δx=0.01 时,Δx=-4.9Δx-3.3=-3.349. (2)当|Δx|越来越小时,函数 f(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率逐渐变大,并接 近于-3.3. 规律方法 求平均变化率的主要步骤: (1)先计算函数值的改变量 Δy=f(x2)-f(x1). (2)再计算自变量的改变量 Δx=x2-x1. Δy f?x2?-f?x1? (3)得平均变化率Δx= . x2-x1 跟踪演练 1 求函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求 当 x0=2,Δx=0.1 时平均变化率的值. 解 函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 f?x0+Δx?-f?x0? [3?x0+Δx?2+2]-?3x2 0+2? = Δx ?x0+Δx?-x0 6x0·Δx+3?Δx?2 = =6x0+3Δx. Δx 当 x0=2,Δx=0.1 时,函数 y=3x2+2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2+ 3×0.1=12.3. 要点二 物体运动的瞬时速度 例2 高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h(单位: m)与起跳后的时间 t(单 65 位:s)之间的关系式为 h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求运动员在 t=98 s 时的瞬时速 度,并解释此时的运动状况. 解 令 65 t0 = 98 , Δt 为 增 量 . 则 h?t0+Δt?-h?t0? = Δt ?65 ? ?65 ? -4.9×?98+Δt?2+6.5×?98+Δt?+10 ? ? ? ? + Δt 65 ?65? 4.9×?98?2-6.5×98-10 ? ? Δt ?65 ? -4.9Δt?49+Δt?+6.5Δt ? ? ?65 ? = =-4.9?49+Δt?+6.5, Δt ? ? ∴Δ lim t→0 h?t0+Δt?-h?t0? ? ?65 ? ? ? ?49+Δt?+6.5?=0, = lim - 4.9 Δt→0 ? Δt ? ? ? 65 即运动员在 t0=98 s 时的瞬时速度为 0 m/s. 说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处. 规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的, 其求解步骤 如下: (1)由物体运动的位移 s 与时间 t 的函数关系式求出位移增量 Δs=s(t0+Δt)-s(t0); Δs (2)求时间 t0 到 t0+Δt 之间的平均速度 v = Δt ; Δs (3)求Δ lim 的值,即得 t=t0 时的瞬时速度. t→0 Δt 跟踪演练 2 一质点按规律 s(t)=at2+1 作直线运动(位移单位:m,时间单位: s),若该质点在 t=2 s 时的瞬时速度为 8 m/s,求常数 a 的值. 解 ∵Δs=s(2+Δt)-s(2) =a(2+Δt)2+1-a· 22-1 =4aΔt+a(Δt)2, Δs ∴ Δt =4a+aΔt. Δs 在 t=2 s 时,瞬时速度为Δ lim =4a,即 4a


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