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高中数学复习数系的扩充与复数的概念3.1.2复数的几何意义课件新人教A版_图文

3.1.2 复数的几何意义

主题1 复数的几何意义 1.实数可以与数轴上的点一一对应,类比实数,复数 z=a+bi(a,b∈R)与有序实数对(a,b)有怎样的对应关系?

提示:复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),因为它是由实 部a和虚部b同时确定,即有顺序的两实数,不难想到有 序实数a,b与有序实数对(a,b)一一对应.

2.复数z=a+bi(a,b∈R)能否用直角坐标平面内的点表 示? 提示:由1知,任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以由一 个有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数对(a,b)与 平面直角坐标系中的点一一对应,因此复数可以用平面 直角坐标系中的点表示.

3.复数能否用平面向量表示? 提示:每一个平面向量都可以用一个有序实数对表示, 而复数也可用有序实数对表示,因此复数可用平面向量 来表示.

结论:

1.复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_______.x轴 复平面
叫做_____,y轴叫做_____.实轴__轴上的点都表示
_____实,除轴______外,虚虚轴轴__轴上的x 点都表示纯虚数.

实数 (0,0)

y

2.复数的几何意义

(1)复数z=a+bi(a,b∈R)

复平面内的点

??一一?对应??

_______.

Z(a,b) (2)复数z=a+bi(a,b∈R)

平面向量 .

??一一?对应??

OZ

【微思考】 如何作出复数在复平面内的对应点或向量? 提示:将复数化成代数形式a+bi(a,b∈R),从而确定 a,b,再作出Z(a,b)或 .
OZ

主题2 复数的模
1.设Z(a,b),则向量 的模如何用a,b表示? OZ
提示: OZ ? a2 ? b2 .

2.复数可以用向量表示,那么向量的模是复数的什么?
提示:用文字语言描述:向量的模就是复数的模.
用符号语言描述: z = OZ a2 ? b2 .

结论:复数的模

复数z=a+bi(a,b∈R)对应向量 的模 OZ

OZ ?

a2 ? b2

记作复数z的模.用____或_______表示.

|z| |a+bi|

【微思考】 计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,再利用 模的公式计算,那么对于两个复数z1和z2,是否存在 z1>z2或|z1|>|z2|? 提示:复数不能比较大小,但模可以.

【预习自测】

1.实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的

()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】选B.实部为-2,虚部为1的复数为-2+i,所对应 点的坐标为(-2,1),在第二象限.

2.在复平面内,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在

虚轴上,则a的值为 ( )

A.a=0或a=2

B.a=0

C.a≠1且a≠2

D.a≠1或a≠2

【解析】选A.因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点

在虚轴上,所以a2-2a=0,所以a=0或a=2.

3.已知复数z=1-i,那么|z|等于 ( )

A.0

B.1

C.

D.2

2 【解析】选C.|z|=|1-i|=

12 ? ??1?2 ? 2.

4.下面四个式子中,正确的是 ( )

A.3i>2i

B.|2+3i|>|1-4i|

C.|2-i|>2i4

D.i2>-i

【解析】选C.因为两个虚数不能比较大小,因此排除

选项A和D.

因为|2+3i|=

,|1-4i|=

,

所以|2+3i|<|12-24?i3|2,?选1项3 B错误,

12 ? ??4?2 ? 17

因为|2-i|=

,2i4=2,

所以|2-i|>2i242,?选??项1?C2 正? 确5 .

5.已知复数z=1+2i(i为虚数单位),则|z|=________.
【解析】z=1+2i?|z|=|1+2i|= . 5
答案:
5

【备选训练】已知复数z=(a2-4)+(a+2)i(a∈R). (1)若z为纯虚数,求实数a的值. (2)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,求实数 a的值.

【解题指南】(1)纯虚数指的是实部为零,虚部不为零 的复数,因此只需找到复数的实虚部,满足相应条件即 可.(2)复数对应的点的坐标是由实部和虚部构成的.

【解析】(1)若z为纯虚数,则a2-4=0且a+2≠0,得a=2. (2)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,则a24+2(a+2)+1=0,得a=-1.

类型一 复数与点的一一对应 【典例1】在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m10)i对应的点分别满足下列条件: (1)在虚轴上 (2)在第二象限 (3)在x轴上方那么实 数m的取值范围应分别是多少.

【解题指南】由z=a+bi(a,b∈R)与点Z(a,b)一一对应 知第(1)问要求实部为0;第(2)问要求实部小于0、虚部 大于0;第(3)问要求虚部大于0.

【解析】复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i在复平面内对

应的点为Z(m2-2m-8,m2+3m-10).

(1)点Z在虚轴上,则m2-2m-8=0,解得m=-2或m=4.

(2)点Z在第二象限内,

则 ?m2 ? 2m ?8 ? 0, ??m2 ? 3m ?10 ? 0,

解得2<m<4.

(3)点Z在x轴上方, 则m2+3m-10>0,解得m>2或m<-5.

【延伸探究】 1.若本例条件不变,求复数z表示的点在第二、四象限 时实数m的范围. 【解析】由题意知,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0, 所以2<m<4或-5<m<-2.

2.若本例条件不变,求复数z表示的点在直线y=x上时实
数m的值.
【解析】由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,
所以m= . 2 5

【方法总结】复数与点的对应关系及应用 (1)复平面内复数与点的对应关系的实质是:复数的实 部就是该点的横坐标,虚部就是该点的纵坐标.

(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的 取值范围时,可根据复数与点的对应关系,建立复数的 实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组), 通过解方程(组)或不等式(组)得出结论.

