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解三角形习题课


解三角形习题课
把三角形的三个角 A, B, C 和它们的对边 a, b, c 叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做解三角形。可以利用正弦定理和余弦定理等求解。 Ⅰ.正弦定理: Ⅱ.余弦定理:

a b c ? ? ? 2 R, 其中 R 是三角形外接圆半径. sin A sin B sin B

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B, c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C
由此可得

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 cos A ? , cos B ? , cos C ? 2ab 2ac 2ab 1 1 1 Ⅲ. S ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B , R 为外接圆半径; 2 2 2 abc 2 由正弦定理可有: S ABC ? 2 R sin A sin B sin C ? ; 4R a?b?c S ABC ? s ? s ? a ?? s ? b ?? s ? c ? ? sr ,其中 s ? , r 为内切圆半径。 2 Ⅳ. 在三角形中大边对大角,反之亦然。即在在三角形中, a ? b ? sin A ? sin B ? A ? B Ⅴ. 射影定理: a ? b cos C ? c cos B, b ? a cos C ? c cos A, c ? a cos B ? b cos A. (教科书 P18 )
Ⅵ.有关三角形内角的几个常用公式

sin ? A ? B ? ? sin C , cos ? A ? B ? ? ? cos C, tan ? A ? B ? ? ? tan C, sin A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot 2 2 2 2 2 2

Ⅶ. 解三角形常见的四种类型

a b c ? ? ,可求出角 C,再求 b、c. sin A sin B sin B 2 2 2 (2)已知两边 b, c 与其夹角 A ,由 a ? b ? c ? 2bc cos A ,求出 a,再由余弦定理,求出角 B, C. .
(1)已知两角 A, B 与一边 a ,由 A+B+C=180° 及正弦定理 (3)已知三边 a、b、c,由余弦定理可求出角 A、B、C. (4) 已知两边 a 、 b 及其中一边的对角 A ,由正弦定理

a b ? ,求出另一边 b 的对角 B ,由 sin A sin B a c a b ? ? 求出 c 。而通过 求 B 时,可能出一 C ? 180 ? ? A ? B? ,求出 C ,再由 sin A sin C sin A sin B b 解,两解或无解的情况,其判断方法,如下:由于 sin B ? sin A ,那么: a (1)若 sin B ? 1 ,则无解; (2) sin B ? 1 ,则 B ? 90 ; (3)若 0 ? sin B ? 1 ,则分两种情况:① a ? b ,则 A ? B 。故 B 一定为锐角,只有一解; ② a ? b ,则 A ? B ,有两解。

Ⅷ. 对于三角形的分类或三角形形状判断及其证明恒等式,主要两种方式:化边为角和化角为边。

一、三角形的面积问题 练习1、在?ABC中,A ? 1200 , AB ? 5, BC ? 7, 则?ABC的面积为______

练习2、在?ABC中,BC ? 2, C ? ,cos B ? , 则?ABC的面积为______
4
1

?

3 5

二、三角形的综合问题
例1、在?ABC中, m ? ? cos B,sin C ? , n ? ? cos C , ? sin B ? 且m ? n ? 。 (1)求A;(2)若a ? 2 3,?ABC的面积为 3,求b ? c。
1 2

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? 。 cos B b sin C 1 (1)求 ;(2)若 cos B ? ,?ABC的周长为5,求边b。(11 山东卷) sin A 4

例2、在?ABC中,

3 (1)求y ? f ( x)的解析式和定义域;(2)求y的最大值。

例3.在?ABC中,A ? ,a ? 2 3。设B ? x, 周长为y。

?

练习(11 安徽卷)在?ABC中,a ? 3,b ? 21 , ? 2cos(B ? C) ? 0,求BC边上的高。

2


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