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江西省白鹭洲中学2013届高三上学期期中考试 数学文


白鹭洲中学 2012-2013 学年上学期高三年级期中考试 数学试卷(文科)
命题人:高三数学备课组 审题人:高三数学备课组 考试注意: 1、本试卷设试卷Ⅰ、Ⅱ卷和答题卡纸三部分,试卷所有答题都必须写在答题纸上。 2、答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位。 3、考试时间为 120 分钟,试卷满分为 150 分。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题: (本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设 i 为虚数单位,则复数 A. ? 4 ? 3i
3 ? 4i 的共轭复数为 i

( D. 4 ? 3i



B. ? 4 ? 3i

C. 4 ? 3i

2.设全集 U ? ? x, y) x ? R, y ? R?,集合 M ? ? x, y) y ? x? , N ? ? x, y) y ? ?x?, ( ( ( 则集合 P ? ( x, y ) y 2 ? x 2 等于 A. CU M )∩( CU N ) ( C. CU M )∪( CU N ) ( B. CU M )∪N ( D.M∪( CU N ) ( D. 3 )

?

?





?log 3 x, ( x ? 0) 3. 已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f (9) ? f (0) ? ( x ? 0) ?2 A.0 B.1 C.2

b c 如果 cos?2 B ? C ? ? 2 sin A sin B ? 0 , 4. 在△ABC 中, A,B,C 的对边分别为 a 、 、 , 角

那么三边长 a 、 b 、 c 之间满足的关系是 ( A. 2ab ? c
2
2 2 2 B. a ? b ? c



C. 2bc ? a

2

2 2 2 D. b ? c ? a

5. 若“ 0 ? x ? 1 ”是“ ( x ? a )[ x ? ( a ? 2)] ? 0 ”的充分而不必要条件, 则实数 a 的取 值范围是( ) A. [ ?1,0] B. ( ?1,0) C. ( ??,0] ? [1, ??) D. ( ??, ?1) ? (0, ??)

?0 ? x ? 2, 6.设不等式组 ? ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点 ?0 ? y ? 2
到坐标原点的距离大于 2 的概率是 ? ? ?2 ? A. B. C. 2 4 6 1 7.已知 lg 3 , lg(sin x ? ) , lg(1 ? y) 顺次成等差数列,则( 2 ( ) 4 ?? D. 4 )

11 ,无最大值 12 11 C. y 有最小值 ,最大值 1 12

A. y 有最小值

B. y 有最大值 1,无最小值 D. y 有最小值-1,最大值 1

8.点 P 是球 O 的直径 AB 上的动点, PA ? x ,过点 P 且 AB 与垂 1 直的截面面积记为 y ,则 y ? f ( x) 的大致图象是( ) 2

9.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相 a 2 b2

切,则该双曲线离心率等于 A.
5 5

( C.
3 2



B.

6 2

D.

3 5 5
13? 1 x ,( ) ) , 4 5

10.定义一种运算 (a, b) ? (c, d ) ? ad ? bc ,若函数 f ( x) ? (1, 3 x) ? (tan log

x0 是方程 f ( x) ? 0 的解,且 0 ? x1 ? x0 ,则 f ( x1 ) 的值
A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值

( D.不大于 0



第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,a2 、a4 是方程 x 2 ? x ? 2 ? 0 的两个根,则 S5 等于
? ? ? ? 12 . 已 | a |? 2sin 75?,| b |? 4cos 75?, a与b 的 夹 角 为

? ? 30°,则 a ? b 的值为
13.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象 如图所示,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f (2011) 的值等于

14.已知点 P 是抛物线 y 2 ? 4x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M ,点 A 的坐标 是 ( 4, a ) ,则当 | a |? 4 时, | PA | ? | PM | 的最小值是 15.给出下面四个命题:①“直线 a 、 b 为异面直线”的充分非必要条件是:直线 a 、b 不相交; “直线 l 垂直于平面 ? 内所有直线” ② 的充要条件是:l ⊥平面 ? ; ③“直线 a ⊥ b ”的充分非必要条件是“ a 垂直于 b 在平面 ? 内的射影” ;④“直 a ∥平面 ? ”的必要非充分条件是“直线 a 至少平行于平面 ? 内的一条直 线 线” .其中正确命题有 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分)

?? ? ? 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ? 的最小正周期是 ,其中 6? 2 ? ? ?0. ? ? 24 (1)求 f ? 0 ? 、 ? ;(2)若 f ( ? ) ? , ? 是第二象限的角,求 sin 2? . 4 24 13
17. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a10 ? 15 ,且 a3 、

a4 、 a7 成等比数列.
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
an ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? 7 ? Tn ? ?1(n ? N* ) . n ,数列 2 4 18、 (本小题满分 12 分)已知某几何体的三视图如下图所示,其中左视图是边

(2)设 bn ?