【补偿训练】已知i为虚数单位,a∈R,若a2-1+

(a+1)i为纯虚数,则复数z=a+(a-2)i在复平面内对应的

点位于 ( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】选D.因为i为虚数单位,a∈R,a2-1+(a+1)i 为纯虚数,所以 ?a2 ?1 ? 0, 解得a=1,所以z=1-i,z=1-i 在复平面内对应??的a ?点1 ?的0,坐标为(1,-1),所以该点位于第 四象限.

类型二 复数与向量的对应

【典例2】(1)已知平面直角坐标系中O是原点,向量

, 对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量 OA 对O应B的复数是 ( )

A.B-A5+5i

B.5-5i

C.5+5i

D.-5-5i

(2)已知向量 对应的复数是4+3i,点A关于实轴的对 OA

称点为A1,将向量 平移,使其起点移动到A点,这时

终点为A2.

OA1

①求向量 对应的复数.

②求点A2对O应A1 的复数.

【解题指南】(1)利用向量平移的特征可求出向量 BA
对应的坐标,再利用其坐标确定其对应的复数.
(2)根据复数与点、复数与向量的对应关系求解.

【解析】(1)选B.向量 , 对应的复数分别为2OA OB
3i,-3+2i,根据复数与复平面内的点一一对应,可得向

量 =(2,-3), =(-3,2). 由向O量A 减法的坐标O运B 算可得向量 = -

=(2+3,-3-2)=(5,-5),

BA OA OB

根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量 对应 BA
的复数是5-5i.
(2)①因为向量 对应的复数是4+3i, 所以点A对应的复OA数也是4+3i,
因此点A坐标为(4,3),
所以点A关于实轴的对称点A1为(4,-3),

故向量 对应的复数是4-3i. OA1
②依题意知 = ,而 =(4,-3), OA1 AA2 OA1
设A2(x,y),则有(4,-3)=(x-4,y-3),
所以x=8,y=0,即A2(8,0).
所以点A2对应的复数是8.

【延伸探究】若将本例(2)中条件作如下改动:向量

对应的复数为-5+3i,将向量 向下平移1个

OA

OA

单位,向右平移2个单位得到向量 ,如何求①向量

对应的复数?②点A1对应的复数O1A?1

O1A1

【解析】如图,由于O为原点,
对应的复数为-5+3i,所以 OA A点坐标为(-5,3),向量 向下平移1个单位,向右平OA移2个单位后,点O1的坐标为 (2,-1),点A1的坐标为(-3,2).

①向量 O1A1 对应的复数与 OA 对应的复数相同,仍为 -5+3i.
②点A1对应的复数为-3+2i.

【方法总结】复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为 终点的向量 一一对应的. (2)一个向量O可Z 以平移,其对应的复数不变,但是其起点 与终点所对应的复数可能改变.

【巩固训练】在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别

为1,2+i,-1+2i.

(1)求向量

对应的复数.

(2)判定△AABCB的, AC形, B状C.

【解析】(1)由复数的几何意义知:
OA ? ?1,0?,OB ? (2,1),OC ? (?1,2),
所以 AB ? OB ? OA ? (1,1),AC ? OC ? OA ? (?2,2),
所BC以? OC ? OB ? (对?3,应1).的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i. AB, AC, BC

(2)因为 AB ? 2, AC ? 2 2, BC ? 10,

所以 2

2

2

AB ? AC ? BC .

所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

类型三 复数的模

【典例3】(1)已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,

且|z1|=|z2|,则实数a的值为 ( )

A.1

B.-1

C.1或-1

D.±1或0

(2)(2017·杭州高二检测)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且

|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是 ( )

A.a<-1或a>1

B.-1<a<1

C.a>1

D.a>0

【解题指南】(1)先分别求出复数z1=a+2i,z2=2-i的模, 再利用模相等求出对应的值. (2)根据复数模的计算公式列不等式得出答案.

【解析】(1)选C.根据题意可知a2+4=4+1,所以a=±1.

(2)选B.因为|z1|=

,|z2|=

a2 ? 4

4?1 ? 5,

所以

即a2+4<5,所以a2<1,即-1<a<1.

a2 ? 4 ? 5,

【方法总结】复数模的计算 (1)计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利 用模的公式计算.虽然两个虚数不能比较大小,但它们 的模可以比较大小.

(2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问 题求解. 提醒:复数的模表示该复数在复平面内的对应点到原点 的距离,则任何一个复数的模都是非负数.

【巩固训练】已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取 值范围.

【解析】方法一:因为z=3+ai(a∈R),

所以|z|=

,

32 ? a2 ,

由已知得32+a2<42,

所以a2<7,所以a∈(- , ).

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方法二:利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面 内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包 括边界), 由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上, 所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合. 由图可知:- <a< .
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【补偿训练】已知x,y是实数,且x2+(2i-2)x+1 -yi=0(其中i是虚数单位),则|x+yi|=________.

【解析】依题意可得x2+(2i-2)x+1-yi=0,即(x2-

2x+1)+(2x-y)i=0,x,y是实数,所以 ?x2 ? 2x ?1 ? 0,

? 所以 ?x ? 1, 所以|x+yi|=|1+2i|= ?.2x ? y ? 0,

答案:??y ? 2,

5

5

【课堂小结】 1.知识总结

2.方法总结 (1)数形结合法:利用复数与复平面上的点、向量的一 一对应研究复数. (2)转化法:把复数问题转化为图形问题,把图形问题转 化为复数问题.



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