长为 2 的正三角形,主视图是矩形, 且 AA1 ? 3 ,设 D 为 AA 的中点。 1 (1)作出该几何体的直观图并求其体积; (2)求证:平面 BB1C1C ? 平面 BDC1 ; (3) BC 边上是否存在点 P ,使 AP // 平 面 BDC1 ?若不存在,说明理由;若 存在,证明你的结论 19 . 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 椭 圆 (
C: x2 y 2 ? ? 1 a ? b ? 0) 的 左 焦 点 F 及 ( a 2 b2
2 b. 2

(第 18 题)

b 点 A(0, ),原点 O 到直线 FA 的距离为

(1)求椭圆 C 的离心率 e ; (2) 若点 F 关于直线 l : 2 x ? y ? 0 的对称点 P 在圆 O: x2 ? y 2 ? 4 上,求椭圆 C 的

方程及点 P 的坐标. 20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (1)求函数 f (x) 的单调区间; (2)若函数 y ? f (x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45 ? ,问:m 在什
?m ? 么范围取值时,对于任意的 t ? ?1,2?,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? ? f ' ( x)? 在区间 ?2 ?
(t ,3) 上总存在极值?

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f (x) 的图象经过点 (1, ? ) ,且对任意 x ? R ,都 有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2. 数列 ?an ? 满足 a1 ? ? ? 2, a n ?1 (1)当 x 为正整数时,求 f (n) 的表达式; (2)设 ? ? 3 ,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2n ; (3)若对任意 n ? N * ,总有 an an?1 ? an?1an?2 ,求实数 ? 的取值范围.
?2 n , n为奇数 ?? . ? f (a n ), n为偶数

白鹭洲中学 2012-2013 学年上学期高三年级期中考试 数学试卷答案(文科)
一、选择题:

题 1 号
D C C B A D A A D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
A

二、填空题:

5 11、_____ _______ 2

12、____ 3 ________

13、

0

14、_____ a 2 ? 9 ? 1_______

15、____②④________

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 16、(1) f (0) ? 1, ? ? 4 (2) ?
120 169

17、 an ? 2n ? 5
1 Tn ? (1 ? 2n)( ) n ? 1 2

18、 19、
b 及 解 : (1) 由 点 F (?ae,0) , 点 A( 0 , ) b ? 1 ? e2 a 得 直 线 FA 的 方 程 为 x y ? ? 1 ,即 1 ? e2 x ? ey ? ae 1 ? e2 ? 0 , 2 ?ae 1? e a

∵原点 O 到直线 FA 的距离为 ∴

2 1 ? e2 , b?a 2 2

ae 1 ? e2 1 ? e2 ? e2

?a

1 ? e2 2 ,e ? . 2 2
2 . 2 2 a,0) 关于直线 l : 2 x ? y ? 0 的对称点 2

故椭圆 C 的离心率 e ?

(2) 解法一:设椭圆 C 的左焦点 F (?

为 P( x0 , y0 ) ,则有
y0 1 ? ? , ? 2 ? x0 ? 2 a 3 2 4 2 ? 2 解之,得 x0 ? a, y0 ? a. ? 10 10 2 ? ? x0 ? 2 a y0 ? ? 0. ?2 ? ? 2 2 3 2 2 4 2 2 ? P 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上∴ ( a) ? ( a) ? 4 , 10 10 x2 y 2 ? 1, ∴ a2 ? 8, b2 ? (1 ? e2 )a2 ? 4. 故椭圆 C 的方程为 ? 8 4 6 8 点 P 的坐标为 ( , ). 5 5

解法二:因为 F (?

2 a,0) 关于直线 l 的对称点 P 在圆 O 上,又直线 l : 2 x ? y ? 0 经 2 2 a,0) 也在圆 O 上, 2

过圆 O : x2 ? y 2 ? 4 的圆心 O(0, 0) ,所以 F (?
2 2 2 a) ? 0 ? 4 , a2 ? 8, b2 ? (1 ? e2 )a2 ? 4. 2
x2 y 2 ? ? 1. 8 4

从而 (?

故椭圆 C 的方程为

1 ? y0 ?x ?2 ? 2, 6 8 ? ? F (?2, 0) 与 P( x0 , y0 ) 关于直线 l 的对称,? ? 0 解之, x0 ? , y0 ? . 得 5 5 ?2 ? x0 ? 2 ? y0 ? 0. ? ? 2 2
6 8 故点 P 的坐标为 ( , ). 5 5 20、 a(1 ? x) 解: )由 f ' ( x) ? (Ι 知: x

当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,??) ; 当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (1,??) ,单调减区间是 (0,1) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? ?3 是常数函数,无单调区间。 (Ⅱ)由 f ' ? 2 ? ? ?
a ? 1 ? a ? ?2 , 2

2 ∴ f ? x ? ? ?2 ln x ? 2x ? 3 , f ' ? x ? ? 2 ? . x



m ?m ? g ( x) ? x3 ? x 2 ? ? f '( x) ? ? x3 ? (2 ? ) x 2 ? 2 x ,∴ g '( x) ? 3x2 ? (4 ? m) x ? 2 , 2 ?2 ?

∵ 函数 g (x) 在区间 (t ,3) 上总存在极值, ∴ 函数 g ' ( x ) 在区间 (t ,3) 上总存在零点, 又∵函数 g ' ( x ) 是开口向上的二次函数,且 g ' (0) ? ?2 ? 0

? g ' (t ) ? 0 ∴ ? ? g ' (3) ? 0
由 g ' (t ) ? 0 ? m ?
2 2 2 ? 3t ? 4 ,令 H (t ) ? ? 3t ? 4 ,则 H ' (t ) ? ? 2 ? 3 ? 0 , t t t

所以 H (t ) 在 ?1,2? 上单调递减,所以 H (t ) ? H (t ) min ? H (1) ? ?9 ; 由 g ' (3) ? 27 ? (4 ? m) ? 3 ? 2 ? 0 ,解得 m ? ? 综上得: ?
37 ; 3

37 ? m ? ?9. 3 37 所以当 m 在 ( ? ,?9) 内取值时,对于任意的 t ? ?1,2?,函数 3

?m ? g ( x) ? x 3 ? x 2 ? ? f ' ( x)? 在区间 (t ,3) 上总存在极值。 ?2 ?

21、 【解析】 (1)记 bn ? f (n) ,由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 有 bn?1 ? bn ? 2 对任意 n ? N * 都成 立, 又 b1 ? f (1) ? ? ,所以数列 ?bn ? 为首项为 ? 公差为 2 的等差数列,???2 分 故 bn ? 2n ? ? ? 2 ,即 f (n) ? 2n ? ? ? 2. ????????4 分 (2)由题设 ? ? 3 若 n 为偶数,则 an ? 2 n?1 ; ?????????????????????5 分 若 n 为奇数且 n ? 3 ,则 an ? f (an?1 ) ? 2an?1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2n?2 ? ? ? 2 ? 2n?1 ? ? ? 2 ,
? 2n?1 ? 1????????????????6 分

又 a1 ? ? ? 2 ? 1 ,

1 ? ? n ?1 即 an ? ?2 ? 1 ? 2n ?1 ?

n ?1 n为奇数且n ? 3 n为偶数

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2n ? (a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2n ) ? (20 ? 22 ? ?? 22n?2 ? n ?1) ? (21 ? 23 ? ?? 22n?1 ) ? (1 ? 21 ? 22 ? ? ? 22n?1 ) ? n ?1
? 22n ? n ? 2. ????????????9 分

(3)当 n 为奇数且 n ? 3 时,

an?1an?2 ? an an?1 ? an?1 (an?2 ? an ) ? 2n [2n?1 ? ? ? 2 ? (2n?1 ? ? ? 2)]
? 3 ? 2 2n?1 ? 0 ;???????10 分

当 n 为偶数时, an?1an?2 ? an an?1 ? an?1 (an?2 ? an ) ? (2n ? ? ? 2)(2n?1 ? 2n?1 )]

? 3 ? 2 n?1 (2 n ? ? ? 2) ,?????11 分
因为 an an?1 ? an?1an?2 ,所以 2 n ? ? ? 2 ? 0 ,??????????12 分
? n为偶数, n ? 2 ,∵ 2n ? ? ? 2 单增∴ 4 ? ? ? 2 ? 0 ?

即 ? ? ?2 ???????????????????????????13 分 故 ? 的取值范围为 (?2,??).???????????????????14 分



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